Theorie der Vielfachen Kontinuität

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Von

T L. Schläfli.

Herausgegeben im Auftrage der
Denkschriften-Kommission der Schweizer. Naturforschenden Gesellschaft

von

J. H. Graf, Bern.

Separatabdruck aus den Denkschriften der Schweizerischen naturforschenden Gesellschaft. %

Band XXXVII. 1. Hälfte.

Auf Kosten der Gesellschaft und mit Subvention des Bundes
_ gedruckt von Zürcher & Furrer in Zürich
Kommissions-Verlag von Georg & Co. in Basel, Geneve und Lyon.

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Theorie

der

vielfachen Kontinuität,

Von

f L. Schläfli.

Herausgegeben im Auftrage der
Denkschriften-Kommission der Schweizer. Naturforschenden Gesellschaft
von

J. H. Graf, Bern.

Druck ron ZÜRCHER & FURRER in Zürich.

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Vorbemerkung

Die vorliegende Abhandlung Ludwig Schläfli’s stammt aus den Jahren 1850
bis 1852. Schläfii erwähnt sie zum ersten Mal in seinem Brief an Steiner 3.1. 1852 *)
und sandte sie, nachdem die Wiener Akademie seine Arbeit „Ueber die Resultante eines
Systems mehrerer algebraischer Gleichungen“ angenommen und in ihren Denkschriften
1852 publiziert hatte, dem Sekretär dieser Akademie ein. Auf dem Umschlag findet sich
von dessen Hand der Vermerk: „655/1852 praes. 8. Okt.“. Schläfli bringt ım ange-
gebenen Brief noch mehrere Integrale, die wir als Anmerkung zum Brief publiziert
haben und spricht die Absicht aus, falls die Akademie die Schrift wegen ihres grossen
Umfangs (sie wurde auf 23 Bogen 4° geschätzt) nicht annehmen wolle, dieselbe als
Privatschrift herauszugeben und bittet Steiner, ihm hiezu in Berlin behülflich zu sein.

Seite 27 des „Briefwechsels“ haben wir das Konzept eines Briefes dat. vom Dez.
1851 an den Sekretär der k. k. Akademie der Wissenschaften in Wien publiziert. Dieser
Brief sollte denselben über die Absichten des Autors orientieren. Die Aufnahme der
Arbeit wurde des grossen Umfangs halber verweigert. Vergeblich ermunterte Steiner
(siehe Brief vom 15. Okt. 1853, S. 41 des Briefwechsels, sodann in einem Brief an
Schläfi’s Freund Prof. Ris und an Schläfli vom 10. März 1854) aus der „Weltüber-
stürmenden Erdewälzenden“ Abhandlung einen Auszug zu machen, der etwa 4 oder
12 Bogen wäre, Schläfli’s erste Begeisterung für die Arbeit war vorbei (S. 59). Er
sandte sie erst 1854 an Crelle in Berlin, den Herausgeber des Journals für reine Mathe-
matik (siehe $S. 74). 1855 liess Steiner Crelle wieder an die Arbeit erinnern (siehe S$. 191),
dann verwandte sich Steiner erfolglos bei Reimer, dem Verleger des genannten Journals;
auch Borchardt, der neue Herausgeber desselben, wollte mithelfen, die Publikation der
Arbeit zu ermöglichen. Am 17. Mai 1856 konnte Steiner seinem Freunde L. Schläfli .
schreiben, dass sich Reimer herbeigelassen habe, die Aufnahme der Arbeit ins Journal,

*, Vergleiche „Der Briefwechsel zwischen Jakob Steiner und Ludwig Schläfli, herausgegeben von
J.H. Graf, Mittlgen. der bern. Naturf. Gesellschaft 1896, S. 76 und auch separat bei K. J. Wyss, Bern, S. 20.

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IV

sowie 200 Extraabzüge und ein kleines Honorar zu versprechen. Trotzdem sich Schläfli
laut Brief vom 19. Mai 1856 sofort, beseelt von dem Wunsch, die Arbeit nach so vielen
Jahren endlich einmal veröffentlicht zu sehen, mit allen Bedingungen einverstanden er-
klärte, da auch die Fortsetzung dazu schon längst geschrieben sei, so unterblieb der
Druck doch. Nach einer Aeusserung Steiner’s zu schliessen, war nun Borchardt dagegen.
Die Arbeit kam wieder nach Bern zurück, wo wir sie unter den nachgelassenen Papieren
des grossen Meisters gefunden haben. Das Manuskript gehört wie alle andern von
Schläfli stammenden der schweizer. Landesbibliothek in Bern an. Der erste Teil
bis Seite 78 trägt Korrekturen, wahrscheinlich von der Hand Crelle’s oder Borchardt’s,
um die Arbeit zum Drucke einzurichten. Sie sind mehr redaktioneller Natur oder be-
ziehen sich auf die Auswahl der Lettern oder die Anordnung. Wir halten aber dafür,
die Arbeit soll im ursprünglichen Wortlaut ohne jeden Zusatz oder irgend
eine Anmerkung unsererseits gedruckt werden, und sind der Meinung, dass sie
nicht bloss historischen Wert, sondern gerade für die Theorie der Geometrie von
n Dimensionen noch eine Fülle anregender Gedanken enthalte. Beigegeben wird die
Selbstanzeige, dat. 5. Juli 1852, hinzugefügt ist ein Inhaltsverzeichnis. Der Denkschriften-
Kommission der Schweiz. Naturforschenden Gesellschaft gebührt der beste Dank, dass sie
die Herausgabe des Werkes ermöglicht hat. Herr Prof. Dr. P. Stäckel in Kiel hat
die Güte gehabt, die Korrektur ebenfalls durchzusehen, wofür ich ıhm an dieser Stelle
herzlich danke.

Bern, im Oktober 1901.
Prof. Dr. J. H. Graf.

Anzeige einer Abhandlung
über die Theorie der vielfachen Kontinuität.

Die Abhandlung, die ich hier der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften vorzu-
legen die Ehre habe, enthält einen Versuch, einen neuen Zweig der Analysis zu begründen
und zu bearbeiten, welcher, gleichsam eine analytische Geometrie von n Dimensionen,
diejenigen der Ebene und des Raumes als spezielle Fälle für n = 2, 3 in sich enthielte.
Ich nenne denselben Theorie der vielfachen Kontinuität überhaupt in demselben Sinne,
wie man z. B. die Geometrie des Raumes eine Theorie der dreifachen Kontinuität nennen
kann. Wie in dieser eine Gruppe von Werten der drei Koordinaten einen Punkt bestimmt,
so soll in jener eine Gruppe gegebener Werte der n Variabeln x, y. ... eine Lösung
bestimmen. Ich gebrauche diesen Ausdruck, weil man bei einer oder mehreren Gleichungen
mit vielen Variabeln jede genügende Gruppe von Werten auch so nennt; das Unge-
wöhnliche der Benennung liegt nur darin, dass ich sie auch noch beibehalte, wenn gar
keine Gleichung zwischen den Variabeln gegeben ist. In diesem Falle nenne ich die
Gesamtheit aller Lösungen die n-fache Totalität; sind hingegen 1, 2, 3,... Gleichungen
gegeben, so heisst resp. die Gesamtheit ihrer Lösungen (n — 1) faches, (n — 2) faches,
(n — 3) faches, ... Kontinuum. Aus der Vorstellung der allseitigen Kontinuität der
in einer Totalität enthaltenen Lösungen entwickelt sich diejenige der Unabhängigkeit
ihrer gegenseitigen Lage von dem System der gebrauchten Variabeln, insofern durch
Transformation neue Variabeln an ihre Stelle treten können. Diese Unabhängigkeit
spricht sich aus in der Unveränderlichkeit dessen, was ich den Abstand zweier ge-
gebener Lösungen (x, y, - . -), (&,y, ...) nenne und im einfachsten Fall durch

Ve — 0)? +(y — y)’ + ete.

definiere, indem ich gleichzeitig das System der Variabeln ein orthogonales heisse,
zum Unterschied von einem schiefen System, worin

Va — DD? +(y — W+ete +2k(e —a)(y —y)—+ etc.

den Abstand zweier Lösungen darstellte Indem ich ferner ausschliesslich orthogonale
Systeme gebrauche, nenne ich jede lineare Transformation der Variabeln, durch welche
die Orthogonalität eines Systems nicht geändert wird, d. h., bei welcher die analytische

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Form des Abstandes, Quadratwurzel aus einer Summe von Quadraten, dieselbe bleibt,
eine orthogonale Transformation. Sind diese Vorstellungen durchlaufen, so hat
man einen Begriff von der Gleichgültigkeit der vielfachen Totalität, ganz ähnlich
wie von der des Raumes; .man hat gleichsam die Totalität von dem willkürlichen
Zwang des zu ihrer Darstellung verwendeten Variabeln-Systems wiederum befreit.
Diese Andeutungen, bei denen ich einige Weitläufigkeit nicht wohl vermeiden konnte,
mögen genügen, um die Grundlage der hier behandelten Theorie zu bezeichnen.

Die Abhandlung zerfällt in drei Abschnitte, 1. über die linearen, 2. über die
sphärischen, 3. über die quadratischen und höheren Kontinuen. Um ohne Weitläufigkeit
zu zeigen, dass namentlich in den zwei ersten Abschnitten Dinge vorkommen, welche
von der analytischen Geometrie des Raumes aus kaum sich ahnen lassen, führe ich nur
den Satz in S 22 an.

Um die Aussage desselben einzuleiten, diene folgende Erklärung. Wenn
p=ac+by+cez+...+hlw py =ac+by+...—+ hw zwei lineare und homogene
Polygone der n Srthöronalen Variabeln x, y,.... w bezeichnen, und man denkt sich die
Gesamtheit aller Lösungen, für welche zugleich p>o, p >o: so steht diese zur unbe-
schränkten Totalität im Verhältnis eines Bruchteils zum Ganzen. Wird 2: als letztes
Glied dieses Verhältnisses angenommen, so nenne ich das erste Glied den Winkel der
Polynome p,p'. Wird derselbe durch Z (p,p’) bezeichnet, so ist

ad +bb +ccl -H... + hl
Ye+ß®+..+122 Ya?+b?+...+%?

wo die Quadratwurzeln im Nenner nur positiv zu verstehen sind.

— 08 Z/ (pp) =

Ist nun das nfache Integral S, = f dxzdydz...dw durch die Bedingungen p, > o,
Pr >9% :...- pr>9, @+y—+...—+w?”<1l begrenzt, so hängt sein Wert nur von den
Yan(nm —1) Winkeln zwischen den n linearen und homogenen Grenzpolynomen p ab
(wesshalb ich diese Winkel die Argumente der Funktion $, nenne); und, wenn die
transcendente Funktion, als welche der Winkel in Beziehung auf seinen zunächt ge-
gebenen Kosinus en ist, en mitgezählt wird, so erfordert die Berechnung

® fache Integrationen, je nachdem n gerade oder

—2
jenes Integrals nur I—- oder — =

ungerade ist. Denn der z. B. nach dem Argument Z (p, pP.) genommene Differential-
koeffizient von S, ist der nte Teil eines ähnlichen, aber bloss (n — 2) fachen Integrals
S„_., dessen Argumente durch trigonometrische Relationen mit den ursprünglichen Ar-
gumenten verbunden sind. Transformiert man nämlich orthogonal die Variabeln so,
dass die Polynome p, und 9, nur die zwei ersten von den neuen Variabeln enthalten,
und tilgt dann in allen übrigen Polynomen diese zwei Variabeln, so hat man die v — 2
Grenzpolynome von S,_:.

Ist die Ordnung n einer Funktion S,„ ungerade, so kann man diese linear durch
lauter solche Funktionen von gerader Ordnung ausdrücken, deren Argumente geradezu

=, 9

schon unter den ursprünglichen sich vorfinden. (Hieher gehört es z. B., wenn fürn = 3
der Inhalt eines Kugeldreiecks nicht eine neue transcendente Funktion erfordert, sondern
sich durch die schon der Ebene eigenen Funktionen, nämlich durch die Winkel des
Dreiecks, linear ausdrücken lässt.) Nur die Integrale $S, von gerader Ordnung sind
demnach eigentümliche transcendente Funktionen.

Man kann ferner jedes. Integral S, auf mannigfaltige Weise als Summe von
Integralen derselben Ordnung darstellen, deren. Argumente mittels trigonometrischer
Relationen aus den ursprünglichen zu berechnen sind. Unter diesen Arten der Zer-
legung giebt es auch solche, wo sämtliche Teil-Integrale eine spezielle Beschaffenheit
erhalten. Man kann nämlich die Grenzpolynome einer solchen S,’so an einander reihen,
dass nur die Winkel zwischen je zwei unmittelbar auf einander folgenden von rechten
abweichen, alle übrigen Winkel dagegen rechte sind. Eine so spezialisierte Funktion
S,„ hat also nur noch n — 1 freie Argumente. Da es wünschbar ist, die Zahl der Argu-
mente einer Funktion so sehr als möglich zu vermindern, so richtet sich nun die ganze
Aufmerksankeit auf diese speziellen Funktionen S,, welche ich Orthoscheme genannt
habe. Unter anderem führt die Betrachtung gewisser Perioden solcher Orthoscheme
zur Kenntnis einiger Fälle, wo der Wert eines Oythoschems in finiter Form angegeben
werden kann. Sollen zugleich alle Argumente rationale Teile des Halbkreises z sein,
so gläube ich in der vorliegenden Abhandlung alle Fälle, wo dann auch das Orthoschem
zur Polysphäre ein rationales Verhältnis hat, vollständig aufgezählt zu haben. Für
n = 4 können die Nenner der Argumente nur 3, 4, 5, für alle höheren Dimensions-
4
2
niedrigere Ordnung zurückführt). Der Entscheid, ob alle hieher gehörenden Fälle voll-
ständig aufgezählt sind, scheint ungemein schwierig; aber man wird das Interesse der
Frage am besten würdigen, wenn man bedenkt, dass ihr für n = 2 die bekannte von
Gauss absolvierte Aufgabe der Kreisteilung entspricht.

Was in den zwei ersten Abschnitten gegeben ist, halte ich alles für neu. Anders
verhält es sich mit dem dritten Abschnitt. Hier findet die Bestimmung der Hauptaxen
eines quadratischen Kontinuums, als analytische Aufgabe betrachtet, sich schon in der
Theorie der sekulären Störungen der Planeten, wie sie Laplace in seiner Mecanique
celeste gegeben hat. Die Bestimmung des kürzesten Weges auf einem quadratischen
Kontinuum findet sich angedeutet von Jacobi in einem Vortrag an die Berliner-Akademie
vom Jahre 1839. Dass ich ferner die Frage nach der Existenz orthogonaler Kontinuen
aufgeworfen und erörtert habe, war veranlasst durch den von Lame eingeführten Be-
griff orthogonaler Flächen. Ob die hier für n = 3 gegebene Konstruktion eines ganz
beliebigen Systems orthogonaler Flächen schon von Lam& ausgeführt worden ist, weiss
ich nicht, da mir die ersten Bände von Lionville’s Journal, in denen dieser Gegenstand
wahrscheinlich behandelt ist, nicht zu Gebot standen. Die Begriffe des Potentials und
des Differentialparameters sind von Gauss und Lame& so benannt und zu physikalischen

zahlen gar nur 3, 4 sein (das Argument ist auszuschliessen, weil es immer auf eine

BER BEER

Untersuchungen angewandt worden, und mehrere hieher gehörige Sätze von überraschender
Eleganz, zum Teil wenigstens, wie es scheint, von Lame herrührend, hat Lionville in
seinen Briefen an Blanchet (über verschiedene das Ellipsoid betreffende analytische
und mathematisch-physikalische Fragen, Lionville XI, Juni 1846) mitgeteilt und bewiesen.
In der vorliegenden Abhandlung sind auch diese Sätze von drei auf » Dimensionen über-
getragen. — Wenn ich nun auch das Verdienst des Generalisierens nur gering anschlage,
so hielt ich es doch für nötig, einmal alle diese Betrachtungen in der Theorie der viel-
fachen Kontinuität zu vereinigen; man wird hier manches Neue finden, was ausser diesem
Zusammenhang nicht dargestellt werden konnte.

Ich hoffe, durch die vorliegende Abhandlung faktisch gezeigt zu haben, dass in
der reinen Analysis die Konstruktion nicht weniger mit Erfolg angewandt werden kann,
als in der Geometrie.

Bern, den 5. Juli 1852.

Dr. L. Schläfli.

Theorie der vielfachen Kontinuität.

Einleitung.

——

Wenn man die gegenseitige Abhängigkeit zweier Variabeln zur lebhaften An-
schauung bringen will, so bedient man sich häufig der ebenen Kurven, indem man jene
zwei Variabeln als rechtwinklige Koordinaten setzt, und baut so auf die geometrische
Anschauung eine Reihe von Schlüssen, deren letztes Ergebnis eine rein analytische
Bedeutung hat. Es wird wohl niemand es bestreiten, dass ein solches Verfahren eben
so sicher sein kann, als ein rein analytisches, welches sorgfältig alle der Geometrie
entlehnten Ausdrücke vermeidet, und dass in beiden eigentlich dieselben Dinge, nur in
anderer Sprache, dargestellt werden; denn es ist gewiss ganz dasselbe, ob man die
Funktionsweise, in der zwei Variabeln von einander abhängen, unmittelbar anschaut,
oder erst, indem man mit den Augen den Lauf einer gezeichneten Kurve verfolgt. Das
durch geometrische Anschauung vermittelte Verfahren hat freilich den Vorzug der
leichtern, auch dem Unvorbereiteten sogleich verständlichen Sprache, und kann daher
für die populäre Darstellung nur empfohlen werden. Wenn aber die Zahl der in gegen-
seitiger Abhängigkeit stehenden Variabeln über drei hinausgeht, so bleibt die bequeme
Nachhülfe der geometrischen Anschauung und Ausdrucksweise zurück; aber sollte es
wohl darum der Analysis versagt sein, aus eigenen Mitteln diesen fühlbaren Mangel zu
ersetzen und sich einen Vorrat von Anschauungen und Bezeichnungen anzulegen, worin
sie dieselbe leichte Uebersicht der Funktionsweisen und ihrer singulären Eigenschaften
wiederfindet, welche sie vorher von der Geometrie entlehnte? Als einen Versuch, nach
dieser Seite hin eine neue Bahn in der Analysis zu eröffnen, möchte ich gegenwärtige
Abhandlung dem nachsichtigen Urteile des geneigten Lesers übergeben.

Der vorliegende Stoff ist so eingeteilt, wie wenn man etwa in der Geometrie
1. die Gerade und Ebene, 2. den Kreis und die Kugel, 3. die Kurven und Flächen
zweiten Grades, 4. endlich die infinitesimalen Eigenschaften der Kurven und Flächen
überhaupt, nach einander behandeln würde.

Erster Teil.

Lehre von den linearen Kontinuen.

$ 1. Definitionen.

Wenn eine oder mehrere Gleichungen die n Variabeln x, y, 2,... enthalten, so
nennt man jede Gruppe von Werten dieser letzten, welche allen jenen Gleichungen
genügen, eine Lösung des gegebenen Systems. Diese Lösung ist bestimmt, wenn die
Zahl der Gleichungen ebenfalls n ist; dagegen wird ein kontinuierlicher Uebergang von
einer Lösung zu einer anderen möglich sein, wenn die Zahl der Gleichungen geringer
ist; in diesem Falle nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen ein Kontinuum, und
zwar ein ifaches, wenn ö die Zahl der unabhängigen Variabeln (oder die Dimensions-
zahl des Kontinuums) ist; ferner ein lineares, wenn alle Gleichungen vom ersten Grade
sind, ein höheres, wenn wenigstens eine Gleichung den ersten Grad übersteigt. Ein
einfaches Kontinuum überhaupt werde ich Weg, und wenn es insbesondere noch linear
ist, Strahl nennen. Unter dem Weg, der zwei Lösungen verbindet, ist die Ge-
samtheit aller Lösungen zu verstehen, welche von der Anfangs- bis zur Endlösung
kontinuierlich auf einander folgen. Da von Kontinuen, welche nur durch eine Gleichung
zwischen n Variabeln bestimmt sind, häufiger die Rede sein wird, als von solchen, deren
Dimensionszahl zwischen 1 und n — 1 liegt, so werde ich ein (n — 1) faches Kontinuum
meist schlechthin Kontinuum nennen, wenn kein Missverständnis zu besorgen ist.

Da einmal das Wort Lösung eine Gruppe von zusammengehörigen Werten der
n Variabeln x,y,... bezeichnet, so werde ich dasselbe Wort noch behalten, wenn auch
gar keine Gleichung vorliegt; und in diesem Sinne nenne ich die Gesamtheit aller
Lösungen die Totalität und zwar nfache Totalität, wenn es nötig wird, die Zahl
n aller Variabeln x,y,--- anzugeben. Sind zwar alle Variabeln unter sich unabhängig,
aber dem nfachen Integral / dxrdydz... Grenzen gesetzt, durch welche keiner Variabeln ein
unendliches Wachstum gestattet wird, so nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen,
über welche sich dieses Integral erstreckt, ein geschlossenes Stück der Totalität
und das Integral selbst dessen Mass. Wie geschlossene Stücke eines Kontinuuns
von beliebiger Dimensionszahl gemessen werden können, wird sich im weiteren Ver-
laufe zeigen.

N

Wenn wir nun die Vorstellung von der Kontinuität aller in der nfachen Totalität
enthaltenen Lösungen von dem speziellen Systeme, vermöge dessen in jeder Lösung
die Variabeln gerade diese und keine anderen Werte erhalten, frei zu machen suchen,
indem wir uns n Transformationsformeln, durch welche die alten Variabeln in neue
übergehen können, denken, so ist es ganz natürlich, dass wir den linearen Transformationen
vor allen anderen einen gewissen Vorzug geben. Die allereinfachste lineare Trans-
formation besteht darin, dass man jede alte Variable als Summe einer Konstanten und
einer gleichnamigen neuen Variabeln setzt, und durch eine solche Transformation sind
wir immer im stande, irgend eine gegebene Lösung als eine erscheinen zu lassen, in
der sämtlichen neuen Variabeln der Nullwert zukommt. Wenn wir daher eine Funktion
suchen, welche auf die möglichst einfache Weise die Verschiedenheit zweier Lösungen
misst, so werden nur die Unterschiede der gleichnamigen Variabeln darin eingehen.
Sind diese Unterschiede alle bis auf einen gleich Null, so ist offenbar dieser, absolut
genommen, das natürliche Mass der Verschiedenheit beider Lösungen, und überhaupt
darf jene Funktion sich nicht ändern, wenn auch ein Unterschied negativ genommen
wird, weil die Aenderung des Vorzeichens bei einer Variabeln die Aufeinanderfolge
der Lösungen in der Totalität nicht ändert. Es ist ferner natürlich, anzunehmen, dass,
wenn alle Unterschiede in demselben Verhältnisse vergrössert werden, auch jene Funktion
in demselben Verhältnisse sich vergrössern muss. Die Funktion muss also in Beziehung
auf die Unterschiede x, y, 2,... der Variabeln homogen und vom ersten Grade sein.
Endlich muss noch die Freiheit linearer Transformationen, durch welche die Form dieser
Funktion nicht geändert wird, möglichst gross sein. Alle diese Rücksichten zusammen
bestimmen uns, Ya? Y”—+2°—+.... als Form dieser Funktion anzunehmen, wo die
Quadratwurzel immer positiv zu verstehen ist. Wir beginnen demnach die Theorie der
vielfachen Kontinuität mit folgender Definition:

Das Quadrat des Abstandes zweier Lösungen ist gleich der Summe
der Quadrate der Unterschiede der gleichnamigen Variabeln.

Satz. Wenn drei reelle Lösungen gegeben sind, so giebt es zwischen
denselben im ganzen drei Abstände. Die Summe von je zweien derselben
kann nie kleiner sein als der dritte.

Beweis. Die Unterschiede der Variabeln seien a,b,..., wenn man von der
ersten Lösung zur zweiten fortgeht, und @,D,..., wenn man von dieser zur dritten
fortgeht, dann sind se ata,b-+D,...., wenn man von der ersten Lösung zur
dritten fortgeht. Werden nun die Abstände mit r, r', »" bezeichnet, so ist

r=e®+D-+.., M"=a’-1V°+., rr=(lta” Hl HN) +...
folglich

y'? se rv? y 2 ae 2 (aa’ ie AN > n );
rt — (rt) 4 \(ab — ab)’ —+ ete.!.

A
‘Für reelle Lösungen ist also das Produkt
(r —_ y — ) (— y .— Y —-- r') (7 ur, — r') & a. Pd NET r')

immer positiv. Nehmen wir nun alle drei Abstände als positiv und r<r' <r’ an, so
sind ausser dem Faktor »—+- »’ — r’ alle drei übrigen positiv, folglich muss auch dieser
positiv sein. d.h.r+r>r..

Sollte + r’ = r" werden, so müssten alle Ausdrücke ab’ — «ab, etc. verschwinden,
d.h. es müsste a:b:c:...=a:V:c:.... sein.

Wenn die Unterschiede der Werte zweier Lösungen, einer konstanten A und
einer veränderlichen P, proportional wachsen, so durchläuft die Lösung P einen Strahl];
denn ihre Werte sind dann Funktionen ersten Grades einer einzigen unabhängigen
Variabeln. Es sei B irgend eine von A verschiedene, in. jenem Strahl enthaltene Lösung,
die wir uns als fest denken. Wenn dann auf demselben Strahl irgend eine Lösung P
auf A folgt und vor B vorhergeht, so ist immer der feste Abstand AB gleich der
Summe der veränderlichen Abstände AP und PB.

Den Abstand AB denken wir uns daher fortan auch als Mass des Strahls,
welchen die Lösung P von 4 bis nach B durchläuft.

Nehmen wir ausser den Lösungen A, B noch einige andere (C, D, E an, welche
nicht auf dem Strahle AB liegen, so ist leicht zu zeigen, dass die Summe der hier ge-
nannten Abstände grösser ist als der Abstand AB. Es ist nämlich AC+-CD>AD,
AD+-DE>AE AE+EB>AB, also AC+CD-+ DE-+-EB>AB. Jene vier
Abstände, an einander gereiht, bilden aber ein einfaches Kontinuum, das von A bis B reicht.

Denken wir uns nun die n Variabeln der Lösung P als eben so viele beliebige
Funktionen einer Unabhängigen, welche für einen Anfangswert derselben mit den Werten
der Lösung A und für einen Endwert mit den Werten der Lösung B zusammenfallen
und dazwischen keine Unterbrechung der Kontinuität erleiden, so beschreibt gleichsam
die Lösung P einen von A bis B reichenden Weg, und es wird immer möglich sein,
auf diesem eine hinreichende Menge von Lösungen P so zu verteilen, dass der Fehler,
den man begeht, indem man den zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden
Lösungen enthaltenen Weg durch ihren Abstand ersetzt, von einer höheren Ordnung
wird, als dieser Abstand selbst, den wir uns als verschwindend klein denken. Daraus
folgt, dass jener totale Weg AB, wofern er nicht gerade ein Strahl ist, immer grösser
sein wird als der von einem Strahle beschriebene Abstand AB.

Sind x, y,.... die Variabeln, dx, dy, ... ihre Differentiale unter der Voraussetzung

einer Unabhängigen, so ist s= (y de?—+dy?—+... die Länge des Weges, wenn
das Integral von der Lösung A bis zur Lösung B reicht. Die Variationsrechnung

zeigt, dass dieser Weg ein Minimum wird, wenn die Variabeln Funktionen ersten
Grades sind.

S$S 2. Orthogonale Transformation der Variabeln.

Werden die n Variabeln x, y,... durch solche lineare Funktionen von rn neuen
Variabeln 4, €, Ü',... ersetzt, dass der Ausdruck für den Abstand zweier Lösungen
seine Form nicht ändert, so soll diese lineare Transformation eine orthogonale heissen.

Da im Ausdrucke für den Abstand » zweier Lösungen nur die Unterschiede ihrer
gleichnamigen Werte vorkommen, so sind hier die Konstanten jener linearen Trans-
formationsformeln von keinem Belang; und, wenn man sie weglässt, so sind die Differenzen
des ursprünglichen Systems im übrigen dieselben Funktionen der Differenzen des zweiten
Systems, wie die Variabeln des ersten von denen des zweiten. Es seien daher x, y,...
die Differenzen der ursprünglichen, t, t, t',... die der neuen Variabeln, oder, was auf
dasselbe hinauskommt, 0, 0, o,... seien in beiden Systemen die Werte der ersten Lösung,
%,Y, 2, ... diejenigen der zweiten Lösung im alten, und 4, £',... im neuen Systeme.
Dann sei

z=aot+at-+---,
Y = ßBt+PßÜ+---,
etc.,
so wird
"= +y-+ = (”+ßP-H-)P—+ete—+2(ea BP —+:--)El + ete.,
und wenn >? = t?—+t”-- etc. sein soll, so müssen die Transformationselemente den
Bedingungen

+ + Pol, ete. |
aa +’ + + —=0, ete. | (1)
genügen. Es sei |
Amar a j
Be.

also vermöge jener Bedingungen 4?—=1, und 4 entweder = — 1 oder = +1. Wäre
A = — 1, so brauchte man nur eine der neuen Variabeln entgegengesetzt zu nehmen,
um sogleich 4=1 zu erhalten. Wir wollen daher fortan 4= 1 annehmen. Sind nun
a,b,c,... die ergänzenden Elemente zu «a, ß,7,..., d.h. ist
= > mL etc.
da’ 98° i

=. >

so folgt At=ax —+by—cz-----, et. Wenn man aber die Transformationsformeln
resp. mit @, 8,%,... multipliziert und addiert, so ist vermöge der Bedingungen (1):
t=ax-+ By ---, also, wenn 1= 1 vorausgesetzt wird, u=a, b=B, ete., d.h. die
ergänzenden Elemente sind den entsprechenden ursprünglichen gleich. Nun ist überhaupt

aataa +... —=4A, ete.,
aa. —=(, etc.

also
a a? +ad” +: =|, etc,

Mag man also die neuen Variabeln in die alten, oder diese in jene verwandeln, beide
Verwandlungen sind durchaus ähnlich.

Die Unterschiede der gleichnamigen Werte zweier Lösungen A, B mögen fortan
Projektionen ihres Abstandes AB = r heissen. Dann ist in jedem orthogonalen
Systeme das Quadrat des Abstandes r gleich der Summe der Quadrate seiner Projektionen,
und dieser Satz ist als Definition eines orthogonalen Systems zu betrachten. Dann sind
auch orthogonale Transformationen solche lineare Transformationen, durch welche irgend
zwei orthogonale Systeme in einander übergehen.

Sind die Anfangslösung 4 und alle rn Projektionen des Abstandes r gegeben, so
ist dadurch die Endlösung B völlig bestimmt. Ist aber jene Anfangslösung frei und
sind nicht die Projektionen selbst, sondern nur ihre an — 1 Verhältnisse gegeben, so
sagen wir, die Richtung des Strahls sei bestimmt und nennen jene Projektionen, bei
denen es somit nur auf ihre gegenseitigen Verhältnisse ankommt, die Richtungs-
elemente dieses Strahls. Werden sämtliche Projektionen durch den Abstand dividiert,
so mögen die Quotienten Richtungscosinus heissen; diese sind also Projektionen eines
auf dem Strahle genommenen Abstandes 1.

Wenn zwei Strahlen gleiche Richtung haben, d. h. wenn die Richtungselemente
des einen mit denen des andern proportional sind, so mögen sie parallel heissen.

Demnach sind die oben gebrauchten Koeffizienten a, ß, y, .... Im alten Systeme
die Richtungscosinus derselben Richtung, welche im neuen Systeme durch die Gleichungen
{=t"—=-..—=( bestimmt ist u.s. f, und @&,«@,«a,... sind im neuen Systeme die
Richtungseosinus der im alten durch y=z = --- = 0 bestimmten Richtung. Die Gleichung
ad +Bß8°—+yy--- = 0 drückt die Orthogonalität der beiden durch £ und f zu
bezeichnenden Richtungen aus.

$ 5. Ueber den Winkel zweier Richtungen.

e

Es seien z, y, z,... die Projektionen eines Abstandes » und 2, Y1 21, . . . die-
jenigen eines andern r,, so geben die obigen orthogonalen Transformationsformeln:

za, + yy zz th + HH

-

=; MR

Dieser Ausdruck bleibt also in jedem orthogonalen System immer derselbe. Wir setzen
daher |

| 2 + yyı 4 22, 4°: =rr, cos w
und nennen w den Winkel der Richtungen der beiden Abstände r und r,. Daraus
folgt sogleich auch

rr sinw=Y (ey — Yy)? + (az, — 2,2)? + etc.,

wo die unter dem Wurzelzeichen stehende Summe sich auf alle Kombinationen zweiter
Klasse erstreckt.

Der Cosinus des Winkels zweier Richtungen ist gleich der Summe der
Produkte der gleichnamigen Richtungscosinus.

Zwei Richtungen sind orthogonal, wenn die Summe der Produkte ihrer gleich-
namigen Projektionen gleich Null ist.

$ 4. Anwendung der orthogonalen Transformation
zum Beweise des Satzes, dass der Strahl der kürzeste Weg sei zwischen zwei

auf ihm befindlichen Lösungen.

Es seien «a, ß, y,... die Richtungscosinus des gegebenen Strahls, so können immer

n — 1 andere Richtungen gefunden werden, welche mit jenem ein orthogonales System

bilden. (Dabei bleiben URN

die ursprünglichen Variabeln x,%, .. in solche £, £,{',..., welche dem neuen System
entsprechen, so ist der gegebene Strahl nunmehr dadurch bestimmt, dass nur t variabel
bleibt, während f,',... konstante Werte erhalten. Ein Stück desselben ist also durch

das Integral /dt, irgend ein anderer dieselben Lösungen verbindender Weg dagegen

Richtungscosinus frei.) Transformiert man dann

durch das zwischen denselben Grenzen genommene Integral Y dE + di’—+ dt? + ::--
dargestellt. Vergleicht man die Formen beider Integrale, so sieht man unmittelbar,

dass dieses grösser ist als jenes. Also ist auch das Integral | Yaz: —+dy?—--»- ,„ zwischen

zweien gegebenen Grenzlösungen genommen, ein Minimum, wenn die Variabeln lineare
Funktionen einer Unabhängigen sind.

S 5. Mass des Paralleloschems.

Das Mass V einer umschlossenen Totalität ist durch das »fache Integral / dxrdydz...

nl
ausgedrückt. Hat nun das (n — 1)fache Integral /dydz... einen konstanten, von x
unabhängigen Wert A, und sind die auf x bezüglichen Grenzen zwei konstante Werte,

deren Unterschied « ist, so ist offenbar V= a4. Die erste Voraussetzung ist unter
anderm erfüllt, wenn eine Grenzgleichung von der Form

Fy—p 2—N,...)=0

gegeben ist, wo pP, 1, .... beliebige Funktionen der einzigen Variabeln & bezeichnen.
Es kommen dann nur noch zwei Grenzgleichungen von der Form x = const. hinzu, und
das Integral V wird sich auf alle Werte von z erstrecken, welche zwischen diesen zwei
Konstanten liegen. Sind insbesondere p, 9, .... lineare Funktionen von z, so wird die
durch F=0 bezeichnete Grenze erzeugt durch die Bewegung eines Strahls, welcher
stets mit dem durch y=p,2=q..... bestimmten parallel bleibt. Die geschlossene
Totalität Y ist dann dem Cylinder der Geometrie zu vergleichen, wo 4 der Basis,
a der Höhe entspricht, und der hier angedeutete allgemeine Satz kann symbolisch so
ausgesprochen werden: Das Mass eines Cylinders ist gleich dem Produkte seiner
Basis und Höhe.

Wenn nun die Grenze des (n — 1)fachen Integrals A (der Basis) wiederum so
beschaffen ıst u. s. f., so wird zuletzt V’=.abe... Dann ist x zwischen zwei Konstante,
deren Unterschied a, y zwischen zwei lineare Funktionen von z, deren Unterschied D,
z zwischen zwei lineare Funktionen von x, , deren Unterschied c u. s. w. eingeschlossen.
Die Totalität wird somit zwischen n Paare von parallelen linearen Kontinuen einge-
schlossen; sie heisse Paralleloschem. Wir dürfen immerhin annehmen, dass die
Gleichungen für die u Anfangsgrenzen durch die Nullwerte sämtlicher Variabeln befriedigt
werden. Nehmen wir je na — 1 von diesen linearen Anfangsgleichungen zusammen, so
bestimmen sie immer einen Strahl, den wir, durch das weggelassene Paar paralleler
linearer Kontinuen begrenzt, Kante des Paralleloschems nennen. Dieses hat im ganzen
n. 2”! Kanten; da aber je 2"”' parallel und gleich lang sind, so zerfallen sie in n Gruppen,
von denen wir diejenige fixieren, wo die un Kanten vom Ursprung ausgehen. Von den
n Gleichungen, von denen je eine durch ıhre Weglassung einer Kante entspricht, ist die
erste = U, die zweite ax + Py= 0, die dritte ex — Py--yz=0u.s.f. Lässt man
die erste weg, so braucht ım allgemeinen keine Variable zu verschwinden; lässt man
die zweite weg, so bleibt x = 0; lässt man die dritte weg, so bleiben =, y:=0;
lässt man die vierte weg, so bleiben 2=0, y=0, z=0u.sf., d.h. für die erste
Kante verschwindet keine Projektion und ihre erste Projektion ist a; für die zweite
Kante ist die erste Projektion o, die zweite b; für die dritte Kante sind die erste und
zweite Projektion o, die dritte ce u.s.f. Wenn also die Projektionen der n Kanten in
ein quadratförmiges Schema gebracht werden, so befinden sich darin auf der einen Seite
der Diagonale lauter Nullen, und V ist gleich dem Produkt der in die Diagonale fallen-
den Projektionen, also gleich der Determinante aller Projektionen. Wenn wir nun die
Variabeln in ein neues orthogonales System transformieren, so ist die Determinante der
alten Projektionen bekanntlich gleich dem Produkt der Determinante der Transformations-

— {I ze

elemente und der Determinante der neuen Projektionen, also (da jene für ein orthogonales
neues System gleich 1 ist) gleich dieser. Da aber, wie wir sogleich zeigen werden,
für jedes ‚Paralleloschem immer ein orthogonales System von der Beschaffenheit jenes
alten gefunden werden kenn, so haben wir den allgemeinen Satz:

Das Mass eines Paralleloschems ist gleich der Determinante der ortho-
gonalen Projektionen seiner Kanten.

Die Projektionen der Kanten eines Paralleloschems in irgend einem orthogonalen
Systeme seien a,b, c,...;a,V,c,...@,b,c’...; etc. Man soll dieses System in
ein neues orthogonales transformieren, zu welchem das Paralleloschem die oben voraus-
gesetzte Beziehung hat. Denkt man sich sowohl die Kanten als die neuen Variabeln
X, Y,... in einer der oben angenommenen entgegengesetzten Ordnung, so sind die
Projektionen im gesuchten System:

Es sei ferner

= aX+«Y+a’Z-+---,

U —BX+BETYT+P'Z-+ ---,

I | 7 2 222222
a=Ar| «=Aa+Ba | "= Aa+Bad+l'a
b=4B| b=AB+BP " =A'B+B'B + CP

Durch die Gleichungen der ersten Vertikalreihe sind

Al ee
bestimmt. Da das neue System orthogonal sein soll, so liefert die zweite Vertikalreihe
A=ae-+dB+----
und, wenn man nun den gefundenen Wert von A substituiert, auch

w — 4’«

B=-Ya@—-A+W— At ,d= nn...
Die dritte Vertikalreilie giebt
A’=ae+lV’B-+----, B=aW+lUß + ----

und, wenn diese zwei Werte substituiert werden, endlich auch C”,«',ß,.... u. f.
Jede im Paralleloschem enthaltene Lösung ist durch die Gleichungen

—=kla+Na Na’ +: -, yaklb-XV NV + .--, etc.
dargestellt, wo die unbestimmten Faktoren A, X, 4,... positive, echte Brüche bezeichnen.

u Ye

Wird die Determinante Y= &+.albc'... mit sich selbst multipliziert, so ist das
Produkt wiederum gleich einer Determinante, deren Elemente

a@—+1?--0—+.--, ad +lU +ced +, aa +LlV’" +cc” + ..., etc.
da+bb+cc+--, a’+b’+c?’—+--, aa +bV +cc” —::--,etc.,
etc.

sind. Bezeichnet man nun die Kanten des Paralleloschems mit k, X, 1”, ... und die von
je zweien gebildeten Winkel mit Z (kl), ---, so ist z.B.

++... =lt, ad—ldV’ +. —=kl cosZ (kl)
und man hat

= h? ‚IK cosZ(kk) .kk cos/(kE)..:...
Kk cos Z/(kR) . K: ‚KK cos/(kk”).....

—=/(khRk << 1 .cosZ(kK) .cosZ2(kÜ). .... |
cos Z (Wk) . 1 ‚cos L(KR”). ....
cos /(kK'k).cosZ/(K'k). 1

Das Mass des Paralleloschems ist also das Produkt aller seiner Kanten, multipliziert
mit der Quadratwurzel der Determinante, deren allgemeines Element der Cosinus des
Winkels ist, den jede Kante mit jeder Kante bildet.

It 7=0, so genügen alle Kanten einer und derselben linearen Gleichung, sie
fallen in eine und dieselbe Ebene und umgekehrt. Dann muss also auch die Deter-
minante der Cosinus verschwinden. Sind die Winkel, welche n — 1 vom Ursprung aus-
gehenden Strahlen mit einander bilden, beliebig gegeben, und es soll ein »ter Strahl in
dem durch jene bestimmten linearen Kontinuum liegen, so kennen wir also eine Be-
dingung, welcher die an — 1 Winkel, die dieser mit den übrigen Strahlen bildet, genügen
müssen. Setzt man n= 4, so passt das Gesagte auf den Fall, wo im Raune vier
Strahlen von einem Punkte ausgehen, und die obige Formel liefert uns unmittelbar die
Bedingung, welcher die Cosinus der sechs Seiten eines sphärischen Vierecks genügen
müssen. Nennen wir drei von einer Ecke ausgehende Seiten a, b, c, ihre Gegenseiten
a,b,c, so ist die Bedingung:

0 — 1 .cosa.cosb . cosc —1-— Feos’a--2Fcosa cosb cosc
cosa. 1 .cosc .cosb
cosb.cosc. 1 .eos«a + 2 cos’ a cos’ a — 2 2 cos a cos a cosbcosb.

! !
cose..cosb.cosa. 1

ae

Fällt man aus einem innerhalb eines Tetraeders befindlichen Punkte Senkrechte
auf seine Ebenen, so ist jeder von zwei Senkrechten gebildete Winkel das Supplement
eines Flächenwinkels des Tetraeders. Man hat also in der letzten Gleichung auch die
Bedingung, durch welche die sechs Flächenwinkel eines Tetraeders verbunden sind.

$ 6. Ueber schiefe Systeme.

Wenn wir die auf das vorige Paralleloschem bezüglichen Bezeichnungen be-
halten und
te, ya + tt, ete.
setzen, so stellen diese Gleichungen eine Lösung dar, zu der man vom Ursprung aus
auf einem gebrochenen Wege gelangt, der aus den n Abständen 4, t,t',... zusammen-
gesetzt ist, welche resp. mit den Kanten k,%,k’,... des Paralleloschems parallel sind.
Denkt man sich die Abstände t, t, t',... variabel, so repräsentieren sie ein schiefes
System. Setzen wir jetzt = x’ + y”—+---, so bekommen wir als Abstand irgend
einer Lösung (t, t,t,...) vom Ursprung:

r=-YER--P Hi? HH +21 cosZl(kE)-H +2El’cos/ (RE) +
Durch die en (n-— 1) Cosinus, welche in diesem Ausdruck für einen Abstand r, dessen

schiefe Projektionen t£, t,',... sind, vorkommen, ist die Beschaffenheit des schiefen
Systems völlig bestimmt. Wird der Ursprung festgehalten, so ist die Lage eines schiefen

Systems durch n(n — 1) Data bestimmt, die Lage irgend eines orthogonalen Systems
1
2
des schiefen Systems gleichgültig ist, auf welches orthogonale System dasselbe bezogen
werde, so hat man diese Zahl von jener abzuziehen, und es bleiben also wirklich nur

hingegen nur durch — nr (n — 1) Data. Da es nun für die wesentliche Beschaffenheit

—n (n — 1) wesentliche Data für das schiefe System übrig; als solche kann man die

Winkel Z (kl), ..., oder die Koeffizienten der Produkte der Variabeln im Ausdruck
für das Quadrat des Abstandes r ansehen.

Das Element der Totalıtät ist im schiefen System ein Paralleloschem, dessen
Kanten dt, d!,dt,... mit den Axen k,W,%”,... parallel sind. Bezeichnen wir die
Determinante der Cosinus der Winkel Z (kk), Z (kW), ... mit A?, so ist dieses Element

WVV=A.dtdtdt.....

$ 7. Mass der Pyramide.
Es ist klar, dass das Integral P= A /dtdt dt’... durch die Bedingungen

> >I.., ++ 4rt<1

>. 6;

völlig begrenzt ist. Wir nennen ein solches von » 4 1 linearen Kontinuen umschlossenes
Integral P eme Pyramide. Setzt man t=ku,t=ku, tt! =Kk'W,...., so wird

P=A.kkl.... x fdudu du...

mit den Grenzen u>0, «>0, u" >0,..., ut «+ ww -+---<1l; da das Integral
keine Konstanten enthält, so kann es durch ‚f(n) bezeichnet werden. Die vorletzte
Integration:

n—i

de du dw"... [| >(0, W >0,..., Wu" Hu" +. .- <1l— u].

Man setze = (l— u)vV, W = (1—ı)v',ete., so wird
n—1 n—|1

[au du ...=(1-— u) [ dv dv dv"... [x >0,1"" >0,...‚,r!"-+vV-+--- <]l ]
=(1— ) fi — 1);

1
2 n—1 n—1) 1
SW=f@=1.[a-W"" au= PL =
z 0
weil SV= [au[a>0,a<ı]l=1
ist. Es ist also
RE SE BEE 14
ers... Ti BP RER n

Die Pyramide ist gleich dem Paralleloschem, das mit ihr n von einer
Lösung ausgehende Kanten gemein hat, dividiert durch die Permutationszahl

Wir wollen die Aufgabe noch aus einem allgemeineren Gesichtspunkte betrachten.
Denken wir uns ein geschlossenes Stück eines linearen Kontinuums, für welches die
orthogonale Variable x konstant ist, so können wir sein Mass durch

n—1

S= fdydz...
ausdrücken, gleich wie wenn es ein Stück einer (x — l1)fachen Totalıtät wäre. Die
Grenze werde durch den Durchschnitt irgend eines höhern Kontinuums gebildet, dessen
Gleichung die Form

F(Z, —, ei

habe. Setzt man nun y=zu, z=xwW,...., so wird
n—|1
>E ’ 2 . ’ (7)
S—a"'fdwWdw'... mit der Grenze F(«,«,..)=V0.
Bezeichnen wir mit U den Wert des Integrals [Aw du” ..., welcher offenbar nur
durch die Natur der begrenzenden Gleichung F=0 bedingt ist und daher konstant

un. HT

bleibt, wenn auch x variiert, so haben wir S=U.x"-'. Variiert nun x von 0 bis h, so
entsteht eine geschlossene Totalität P, begrenzt vom linearen Kontinuum x=h und

vom höhern

ihr Mass ist .

h E
P=U| a'de—=U.%
1)

n
n

Für <=h werd S=B, so ist B=U.Nl"”' und
r= en hB.
”n

Nennen wir nun die geschlossene Totalität P einen Kegel, B seine Basis, den Ursprung
Spitze und den orthogonalen Abstand A dieser Spitze vom linearen Kontinuum der
Basıs B die Höhe, so haben wir den Satz:

Das Mass eines Kegels ist der nte Teil des Produkts seiner Basis
und Höhe.

Setzt man die Basis wieder als Kegel einer (n — 1)fachen Totalität voraus u. s. f.,
so erhält man den frühern speziellern Satz über das Mass der Pyramide.

1
2

$ 8. Mass der Pyramide, ausgedrückt durch ihre n (n—1) Kanten.

Bezeichnen wir die als Ursprung angenommene Ecke durch o, die übrigen durch
1, 2,...n und die von jenem nach diesen gehenden Kanten durch k,, ka, ... k,, ihre ortho-
gonalen Projektionen durch a, b,c,... mit entsprechenden Zeigern, ferner das Quadrat
der Kante, welche die mit den Ziffern 4, u bezeichneten Ecken verbindet, durch (Au),
so sind die Projektionen dieser Kante

a, — 0, by — bu... , also (Au) = (a, — a) + (Me b,) —+- etc.
— k,+k, — 2k,k, cos Z (k,k,); folglich
(Au) — (oA) — (ou) = 2k,k, 008 / (k,k,);

und es wird (AA) = o, (Au) = (uk) sein. Betrachten wir nun eine Determinante 2, deren

allgemeines Element (Au) w ist, und wo in jeder Horizontalreihe die Zahl u und in

jeder Vertikalreihe die Zahl A die Werte 0, 1,2, 3,...n durchläuft und subtrahieren zuerst

die Elemente der Horizontalreihe (A = 0) von den‘ entsprechenden Elementen aller übrigen

Horizontalreihen, so wird in diesen das allgemeine Element (Au) — (ou). Subtrahieren

wir ferner die Elemente der Vertikalreihe (x = 0) von den entsprechenden Elementen aller
8

au, PO

übrigen Vertikalreihen, so wird in diesen das allgemeine Element (Au) — (ou) — ((A0) — (00))
= (Au) — (oA) — (o(u)= — 2h,hk, cos Z (R,/i,), und » bleibt nur in dem Element (A = o,
u = 0) noch übrig. Also ist 2 eine lineare Funktion von w, in welcher der Koeffizient

von w gleich
=

- (- 9 7°

ist, wenn V?, wie früher, die Determinante der Elemente kl, cos Z (k,h
wo sowohl A als « die Werte 0, 1,2,3,...n durchläuft. Also ist

:) bezeichnet,

ru

SI 0 aa
Peer, dm ’ ung en er I

Für u = 3 findet man

P=—— Vz[eon -+ (23) || — (01) (23) +- (02) (13) + (03) (12) ] — & (12) (23) (13).

Wird dieser Ausdruck gleich Null gesetzt, so hat man die Relation, durch welche die
Quadrate der sechs Seiten eines Vierecks verbunden sind. Für n = 4 ist

— 2 2:(01) (12) (23) (30) + Z (01) (12) (23) (34) |

1
Fe
(Die unter das Summenzeichen gesetzten Ziffern geben die Zahl der Glieder an, welche
jede Summe enthält.) Das Verschwinden dieses letzten Ausdrucks ist die Relation
zwischen den Quadraten der zehn Entfernungen von fünf beliebigen Punkten im Raume.

Sind für ein beliebiges n alle - n (n— 1) Kanten der Pyramide der Einheit

gleich, so ist

$ 9. Anwendung von $ 6 auf die Verwandlung vielfacher Integrale.

Es sei T eine Funktion der n Variabeln x, y,2,... und S —f Tdxdydz.... Man
soll dasselbe Integral durch die n neuen Variabeln t, t,t' ... ausdrücken, wenn x, y,..
als unter sich unabhängige Funktionen derselben gegeben sind.

Fassen wir x, y,... als Variabeln eines orthogonalen Systems auf, so ist das
Produkt dxdy... das Element einer von den Integrationsgrenzen umschlossenen Totalıtät.
Wird jedes solche Element mit dem der betreffenden Lösung entsprechenden Werte der
Funktion 7 multipliziert und die Summe aller innerhalb des gegebenen Kontinuunis

fallenden Produkte genommen, so hat man das Integral 5. Wenn nun die Incremente
von T innerhalb der gegebenen Grenzen überall von derselben Ordnung sind, wie die
unendlich kleinen Abstände je zweier Lösungen, so steht es offenbar frei, das gegebene
Stück der Totalität in Elemente von anderer Form einzuteilen, das Mass eines jeden
mit 7 zu multiplizieren und die Summe aller dieser Produkte zu nehmen. Da der
Fehler jedes Produkts von einer höhern Ordnung ist als das Mass des Elements, so
wird der Fehler der Summe von einer verschwindend kleinen Ordnung sein und daher
das neue Integral mit 5 zusammenfallen. Wird nun das gegebene Stück der Totalität
durch Kontinuen, welche den Gleichungen t = const., E = const., t" = const., ... ent-
sprechen, in Elemente zerschnitten, so ist ein solches Element ein schiefes Paralleloschem,

dessen erste Kante die Projektionen e dt, N di,..., die zweite die Projektionen
. dt, dt ..., us. f. hat. Sein Mass ist also

(s+ dr 9y 8:
--—— 91 If 9

wo die Summe die Determinante der partiellen Differentialkoeffizienten bedeutet. Das
Integral verwandelt sich demnach in

ea re) dtdt dt‘...

) x dtat dt ...,

S 10. Ueber Polyscheme.

n

Wenn das nfache Integral f dzdydz... durch lauter Gleichungen ersten Grades
vollständig begrenzt wird, so dass keine der Gleichungen bei der Begrenzung als über-
flüssig erscheint, so nennen wir die geschlossene Totalität, deren Mass jenes Integral
ist, ein Polyschem P,. Seine Grenzkontinua sind durch jene linearen Gleichungen
dargestellt und ihre Zahl kann nicht kleiner als n —-1 sein. Fixieren wir eines dieser
Grenzkontinua, so erscheint es uns, wenn wir nur die in ihm befindlichen Lösungen
betrachten, welche zugleich innerhalb jenes Integrals hegen, als ein geschlossenes lineares
Kontinuum. Wir können dann das ursprüngliche System immer so orthogonal trans-
formieren, dass eine neue Variable in der ganzen Ausdehnung dieses linearen Kontinuums
verschwindet. Mehrere jener ursprünglichen Grenzgleichungen, deren Zahl wenigstens
n betragen muss, werden dann in ihrer transformierten (offenbar wieder linearen) Gestalt,
wo sie nur die an — 1 übrigen neuen Variabeln enthalten werden, zur Umschliessung
des fixierten Grenzkontinuums dienen. Da eine Variable nun ganz aus der Betrachtung
wegfällt, so ist alles wieder so, wie in einer Totalität, aber einer bloss (n — 1)fachen;
das geschlossene Grenzkontinuum hat ein dem ursprünglichen ähnliches Integral, das
aber nur (n — I)fach ist, zum Mass; innerhalb der von den (n — 1) übrigen neuen

— 0 —

Variabeln gebildeten Totalität ist es daher auch ein Polyschem P,-,. Das gegebene
P, ıst also wenigstens von n--1 P,-, umschlossen, jedes von diesen wenigstens von
n P,-s u. Ss. f. Im allgemeinen sclıneiden sich drei P,_,, als unbegrenzte lineare Kontinua
aufgefasst, erst in einem (n — S)fachen, linearen Kontinuum, und wenn sie sich schon
in einem (n — 2)fachen linearen Kontinuum schneiden, so sind ihre Gleichungen nicht
mehr unabhängig von einander. Tritt ein solcher spezieller Fall ein, so können doch
nicht alle drei (oder mehrere) P,_,, als begrenzte Gebilde aufgefasst, das fragliche P,_, in
seiner ganzen Ausdehnung gemein haben; wir zerlegen es dann in Stücke, deren jedes
in seiner ganzen Ausdehnung immer nur zweien nachbarlichen P,-, gemein ist.

Wir wollen daher durchweg annehmen, dass ein im Umschluss des P, vorkommen-
des P,-z Immer nur zweien P,-, und dann in seiner ganzen Ausdehnung gemeinschaftlich
sei; hingegen zugeben, dass ein P,_, nicht nur wenigstens dreien, sondern auch mehreren
nachbarlichen P,-, gemein sein könne: ein P,-, wenigstens vieren oder auch mehreren
ne US

Wenn keine zwei der P,-, aus denen der Umschluss eines P,„ besteht, sich
schneiden, und dasselbe doch eine einzige zusammenhängende Totalität bildet, so nennen
wir es nicht überschlagenes Polyschem, im entgegengesetzten: Falle ein über-
schlagenes. Wenn keine innerhalb des gegebenen Polyschems befindliche Lösung
dem verlängerten Kontinuum eines seiner Grenz-P,_, angehört, d. h. wenn für sämtliche
innerhalb des Polyschems fallende Lösungen das Polynom einer jeden Grenzgleichung
iınmer dasselbe Vorzeichen behält, wenn z. B. alle Polynome stets positiv bleiben, so
ist das Polyschem konvex. Durch eine innere Lösung sei ein unbegrenzter Strahl
gezogen, so kann auf diesem die Lösung nur nach den zwei entgegengesetzten Richtungen
sich fortbewegen; man denke sich die Werte der Lösung fortwährend in den Polynomen
aller Grenzgleichungen substituiert. In demselben Augenblicke nun, wo der Wert eines
einzigen dieser Polynome ein entgegengesetztes Vorzeichen angenommen hat, ist auch
die bewegte Lösung ausserhalb des Polyschems getreten. Das Gleiche gilt für die
Bewegung in der entgegengesetzten Richtung. Folglich kann der Umschluss eines
konvexen Polyschems von einem Stralıl in nicht melır als zwei Lösungen geschnitten werden.

Wird der Umschluss eines Polyschems P,, ohne eines der P,-, zu zerbrechen, so
in zwei Teile geteilt, dass jeder ein einziges gebrochenes (» — 1)faches Kontinuum bildet,
so soll jeder dieser Teile eine offene polyschematische Figur heissen.

Satz. Wenn unter der Voraussetzung einer nfachen Totalität in einem
Polyschem oder einer offenen polyschematischen Figur die Zahl der Grenz-
lösungen mita,, die der Grenzstrahlen mita,, überhaupt die Zahl der ifachen
polyschematisch geschlossenen linearen Grenzkontinuen P; mita, bezeichnet
wird, und ist endlich a„= 1, wenn ein geschlossenes Polyschem, «„=0, wenn
eine offene polyschematische Figur vorliegt, so ist

=1
ae = Eu U Sl Pe = (— 1)" Adn-1 7 re 1)7 Ad. = 1.

rg

zu... Di. u

Beweis. Ich nehme an, der Satz sei für die (u— 1)fache Totalität schon
bewiesen, und bezeichne in der nfachen Totalität für irgend eine offene polyschematische
Figur die linke Seite der fraglichen Gleichung mit A,. Wird nun dieser Figur ein
neues P,-, angefügt, ohne dass sie dadurch zu einem geschlossenen Polyschem wird,
so ist die diesem ganzen geschlossenen P,-, entsprechende Zahl A,-, nach der Voraus-
setzung gleich 1. Es hat aber mit der anfänglichen Figur eine derselben (n — 1)fachen
Totalität angehörende, offene polyschematische Figur gemein, deren Zahl 4A,_-, ebenfalls
gleich 1 ist. Da diese zweite Zahl A,_, schon in der anfänglichen Zahl A, enthalten
ist, so muss sie, bei der Berechnung des Zuwachses von A,, von der ersten Zahl
A,„-ı abgezogen werden; der Rest ist 0. Die Zahl a, ist auch jetzt noch 0 wie vorher.
Die anfängliche Zahl A, hat also durch das Anfügen eines neuen P,-, keine Veränderung
erfahren. Ist hingegen die anfänglich offene Figur so beschaffen, dass sie durch das
Anfügen eines neuen P,-, zu einem geschlossenen Polyschem wird, so verändern sich
die Zahlen a, (y, (ia, »-. Ay nicht, die Zahl «,_, wächst um 1, und die Zahl «a, geht
aus 0 in 1 über. Da aber die Zahlen a,_, und «a, in dem fraglichen Ausdruck mit
entgegengesetzten Vorzeichen versehen sind, so wird auch in diesem Falle der Wert
A, dieses Ausdruckes nicht geändert. Nehmen wir nun nach und nach ein P,-, nach
dem andern weg, so dass immer eine offene polyschematische Figur übrig bleibt, so
wird diese zuletzt aus einem einzigen P,-, bestehen, und, da ohnehin a, = 0 ist, so
wird das entsprechende A, gleich sein der Zahl A,-, dieses einzigen P,-., also nach
der Voraussetzung gleich 1. Nun ist für n=1 das P, ein begrenzter Strahl, also
“=2, ,=1; folglich 4A, =w— a, =1. Der Satz ist somit bewiesen.

S$S 11. Berechnung des Masses eines Polyschems.

Durch ein (n — 2)faches lineares Kontinuum und eine ausserhalb desselben be-
findliche Lösung kann immer ein (n — 1)faches lineares Kontinuum, und zwar nur eines,
gelegt werden. Denn, wenn jenes durch die zwei simultanen Gleichungen = 0, v=(,
wo u, v lineare Funktionen der Variabeln bedeuten, bestimmt ist, so ist jedes durch-
gehende (n — 1)fache lineare Kontinuum in der Gleichung w-+-Av=0, wo A einen
willkürlichen Faktor bezeichnet, enthalten. Soll es aber durch die gegebene Lösung gehen
und erhalten für diese die Funktionen «, v resp. die bestimmten Werte p, q, so muss auch
p-:-Aq=0 sein. Hiedurch ist A bestimmt, und man hat gu — pv = 0 als Gleichung
des verlangten linearen Kontinuums.

Denken wir uns nun das gegebene Polyschem P, als konvex, wählen innerhalb
desselben eine beliebige Lösung und fixieren dann irgend ein P,_, des Umschlusses, so
ist auch dieses wieder von vielen P,_, umschlossen, und wir legen durch jedes derselben
und jene innere Lösung ein lineares Kontinuum; dann erhalten wir einen polyschema-
tischen Kegel, welcher die Lösung zur Spitze und jenes fixierte P,_, zur Basis hat.

I
PEN en et

Wird das Polynom der Gleichung dieser Basis für jene Lösung ausgewertet und durch
die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Koeffizienten der Variabeln dividiert,
so hat man die Höhe des Kegels gefunden. Kennt man ferner das Mass der Basis
P,-', multipliziert es mit der Höhe und dividiert durch n, so hat man das Mass des
Kegels. Da endlich das gegebene Polyschem P, in lauter solche Kegel zerfällt, so ist
sein Mass gleich der Summe der Masse aller dieser Kegel.

Wie die Aufgabe, ein P, zu berechnen, auf die für ein P,_, zurückgeführt ist,
so hängt auch diese wieder von der Berechnung eines ?,_, ab u.s. f. Zuletzt hängt
alles von der Berechnung eines P, oder eines Abstandes ab. Die Berechnung der Höhen
und die ortliogonalen Transformationen, welche jeweilen zur Wegschaffung einer Variabeln,
deren Verschwinden einer Basis entsprechen soll, gemacht werden müssen, erfordern
immer eine Ausziehung der Quadratwurzel aus einer Sunme von Quadraten, während
der Natur der Aufgabe nur rationale Rechnungen wesentlich eignen.

Die Zalıl der zu berechnenden Kegel wird geringer, wenn man eine Grenzlösung
des P,„ zu ihrer gemeinschaftlichen Spitze wählt. Nehmen wir nun an, jede Basis
P,-, sei schon in lauter Pyramiden (x""') zerteilt, so ist jede von diesen die Basis
einer Pyramide (x”), welche jene Grenzlösung zur Spitze hat. Wenn man also über-
haupt ein P,-, in lauter Pyramiden zerlegen kann, so ist dieses auch für jedes P,
möglich. Nun kann man aber jedes P, oder Vieleck in lauter Pyramiden (x?) oder
Dreiecke zerlegen, folglich kann auch jedes Polyschem (®*) in lauter Pyramiden (o0*)
zerlegt werden. Das Mass einer solchen ist der 1.2.3...nte Teil der Determinante
der Projektionen von n ihrer Kanten, die von einer und derselben Ecke ausgchen.
Hiedurch ist also die Berechnung des Masses eines Polyschems auf lauter rationale
Rechnungen zurückgeführt.

$ 12. DÜUeber die Projektionen eines linearen mfachen Kontinuums, wenn m

zwischen 1 und n legt.

Da das Kontinuum in paralleloschematische Elemente zerlegt werden kann, so
wollen wir das Mass S eines Paralleloschems (®©”) untersuchen, wenn m geringer ist
als die Dimensionszahl n der Totalıtät. Transformieren wir die Variabeln orthogonal,
so dass für das gegebene Kontinuum n» — m der neuen Variabeln verschwinden, so haben
wir es bei der Berechnung des Paralleloschems (®©”) nur mit den übrigen ın Variabeln
zu tun. Es gilt also der frühere Satz ($ 5), wenn darin m statt n gesetzt wird. Sind
nun Äy, fig, .... Zi. die Kanten des Paralleloschems „, so ist

N hi A COS ZA) CZ he) w
! li, I, cos £ (3 k,) 5 ki . hi; hi cos Z (I, l,) BE

93 —_
Sind nun a,, d, €, -.- die n Projektionen von k, im ursprünglichen System, so haben
wir früher gesehen, dass

kk,cos/(kk)= a, +bb, +: --

ist. Bezeichnen jetzt f, 9, h,.... irgend m der n Projektionen a,b, c,...., so ist nach
einem bekannten Satze:

v2 Asus .... Sr
N
wenn die Summe sich auf alle Kombinationen /gh... ohne Wiederholungen und ter
Klasse aus den n Elementen a, b, c,... erstreckt. Jede der (7) Determinanten, aus
deren Quadraten diese Summe besteht, nennen wir eine Projektion von S auf das ent-
sprechende sifache lineare Kontinuum, für welches alle n— m mit f, 9, h,.... nicht-
gleichnamigen ursprünglichen Variabeln verschwinden. Es ist sogleich klar, dass, wenn
wir nur die Längen Äk,,%,,...k.„ der Kanten, aber nicht ihre Richtungen ändern,

sämtliche Projektionen mit S proportional sich verändern werden.
Betrachten wir nun wieder das beliebig umschlossene »ifache lineare Kontinuum
und teilen dasselbe durch Scharen paralleler (m — 1)facher linearer Kontinuen in un-

endlich kleine Paralleloscheme (00”) dS, deren jedes die (7) Projektionen dP,dP',dP",...

sind konstant. Wenn also S das Mass des »fachen Kontinuums, P, P', P”,.... seine
Projektionen bezeichnen, so ist

S®—= P?-ı P?--P'?’-L....,
d. h. das Mass irgend eines geschlossenen linearen mfachen Kontinuums ist

gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner (7) Projektionen.

Wenn 1<m<n-—1 ist, so sind die ) Projektionen nicht unter sich unab-

hängig. Man kann nämlich die Gleichungen des linearen mfachen Kontinuums immer
so darstellen, dass n — m Variabeln als lineare Funktionen der » übrigen erscheinen.
In jeder von diesen sind » Koeffizienten der Variabeln und noch eine freie Konstante
gegeben; die letzte zählen wir nicht, als ohne Einfluss auf die Richtung des mfachen
Kontinuums. Diese Richtung wird also im ganzen durch (n — m) m Data hinreichend
bestimmt. Setzen wir jetzt Projektionen, so kommt ausser der Richtung noch das Mass

des projizierten Kontinuums als neues Datum hinzu. Also sind unter den (7) Pro-

jektionen nur n— m)m—+-1 unter sich unabhängig, alle übrigen aber sind
durch diese bestimmt.

Die zwei angeführten Zahlen ändern sich nicht, wenn man m mit n — m vertauscht;

® .. == 1 .
wir dürfen also m» <-;- n voraussetzen. Betrachten wir nun den Bruch
N n—1 n— 2 n—3 n—m-+i1
“ ——— ® —,—,— ® =— 1: 0 ı ee 2» ® ———— — DE —— N)

3m n—m 3 4 m
so sind seine Faktoren

N | n—|1 1 n— 2 n—-m+1
2m in n—m 2 3

. er n—1 ; z TE
der Bruch ist also grösser als ann und, wenn wir mit (na — m) m multiplizieren,

(an) > (an — Dmn=(n—m)m-+m(m—]),

m

also, da m > 1 vorausgesetzt ist, auch
(.) > (n— m)m—+1.

(Für m=1 oder w =n—1 hingegen wird jede der zwei hier verglichenen Zahlen
gleich n. Also kann erst für n>4 der Fall eintreten, dass nicht alle Projektionen
unter sich unabhängig sind.)

Es seien nun a, b, c,...e die Zeichen für irgend m--1 Projektionen einer
Kante % jenes mfachen Paralleloschems; f, 9, I, .... die Zeichen für » — 1 Projektionen
derselben Kante; nur darf die Kombination (m — 1)ter Klasse, f, y, ..., weder eine
aus den Elementen D, c, ....e gebildete sein, noch das Element a enthalten. Dann sei
die Determinante

a.b .Cc.....0 —=auaA--bB-eÜ! ..-—ceE,
a,.bi .c e
an Dt em

wo a,d,c,...e willkürliche Grössen bezeichnen, während die mit Zeigern versehenen
Buchstaben gegebene Projektionen von Kanten bedeuten; es wird also sein;

aA+-bLB+aC+-- te E=0(,
4,A-lbB--,UÜ--:..--+8E=(,

Ferner sei

En

Man sieht nun leicht, mit welchen Faktoren man die m Gleichungen des vorigen Systems
multiplizieren muss, um die Gleichung

AA+BB+eC+.- —-CE=0

zu erhalten, welche eine der gesuchten Relationen zwischen den (%) Projektionen von

S darstellt. Wir wollen nun diese Relationen so zu ordnen suchen, dass es klar wird,
wie viele Projektionen P unabhängig sind, und wie alle übrigen aus diesen berechnet
werden können.

Lassen wir vorerst die von den mit a bezeichneten Elementen abhängigen Pro-
jektionen P weg und denken uns die wesentlichen Relationen zwischen den übrigen
schon aufgestellt und mittelst derselben diese alle berechnet. Denken wir uns nun
B,C,.... E, an Zahl m Projektionen (mit a) willkürlich gegeben und bilden dann aus
den u — 1 Elementen db, c,.... alle Kombinationen (m — 1)ter Klasse, f,g,h...., mit Aus-
schluss der aus den m Elementen b, c,...e zu bildenden, so sind die entsprechenden A
durch obige Relation immer in Funktion der m unabhängigen B, C',.... E gegeben. Alle

jene YX, mit diesen B,(,... E zusammen, sind aber sämtliche zZ 1) Determinanten,

worin der Buchstabe a vorkommt, und unter diesen sind also höchstens m unabhängige.
Ebenso kann man zeigen, dass unter allen Determinanten, worin a fehlt, aber b vor-
kommt, höchstens m unabhängige sind; ebenso unter denen, worin a, b fehlen, aber c
vorkommt u. s. f£ Endlich gelangen wir zu den Determinanten, worin de n—m—1
ersten Buchstaben fehlen und der (n — m)te vorkommt; ihre Zahl ist offenbar m. Zuletzt
ist noch eine Deserminante, diejenige, worin die m letzten Buchstaben vorkommen, übrig.
Wir bekommen so offenbar höchstens (n — m) m — 1 unabhängige Projektionen. Der
Natur der Sache nach müssen aber gerade so viele sein, wie wir vorhin gesehen haben.
Folglich haben wir auch alle wesentlichen Relationen aufgezählt.

Sind (7) Projektionen, welche diesen Relationen genügen, beliebig gegeben, so

ist es leicht, die n — m Gleichungen eines entsprechenden linearen Kontinuums zu finden,
das z. B. durch den Ursprung gehen möge. Es seien z, y,... z die m ersten Variabeln,
4,vd,W,... die übrigen und

weg +8,8y+ +0, vafz +fy tr --Im2, etc.
die a — m gesuchten Gleichungen des linearen Kontinuums. Dann sind die in dem Schema

1 Nee er |
0120

. 121 1282 8 8 [Tr Tr Tr IT Tr I LE I

1 000 er a

n

enthaltenen (7) Determinanten den Projektionen des Kontinuums proportional. Da nun

4

__ 6 —

die Verhältnisse dieser gegeben sind und unter jenen (n — ») m-+-1 sich finden, denen

die Werte
1.0, Us far u. 0.0. : RR PREES

zukommen, so sind diese Werte bekannt.

$ 13. Mass eines mfachen höheren Kontinuums.

Die n Variabeln x, y, 2, ... eines orthogonalen Systems seien in Funktion von m
unabhängigen Variabeln t,t,£',... gegeben. Wenn durch keine Transformation dieser
unabhängigen Variabeln jene x, y, 2,... als lineare Funktionen erscheinen, so nennen
wir das durch die n Gleichungen dargestellte mfache Kontinuum ein höheres. Es wird
durch »m Scharen von (nm — 1)fachen Kontinuen, welche den Gleichungen t — const.,
f = const., f' = const. ete. entsprechen, in paralleloschematische Elemente zerschnitten.
Die Kante, welche der Variation des einzigen t entspricht, hat die Projektionen

Ix dy dx

a dt, 9 dt, 9; Maas
u.s.f. Das Mass des Elements wird also erhalten, wenn man die Quadratwurzel aus
aus der Summe der Quadrate der ()) in dem Schema
| ÖL SUR Me; BERNER

enthaltenen Determinanten mit dt dt dt"... multipliziert. Integriert man endlich dieses
Produkt innerhalb der gegebenen Grenzen, so erhält man das Mass des geschlossenen
höheren Kontinuums.

Man kann die Gleichungen des Kontinuums so transformieren, dass die »n ersten
Variabeln =, y,... z als unabhängige und die an — m übrigen «,v, w,.... als Funktionen

jener erscheinen. Das vorige Schema erscheint dann in folgender einfacheren Gestalt:

1:0-0- re Oo
In Iv dw |

En . dy 9y 0y |

1b ee

Ist m = 2, so wird

a 2 GPRT To Be a
s= JYı+(6%) nn +) a ete.-1 (4 en u a a) + ete. dedy

das Mass des Kontinuums. Ist » = n — 1 und sind x, y, ... z die unabhängigen, u die
letzte und einzige abhängige Variable, so wird

Sc TYır( =; +(ör a “a des

das Mass des Kontinuums.

$ 14. Orthogonale Transformation der Projektionen eines linearen Kontinuums.

Was in Beziehung auf Verhältnisse der Projektionen für ein paralleloschematisches
Stück eines mfachen linearen Kontinuums gilt, ist auch auf ein beliebig umschlossenes
Stück desselben auszudehnen. Wir denken uns daher ein Paralleloschem, dessen Kanten
die Projektionen

| 0.0. re

versehen, mit den Nummern 1, 2, 3,... »» der Kanten als untern Zeigern haben. Es sei
ab...c irgend eine Kombination ter Klasse aus den n Elementen a, b,.....,d,&,.f,.-.;
so entspricht denselben die Kontinuumsprojektion

P=2Zta Diddl

Die orthogonalen Transformationsformeln seien nun
=et-at!+al+:---,
y=ßt+-Bt Hit’ ----,

. 0... 8 08 8 Tr Fr Tr Tr rk rd Tr LT TB FL — Gi ee

m’

... 0) 08 7 018 LT LT T LT TI LT ET TT EL oo

Die Projektionen der Kanten des mfachen Paralleloschems im neuen Systeme seien

h,W,hk',..., versehen mit den untern Zeigern 1,2,... m, entsprechend den Nummern
der Kanten. Dann ist
rel, 20 4.3466 Me al =),
I 0 EEE 0 EUR OR

welches Schema eine Determinante bedeutet, deren allgemeines Element die Summe der
Produkte der gleichaccentigen Glieder irgend einer Horizontalreihe links und irgend
einer rechts vom mittleren Vertikalstrich ıst. Es ist bekannt, dass diese Determinante

gleich ist der Summe der (7) Produkte von je zwei homologen Determinanten, welche

jedes der beiden durch den mittleren Vertikalstrich geschiedenen Schemate liefert. Die
Determinanten, welche das Schema rechts liefert, sind aber die Projektionen des m-
fachen Paralleloschems im neuen System, und die homologe Determinante im Schema
links ist der Faktor, mit dem man das mfache lineare Kontinuum (t# .. .), auf welches
diese einzelne Projektion gefällt wurde, und dem sie angehört, multiplizieren muss, um
seine Projektion auf das axiale Kontinuum (xy ...z) des ursprünglichen Systems
(xy...zuvw...) zu erhalten. Man kann daher die Transformation auch so darstellen.

Im ursprünglichen System (xy... zuwvw...) wird ein durch die m Variabeln
(xy ...z) bestimmtes axiales Kontinuum fixiert. Im neuen System (tft...) denkt man
sich alle axialen mfachen Kontinua und projiziert auf diese das gegebene geschlossene
lineare mfache Kontinuum S; dann werden alle diese Projektionen wiederum auf das
fixierte ursprüngliche axiale Kontinuum (xy ...z) projiziert; die Summe dieser letzten
Projektionen wird gleich sein der Projektion von 8.

Irgend eine aus der linken Hälfte des obigen Schemas entnommene Determinante
kann auch aufgefasst werden als Projektion eines Stückes des axialen Kontinuums
(z2y...2z) vom Masse 1 auf das mit der Determinante homologe axiale Kontinuum des
neuen Systems. Ersetzen wir das Mass 1 durch 7, so haben wir nach dieser Auf-
fassung folgenden Satz:

Wennin der nfachen Totalität ein orthogonales Axensystem und
irgend zwei lineare mfache Kontinua S und T gegeben sind, so ist die
Projektion von S auf 7, multipliziert mit T, gleich der Summe der Pro-
dukte der Projektionen von $ und T auf je eines und dasselbe axiale
mfache Kontinuum des orthogonalen Systems.

Es ist also klar, dass man im Subjekte dieses Satzes auch S und 7’ vertauschen
darf, ferner, dass der Wert des Prädikats vom gewählten orthogonalen System unab-
hängig ist. Wir können ihn daher mit ST' cos Z (ST) bezeichnen.

Wir wollen noch die Beziehung eines ‘linearen mfachen Kontinuums S zu einem
schiefen System betrachten. Fixieren wir ın diesem irgend ein axiales mfaches Kon-
tinuum (,, um S darauf zu projizieren, so müssen wir in allen Lösungen von S die
Werte der n — m Variabeln, welche in (, verschwinden, durch Null ersetzen. Das ge-
schlossene in C, fallende Kontinuum aller so veränderten Lösungen ist die Projektion
P, von S auf G,. Es ist sogleich klar, dass der Wert von P, nur von den Richtungen
der n— m nicht in ©, fallenden Axen des schiefen Systems, aber nicht von den m
Axen, durch welche C, gelegt ist, abhängt. Nehmen wir Sals mfaches Paralleloschem

9 —

an und bilden die Determinante D, der Projektionen seiner Kanten auf die in (\ lie-
genden Axen, ferner die Determinante ®,, der Kosinus der Winkel, welche jede dieser
nn Axen mit jeder bildet, so ist A =D, YO,,. Es sei (, ein anderes axiales ın-
faches Kontinuum des schiefen Systems, P, = D, Y9,,, und ©,, die Determinante der
Kosinus der Winkel, welche jede der Axen von C, mit jeder von C, bildet, so ist

S’=-D: 9, -+ D02.-+...+2D,D09.-+ . ..+2D,D O4 +...
8
= PI-H-P;+..:+2 PP —— -+.,
Pre +2PP are"
welche Summe + (+)! (+) +1 Glieder zählt. Aus dem für ein orthogonales
System Gesagten ist klar, dass
9, = Y9u : VO, - cos Z (C, 6)
ist. Man kann also setzen:
S’=Pi+Pji+...-+-2PPReosZ/(GC)-+...
Man bemerke die vollständige Analogie dieser Formel mit derjenigen für einen
Abstand im schiefen System.
Sind &,, ßı» Yu -.. die n Richtungskosinus der ersten Axe in C,, u.s.f. mit
den unteren Zeigern 1, 2,.. m, ferner a’, 8’, y,... (mit den unteren Zeigern 1, 2,...
m) die m Gruppen von je rn Richtungskosinus der Axen in C, (alle Richtungskosinus
beziehen sich auf ein orthogonales System), so ist

[} .,

Yla-A-n-.--|a-A-n...-|xYlo-Ropioe. | e. > |KeoszlaC)
Bu Des Iris Os ren n.f: Yı-..:|n.f- PM...
ERROR RE 0 RR, RR > 1735, PR. ER > OEL RFEEN

_Iı-Ah.n--.|a.A-Yı...-

Ges Pa - Ya: u: Br. 9 -:-.

Bar eh ea
S$ 15. Ueber das Verhalten linearer Kontinua zu einander.

Sind in der nfachen Totalität zwei lineare Kontinua, ein mfaches und ein m-
faches, gegeben, so hat man im ganzen 2 n — (m + m‘) Gleichungen; die beiden Kontinua
werden also im allgemeinen nur dann sich schneiden, wenn m + m >n ist. Ist z. B.
m m’ = n, so haben sie im allgemeinen nur eine Lösung gemein, einen Strahl, wenn
m+m =n-1,u.sf. Wenn dagegn m -+m’<n ist, so können im allgemeinen
die beiden Kontinua keine Lösung gemein haben. Handelt es sich nur um die Ver-

gleichung ihrer lichtungen, und legt man daher mit jedem derselben ein Kontinuum
parallel durch den Ursprung, so bestimmen diese zusammen ein (m+m’)faches Konti-
nuum. Man kann das System orthogonal transformieren, sodass n — (m + m) neue
Variabeln für dieses lineare Kontinuum verschwinden, und dann dieses wie eine (m--ın )-
fache Totalität betrachten, in welcher jenes mfache und ınfache lineare Kontinuum ge-
geben sind. Der Fall m + m <n ist somit auf den Fall m + m = n zurückgeführt.

Um der ferneren Erörterung dieses Gegenstandes die gehörige Deutlichkeit geben
zu können, muss ich den Begriff normaler Kontinuen einführen. Sind x, y,... die
Projektionen eines dem fachen linearen Kontinuum (’ angehörenden Strahls », und
%, Y,... diejenigen irgend eines Strahls »”, für welchen zu’ +yy +../=0 ist,
bleibt ferner die Lage des ersten Strahls »” innerhalb des Kontinuums C völlig frei, so
sind sämtliche vom Ursprung ausgehende Strahlen ” in einem (n — m)fachen linearen
Kontinuum C enthalten. Nun, zwei solche Kontinuen C und €” nenne ich normal.

Sind &,, %,,...t,„ die Variabeln eines beliebigen in C angenommenen schiefen
Systenss, und demgemäss

zen + bo Hr... 0, Em
yapı a u; 0 a
etc.

die orthogonalen Projektionen eines Strahls », dessen schiefe £,, £,,... t„ sind, so ver-
wandelt sich die obige Bedingung z& + yy +... = 0 für den Strahl »" in
tg, tt... +, WE BE ih +t-- ah) yY-+t... =0
und zerfällt, da 4, %,,.... t„ frei bleiben sollen, in die m Gleichungen
cc +ßy+...=0,i=123,3...m).

Diese stellen ein (n — m)faches lineares Kontinuum (“ dar, welches wir das normale
nennen.
Ich behaupte nun, dass, wenn (, C’ als geschlossen gedacht werden, die Pro-
jektionen des einen mit denen des andern proportional sind. Um dieses zu

beweisen, teile ich die n Variabeln x, y,... in zwei Gruppen, von denen die eine aus den
m Variabeln &,y,...z2,w, die andere aus den n — m Variabeln vV, w,...p,q
besteht.

Eliminiert man nun aus den m Gleichungen
(sea +ßy+t... +42: +dwWtev +...+6pP +ng =0,e =1,2,... m]
die m — 1 ersten Variabeln &,y',...z, so wird man die Gleichung

er: B---: N Gu travt...+&pP ty dg) BAR
Bo. Yu te, V tt... +&p +1)

em: Br: Im tt... +5 + rm)
oder
Aw--EvVU-+...Zp-+- Hy =QV

= SI

erhalten. Es seien n — m unter sich unabhängige Lösungen des Systems (a), nämlich
way = ßo.. (k=m+1l,m+2,...n — 1,n] bekannt, so ist auch

Im I4+ nn Et... 4 on Zt mar AH = 0,

I Atom E-+. . .+ 52 Zt Yayı H= 0,

d 4+e, E+...+-U Z+,. H=
Folglich sind die mfachen Determinanten 4, E,... H proportional mit den (n — m)-
fachen, welche aus den Koeffizienten d, &,...» der un — m letzten Gleichungen gebildet
werden können; .B.1=”S + ß,.-. Ya-ı Om ist proportional mit I + &,4, Smte: - -
n-ı Zu, U.8.f. Die Zahl der proportionalen Glieder in jeder der beiden Reihen ist hier
freilich nur n — m + 1; aber, wie man leicht sieht, kann man sie bis auf (7) bringen,
wenn man nach und nach immer andere Gruppen von je m — 1 Variabeln aus dem
System (a) eliminiert. Den soeben gefundenen Satz kann man nun so aussprechen:

Wenn im Schema einer nfachen Determinante die Kombination jeder

der m ersten Horizontalzeilen mit jeder der n — m letzten eine verschwin-
dende Produktensumme liefert, z. B.

. 12,3...
+ Bß +... +5 ot N > 0 Ve ’

so sind die aus den Elementen der mn ersten Horizontalzeilen gebildeten
mfachen Determinanten proportional mit ihren reciproken (n — ım)fachen
Determinanten, deren Elemente in den n — m letzten Horizontalzeilen
enthalten sind.

Da nun die mfachen Determinanten den Projektionen des Kontinuums (C, die reci-
proken (n — m)fachen Determinanten den Projektionen des normalen Kontinuums C"
entsprechen, so ist der oben behauptete Satz bewiesen.

Für ein System orthogonaler Transformationselemente ist jede partielle Deter-
minante ihrer reciproken (oder ergänzenden) Determinante geradezu gleich. Dies folgt
aus der in $ 2 erwähnten Eigenschaft dieses Systems, vermöge welcher jedes ur-
sprüngliche Element seinem reciproken Elemente (einer (n — 1)fachen Determinante)
gleich ist. Da man die Axen t, t,,...t„ des Kontinnums C orthogonal annehmen
kann, und ebenso diejenigen des normalen Kontinuums C’, so erhellt leicht, wie man
auch von dieser Seite her den Satz beweisen kann, dass die Projektionen zweier nor-
malen Kontinua proportional sind.

Nach dieser Abschweifung über die normalen Kontinua kehren wir zur Betrach-
tung des gegenseitigen Verhaltens zweier linearen Kontinua zurück, deren Dimensions-
zahlen zusammen derjenigen der Totalität gleich sind. Das eine mfache Kontinuum
heisse A, das andere (n — m)fache B, und es sei m <+n. Das zu A normale Kon-
tinuum A’ wird dann B in einem (n — m)fachen Kontinuum C' schneiden; das normale
zu diesem ist ein 2 mfaches Kontinuum (', welches A in sich enthält und B in einem

39 _

mfachen Kontinuum D schneidet. Wird dann B als (n — ım)fache Totalıtät aufgefasst,
so sind darin die Kontinua C und D enthalten und zu einander normal. Das ursprüngliche
Kontinuum B hat also gleichsam eine orthogonale Zerlegung in die Kontinua C und D
erfahren, und da von diesen C zu A orthogonal ist, so darf es bei der Beurteilung der
gegenseitigen Lage von A und B ausser acht gelassen werden; es kommt nunmehr alles
blossauf die gegenseitige Lage der ınfachen Kontinua A und D an, welche beide dem 2-
mfachen Kontinuum C’ angehören. Man kann also alle dem (rn — 2 m)fachen Kontinuum
C entsprechenden Variabeln gleich Null setzen, das Kontinuum C' als Totalität be-
handeln, und hat es dann nur mit der Untersuchung der gegenseitigen Lage zweier
ınfacher linearer Kontinua innerhalb einer 2 mfachen Totalität zu thun.

Der Fall, wo die Summe der Dimensionszahlen der gegebenen linearen Kontinua
die Dimensionszahl der Totalıtät übertrifft, ist auf den vorigen Fall zurückzuführen.
Sind die gegebenen Kontinua ein (+ m)faches A und ein (l -+ n)Jfaches B, und die
Dimensionszahl der Totalität 7 -+ nm — n, so schneiden sich A und B in einem /fachen
Kontinuum C. Das normale (m -+ n)fache Kontinuum sei (”, so schneidet dieses die
Kontinua A und B resp. in einem mfachen D und einem nfachen #, deren gegenseitige
Lage nun :ebenso wie oben zu behandeln ist.

Den Weg zur Beurteilung des einzigen Falls, auf den alle übrigen zurückgeführt
wurden, bahnen wir uns nun durch die Lösung der folgenden Aufgabe.

Aufgabe. Eine orthogonale Transformation der n Variabeln x, y,...z
in die neuen &,4,,...t, zu finden, durch welche die beliebig gegebenen
n homogenen und linearen Polynome

y=acr+by+...+c0,p =acz-+by-+...+ cz, etc.
in solche Formen
ylııt +, +... +h,Wp=hth ++... + hut ete.
übergehen, wo alle Summen gleichnamiger Produkte je zweier Koeffizienten
denselben Polynom, z. B.

h,hl,+hk+hii +.

verschwinden.
Auflösung. Es sei Wi +Al’ +h" + hh —+...=s, etc, N die Determinante
der nn Elemente A; die reciproken Elemente sollen mit FH bezeichnet werden, z. B.
öN öN ’
ön, = H, dh, — I, etc.
Dann ist
h, = 2 N v s,, etc.
Snanın ze«ath +6, —+...+0,1,y=ß th +-:»::.„2z2=y4h-tr... die

orthogonalen Transformationsformeln, so ist
h, = u, —- DB, 4- ... -H CYı» etc.,

also
N-)j4 b ce )&%.ß, yı|,
a v. c do : Br: Y
De ee rleng
| ae Marke 0 Da Pe

weil die Koeffizienten h entstehen, indem jede Horizontalzeile der linken Hälfte dieses
Schemas mit jeder Horizontalzeile der rechten Hälfte zu einer Produktensumme kom-
biniert wird. Die Determinante der rechten Hälfte ist bekanntlich 1, und die reci-
proken Elemente sind den ursprünglichen gleich. Die Determinante der linken Hälfte

sei /, und die reciproken Elemente seien A, B,...0; A,...„ z.B.4= In . Dann

ist N = 4. Die Grössen H entstehen aus obigem Schema, wenn in jeder Hälfte eine
Horizontalzeile weggelassen wird. Also ist

H, = Au +Bß +.:.:+0%, HH, = Au, + Bf, + :-- + Cy, ete.
Wir bekommen daher n Systeme von je n Gleichungen:

(5: a)a+(5s—)8+...+(3s— e)y=0,
(Es-a)a+(2sr)B+...+(&Gs-e)y=0, (00: @

Dieses System hat man sich nmal wiederholt zu denken, indem die Buchstaben s, «, ß,
...y nach und nach mit den unteren Zeigern 1, 2, 3,...n versehen werden. Eli-

Koeffizienten von «e,ß,...y mit 5: 4, so erhält man eine Gleichung 5 =(, in der
nur die Unbekannte s vorkommt. Die irgend einer Horizontalzeile jener Koeffizienten
entsprechenden reciproken Elemente der Determinante werden nach geschehener Sub-
stitution eines Wertes von s mit «, ß,...y proportional, sodass zu jedem. bestimmten
Werte von s immer nur eine Reihe von Verhältnissen @&:ß:...:» gehört. Die De-
terminante S: A wird man erhalten, wenn man das Produkt 2.

(5s-a)(3>—b)....(4s— 0)

entwickelt, ohne die alphabetische Folge der Faktoren jedes Monoms zu verändern, und
dann jedes solche Monom durch eine Determinante ersetzt, in deren Schema die Faktoren
jenes als Elemente der ersten Horizontalzeile erscheinen. Wird ferner jede solche De-
terminante als Summe von Produkten je einer aus den Elementen — a, — b,...—c

gebildeten Determinante ten Grades mit der ungleichnamigen, aus den Elementen $ s,

etc., gebildeten (n — i)fachen Determinante dargestellt und beachtet, dass diese immer

das (— 1)" " fache von jener ist, so erhält man

— 94 —

S="—Ks"!+RK,s"”"— KR, s®""-+...+(-N I, .. 0.0.62)
wo K, die Summe der Quadrate aller Determinanten iten Grades bezeichnet, welche
aus den Elementen a, b,...c,«,... gebildet werden können, und somit (”; ” Glieder

zählt. Es ist klar, dass Ä„ = 2? wird. Wenn also die Polynome p,9,p',... alle
von einander unabhängig sind, so ist die Gleichung $ = 0 vom nten Grade und kann
die Null nicht zur Wurzel haben.

Betrachten wir nun ein reciprokes Element der Determinante S: 4, z.B. das,

welches dem ursprünglichen Element % s — a entspricht, und sehen davon ab, das 4,
B', etc. Funktionen von a sind, so ist dasselbe (2). Denkt man sich aber S als
Funktion von s und den nn Grössen a, b,...0c,4@,..., soist — nn wegen der überall
vorkommenden Quadrate von Determinanten gerade doppelt so gross. Jenes erste reci-
proke Element hat also den Wert — a Folglich ist
0808 080805
:B ee da” ob Be aa He ba’obr ga ee. Br. Sr (3)
Die gesuchten Verhältnisse werden erst dann unbestimmt, wenn sämtliche nach den
nn ursprünglichen Elenıenten a, b,... abgeleiteten Funktionen von S verschwinden. Da nun
08 1,098
Nr tray, trete:
ist, so ist dann zugleich $ = (0, n — 0; folglich hat dann die Gleichung S = 0 gleiche
Wurzeln.
Wir müssen jetzt umgekehrt zeigen, dass, wenn die Systeme (1) gelten, sie die
gemachten Voraussetzungen zur notwendigen Folge haben. Es sih=a«-HIß—...

+cy,h = deae+ DdB-+...+cy, etc, wo h,W,...@,ß,...y nach Belieben mit
einem der unteren Zeiger 1, 2,3,...n zu versehen sind. Multipliziert man die Glei-
chungen (1) mit a,a,«a',... und addiert, so ergiebt sich, wenn man die ähnlichen

Gleichungen hinzunimnmt, das System

se=ah+ah ah —+...,
B=-bh+bW +bN —+..., |

WIR RENEENE ORRIEN 4)
sy =ch+ch ch —+...
Bringen wir hier den untern Zeiger 1 an, multiplizieren mit «a,, ß., . . .Y%, und addieren,
so ergiebt sich
sy, +ß BB -+:.::-+yY7)=h li, +, hihi -r...

Vertauscht man die Zeiger 1 und 2 und subtrahiert beide Gleichungen von einander,
so bekommt man

(5, — 8,) + Pt... My).

ui BE an

Wenn die Wurzeln s,, 3, verschieden sind, so folgt hieraus

a +ßB R+t.:-- Nr =0 :- 2.2.2022.)
und
h,l,+hk, th, —...=0.
Wären s,, s, zwei konjugierte imaginäre Wurzeln der Gleichung S = 0, so hätten auclı
je zwei Verhältnisse, wie ß, : a, ß, : «, konjugierte Werte, und ıhr Produkt wäre die
Summe zweier Quadrate; die Gleichung (5) könnte also nicht bestehen. Also kann die
Gleichung S = 0 keine imaginären Wurzeln haben. Hätte sie gleiche Wurzeln, und

man durch geringe Variation eines oder mehrerer der ursprünglichen Elemente die
Gleichheit der Wurzeln in eine geringe Verschiedenheit umändern, und dann würden
auch die entsprechenden Verhältnisreihen nur sehr’ wenig von einander abweichen; die
Gleichung (5) würde dann
"+ —+...+7+2(oade + BdB —-...+ rd) =d.

Da man die Variationen da, dß,....dy so klein, als man nur will, muss machen können,
so muss auch «@® -+-ß?—+...-+ y° für die wirkliche Gleichheit beider Wurzeln ver-
schwinden, was die imaginäre Beschaffenheit der Verhältnisse, also auch des entspre-
chenden Werts von s voraussetzt. Wenn also die Gleichung $ = 0 gleiche reelle Wurzeln

werden, was notwendig erfordert, dass alle nn abgeleiteten Funktionen von S für eine
solche Wurzel verschwinden. Es ist dann immer noch möglich, dass n — 2 Gleichungen
des Systems (1) zwei unter sich unabhängige Reihen von Verhältnissen @:9:...:9,
liefern, und es ist dann leicht, diese so einzurichten, dass sie der Orthogonalitätsbedingung
genügen. Der entsprechende rechte Winkel kann dann nach Belieben in seinem zwei-
fachen linearen Kontinuum herumgedreht werden.

Man kann immer «®-- ß?—-...—+y?= 1 machen. Wenn man nun die Glei-

chungen (4) resp. mit «, ß,...» multipliziert und addiert, so erhält man
s=-l--N?ıH'?-ı....

Die Wurzeln der Gleichung 5 = 0 sind also sämtlich positiv, was auch schon aus den
n Zeichenwechseln in (2) folgt.

Wir haben nun nachgewiesen, dass die Auflösung des Systems (1) im allgemeinen
(Gleichheit ‘von Wurzeln der Glchg. S= 0 ausgeschlossen) alles dasjenige in reeller
Form leistet, was die Aufgabe verlangt. Wegen der Anwendung auf das Folgende be-
merke ich nur noch, dass vermöge der Eigenschaft h, A, + h, 12 + etc. = (), ete., aus
den Former p=h, bh +h,b+...+,wp=htı+..., etc. noch andere sehr
vereinfachte sich sogleich ergeben. Man mache

Se 7 R
Vs "3 Y5

BEP;
= N yve9y9

FE.

wo zu s,h,n nach und nach die untern Zeiger 1,2,...n hingehören, dann sind
np tnPr tn +...» RB-nptmp mp +... ete.

orthogonale Transformationsformeln, und man erhält mittelst derselben
9 = Ys, 1, = Ys; Ay... = Vsn- In

Satz. In der 2nfachen Totalität sind zwei nfache lineare Kontinua
C und © beliebig gegeben. Von ihrer gemeinschaftlichen Lösung aus werden
in denselben resp. die Strahlen », ” gezogen. Der spitze Winkel / (rr) hat
offenbar ein absolutes Minimum, welchem das Strahlenpaar.a,« entsprechen
möge. Die Bestimmung desselben hängt von einer algebraischen Gleichung
nten Grades ab, deren Unbekannte cos? £ (aa‘) ist, und ihre Auflösung liefert
daher im ganzen n Strahlenpaare a,&4; b,db’;...e,c, welche den analytischen
Bedingungen der Aufgabe genügen. Dann bilden die n Strahlen a,b,...c
ein orthogonales Axensystem des Kontinuums (, und ebenso die n andern
Strahlen a’,b,...c' ein orthogonales Axensystem des Kontinuums CO’; und
jeder Strahl a des einen Kontinuums ist mit den nichtzugeordneten n — 1
Strahlen V,...c des andern Kontinuums orthogonal. Endlich ist der Pro-
jektionsfaktor des einen Kontinuums auf das andere, oder |

cos Z (CC’) = eos Z (aa) X cos Z (bb)X...x cos Z. (cc).

Wenn »,r' zwei beliebige Strahlen beider Kontinua C, C’ sind, so ist
cos / (17")= 008 Z/ (aa). cos Z (ar). cos Z (ar) -+- cos Z (bb). cos Z (br) . cos Z (V vr)
+ ...-+ 008 / (ec). cos Z (er). cos Z (dr).

Beweis. Es ist leicht, in jedem der gegebenen Kontinua C, C’ ein orthogonales
Axensystem .zu finden. In C' sei es durch die „» Variabeln x, y,...2, in ©’ durch #,,
ty,» . . t„ dargestellt. Zu jenem System nehmen wir noch n Axen «,v,....w hinzu,
sodass x, Y,...2,4,d,...w die orthogonalen Variabeln der Totalität sind. Dann sind
U=0,v=0,...w= 0 die Gleichungen des Kontinuums C; diejenigen von Ü’ seien

y=ßı t, + ß, Me Pa In
2.= Yı t, a Fey
w=0h +94...
v TR

.. .- 8 0 0V8f[ 8 Tr Tr Tr LT re Tr re Tr LT 8 8 —o

Es wird seın

Br... +++. A+ltel

mit unterm Zeiger 1, 2, 3,...n; ferner bestehen +n (n—1) Gleichungen, wie
| th, +. Frhr t.. tum. ... . (6)
Alle diese Relationen bestehen fort, wenn man auch das Axensystem (ft, ,‚1,,...t,) oder
das System (x,y,...z) oder das System (w,v,...ıw) orthogonal transformjert. Wir
‘haben nun schon gesehen, dass man durch die zwei ersten Transformationen bewirken
kann, dass die n ersten Gleichungen des linearen Kontinuums C’ sich so vereinfachen:
2 = cl, y= Bl, ...-2= yl. |
Dann reduzieren sich aber die + n (n — 1) Orthogonalitätsbedingungen (6) auf:
4, +5 +..:+5& = I, ete. | |
Wird jetzt e®=1— ed, ß’=1—Bß,...y°=1-—.y” gesetzt, so hat man auch
| 2-2 +..+-0=0, 8--285=ß%.,%,+&8+..+ü=y!,
nn = dh, num w u. u BE eu,
Diese auf ",d,...w bezügliche Transformation ist orthogonal. Bezeichnet man die
daraus entstehenden neuen Variabeln wieder mit u, v,...w, so hat man zuletzt folgende
Systeme von Gleichungen:

für das Kontinuum C
u=0,V=0,..,W= 0;
für das Kontinuum C’
z=al,y=Bßt,..z=y,u=at,v=Pßt,...w=yt.

Man sieht, dass der Kosinus des Winkels der Axen x und t, gleich « ist, und dass
die übrigen Axen t,,t,,...t, zur Axe x orthogonal sind, u. s. f.

Denkt man sich ein nfaches Paralleloschem, dessen Kanten sämtlich gleich 1
sind und auf den Axen t,,t,,...t, liegen, so ist sein Mass 1, und die Projektionen
seiner Kanten auf die Axen x,y,...z des Kontinuums C sind:

&, 0, 0, .e.. 0,
0,ß,0,...0,
0, 0, 0, oo 0 0 y.

folglich ist der Projektionsfaktor von C’ auf C, oder cosZ/ (CC) =uß...y. |

Es sei r irgend ein in C befindlicher Strahl, x, y,...z seine Projektionen, ebenso
r irgend ein Strahl in C’ und 4,t,,...t, seine Projektionen, O=/(1r'), so ist

rr cos 9 = axtı -+ Byl; +... —+- yet,
woraus vermöge einer bekannten identischen Gleichung
(2? Bty’—+...+y?z)r? —(rr cos ©)? = (art; — Byl,)’ —+ etc.

folgt. Wenn also der Strahl ” fest bleibt, und nur »" variiert, so ist «=? +-ß’y?-+-
...—+- Y°2? der grösste Wert von »* cos? ©, und dieser findet statt für

BrEDR EL br

zu; 388 ze

Ist ferner «? das grösste unter den Quadraten «*, ß?,...y*, so ist «? das absolute
Maximum von
EB N Let

2 az
COS 9 = z =
TC + y° + ..0.. + =. :

und dieses Maximum findet statt für y=0,...2= 0; dann ist aber auch , =o,t,= oo,
...t„=o. Folglich ist der spitze Winkel Z/ (xzt,) das absolute Minimum von ©, und für
dieses & = cos ©, wenn « positiv genommen wird. Da aber «® eine Wurzel derselben
Gleichung nten Grades ist, welche auch ß°,...y? zu Wurzeln hat, so haben die Winkel
£(yts),.../(zt,) und die Axenpaare, von denen sie gebildet werden, dieselbe analy-
tische Bedeutung, wie der /(xt,) und die ihn einschliessenden Axen.

Bemerkung 1. Ergänzt man das System t,, t,,t„ zu einem totalen orthogonalen
System, so kann nıan unter anderm dem Schema der Transformationselemente folgende
Gestalt geben:

4,052... 0, en

0,B:...09, 9, —ß,...

E00... 00, 0

0, ß L) , Ö, ß, 0
,

0,0, Yı 9% Y

Die Determinante muss den Wert 1 haben. Es ıst leicht, dieses zu verifizieren,
Die Determinante wird erhalten, wenn man die Vertikalzeilen auf alle möglichen Arten
permutiert und das Produkt der in die Diagonale fallenden Elemente positiv oder negativ
nimmt, je nachdem die Permutation eine positive oder negative ist. Sobald man aber
nicht zwei gleichnamige Vertikalzeilen der linken und rechten Hälfte vertauscht, fällt
eine Null auf die Diagonale. Hieraus ist klar, dass die Determinante

GELDIUEN DReGERZ

sein muss.

Bemerkung 2. Wenn ein Strahl und ein lineares Kontinuum gegeben sind, so
ist der in diesem befindliche Strahl, welcher mit jenem den kleinsten spitzen Winkel
bildet, seine Projektion auf dieses lineare Kontinuum. Dieser Satz ist schr leicht zu
beweisen.

Sind nun in der 2nfachen Totalität zwei lineare nfache Kontinua beliebig ge-
geben, so sind ihre n Axenpaare durch die Bedingung bestimmt, dass von Je zwei
Axen eines Paares jede die Projektion der andern ist.

$ 16. Ueber die Zahl der Teile, in welche die nfache Totalität durch eine
beliebige Menge (n — I)facher linearer Kontinua geteilt wird.
Satz. Sind ö lineare Gleichungen mit n Variabeln gegeben, von denen

nie n-+-1 zugleich bestehen, so ist die Zahl der durch sie gebildeten Teile
der Totalität

OH) ua ©) En 6) EEE 1 Er A077

Beweis. In der letzten der i linearen Gleichungen nehmen wir die Konstante
gross genug an, dass ihr Polynom immer das gleiche Vorzeichen mit dieser Konstanten
behält, welche gemeinschaftliche Lösung von je n der ©— 1 übrigen Gleichungen man
darin auch substituieren mag.. Die Zahl der Teile der Totalität, für welche jenes Polynom
das entgegengesetzte Zeichen seiner Konstante behält, ist dann gleich der Zahl der Teile
des (n—1)fachen linearen Kontinuums, für welches das Polynom verschwindet, oder
gleich der Zahl der Teile, in welche eine (n — 1)fache Totalität von :—1 linearen
Kontinuen geteilt wird, also gleich f (n— 1,:—1). Da aber die erwähnten Teile der
nfachen Totalität durch die letzte lineare Gleichung zu den schon von den übrigen
i— 1 Gleichungen gebildeten Teilen neu hinzugebracht werden, so ist

IR) =fni-)+fr— Li—1). |
Variiert man nun jene zuerst sehr gross angenommene Konstante, sodass die Gleichung
irgend eine schon vorhandene gemeinschaftliche Lösung von rn der übrigen festen Glei-
chungen passiert, so ist leicht zu zeigen, dass die Zahl f (n, ) nachher gleich gross
ist, wie vorher. Statt eines geschlossenen Teiles nämlich, worin jenes bewegte Polynom
gleiches Vorzeichen mit seiner Konstanten und die n zur Lösung gehörenden Polynome
jedes sein bestimmtes Vorzeichen hatten, tritt nun wiederum ein geschlossener Teil auf,
innerhalb dessen alle an 1 Polynome entgegengesetzte Vorzeichen haben, wie vorher;
innerhalb aller übrigen Teile dagegen behält jedes der i Polynome dasselbe Vorzeichen
wie vorher. Um das Gesagte noch näher zu begründen, bezeichne ich diejenigen n von
den © gegebenen Polynomen, welche für die betrachtete Lösung verschwinden, mit 7,,
Par. Pn, das Polynom, dessen Konstante berührt wird, mit p,,;,, eliminiere dann aus
den n-+1 Gleichungen, welche diese p als lineare Funktionen der n Variabeln x, y,...
angeben, diese letzteren, und erhalte so die Gleichung
a, Pı Ar Ag Pe ruesrr AnPn oc Ay+1 Pa+ı 7 C,

wo nur C von jener variierten Konstanten abhängt. Ist nun zuerst C positiv gewesen,
so geben die Bedingungen, dass alle Glieder der linken Seite positiv sein sollten, einen
geschlossenen Teil der Totalität; und wenn jetzt C' die Null passiert hat und negativ
geworden ist, so muss man verlangen, dass a, P,, da Pgy- --4y41 P.;ı sämtlich negativ seien.
um eine geschlossene Totalität zu bekommen. Innerhalb beider geschlossener Totali-
täten hat also der Wert eines jeden der Polynome p,,3, - - . 9. entgegengesetztes Vor-

25. AN:

zeichen. Die gemachte Bemerkung gilt, so oft das bewegte Polynom eine Lösung
passiert. Die Zahl / (n, ©) ist daher von der gegenseitigen Lage aller i linearen
Kontinua unabhängig, wofern nur nie mehr als n derselben in einer Lösung zusammen-
treffen.

Ist kein lineares Kontinuum gegeben, so zählt die ungeteilte Totalität für 1;
folglich ist f (n,o)=1. Addiert man nun die Gleichungen
Sn) =fni: -V)-+fn— Li-—1),
Sm: —- DD =fni—2)+fn — 1: —2),
fa, )=f(n,o)f(n— 1,0),
In)=1,
so erhält man
Sn, )=1-+fn — 10) f(n—- 1,1) +f nm — 12) 1... fan — hi—1).
Es sei f(n,i) -fn— 1Li)=g(n,ü), so ist p(n,o) = o, und
o(n,)= pn —11)+9(n—12)+9(n— 13)... +p(nr — Li —1]).
Nun ist /(l,J)=i-+1, also f(,: —1)= fl) —f(Li—1)=1, daher auch f(o, i)
=] und deshalb p(1,:)=:; folglich ist
9&)=1+2+43+... +6 —-D=(()
; ER
9 Der + (7) =h
und überhaupt p(n, :) = (;). Da somit

fa) =fa—19)-+-({)

ist, so folgt nun leicht:

fa
Man sieht leicht, dass, wenn i<n ist, / (n, i)=2! wird.

Der soeben bewiesene Satz kann auch so ausgesprochen werden: Wenn :i li-
neare Polynome mit n Variabeln beliebig gegeben sind, sodass nie mehrals
n zugleich verschwinden, aber auch immer n durch eine und dieselbe end-
liche Lösung zum Verschwinden gebracht werden, so ist die Zahl der ver-
schiedenen Gruppen von Vorzeichen, welche die Werte dieser Polynome für

R N ? ! !
alle reellen Lösungen annehmen, gleich („)-+ (+... + (‚)
Satz. Unter derselben Voraussetzung ist die Zahl der Vorzeichen-
gruppen, welche nur für endliche Werte der Variabeln stattfinden können,

gleich oh Man kann dies die Zahl der geschlossenen Teile der Totalıtät nennen.

= A

Beweis. Wenn irgend n-+-1 Polynome gewählt werden, so kann man dieselben
mit solchen konstanten und endlichen Faktoren multiplizieren, dass aus der Summe der
Produkte die n Variabeln verschwinden. Wir haben dann eine homogene lineare Funktion
der n—+1 Polynome gefunden, welche einer Konstanten gleich ist. Denken wir uns z. B.
jene Faktoren und diese Konstante sämtlich positiv und setzen für die n +1 Polynome
eine Gruppe positiver Vorzeichen, so ist klar, dass unter dieser Bedingung kein Polynom
einen unendlich grossen Wert haben kann. Da aber jede Variable als lineare Funktion
von n dieser Polynome dargestellt werden kann, so kann auch keine Variable unendlich
gross werden. Nun sei ein Polynom p so beschaffen, dass sein Wert für alle Lösungen,
welche irgend n der übrigen Polynome verschwinden machen, dasselbe Vorzeichen, z. B.
-!-, habe, und es sei eine Gruppe von Vorzeichen bekannt, welche für p = o nur endliche
Lösungen gestattet, z. B. die Gruppe von ? — 1 Pluszeichen; man nehme dann beliebige
n Polynome 9,, Pa, --.P„ heraus und suche die identische Relation

Pump tt... mp — AL,

wo A positiv sein möge, so müssen, damit für p = o nur endliche positive Werte von
Pır Par -- + Pu Stattfinden können, sämtliche Faktoren qa,,a,,-.. a, positiv sein. Da aber
für die Lösung p, = 0,9, = 0,...9, = 0 auch p positiv sein soll, so muss auch a positiv
sein. Dann gestattet aber die Gruppe der positiven Vorzeichen für p,p,,...p, nur
endliche Lösungen. Sobald man aber dem Polynom p jeden beliebigen negativen Wert
giebt, so kann auch z. B. p, jeden beliebigen positiven Wert bekommen. Hieraus er-
giebt sich, dass zu der für die 2— 1 Polynome stattfindenden Zahl der fraglichen Vor-
zeichengruppen durch das neue Polynom p noch die Zahl der für p = 0 stattfindenden
Vorzeichengruppen, welche nur endliche Lösungen erlauben, hinzugebracht wird. Wenn
wir also die fragliche Zahl mit ‚f (n,i) bezeichnen, so ist

Sn) =fni—- )+fn—- Li—)).
Dass der Durchgang von p durch eine Lösung’nichts ändert, haben wir schon geschen.
Daher dürfen wir jetzt die Bedingung fallen lassen, dass unter den gegebenen Polynonien
eines p sich finde, dessen Wert immer dasselbe Vorzeichen behalte, so oft auch je » der
übrigen Polynome zugleich verschwinden mögen; die Formel gilt allgemein. Nun ist
Sn,d=o für ı<n, aber f,n +) =1; also fa, d)=efn —1Ln)I fm — ın+1)
+fn— 1ın-+2)--...+fn—- Li—1). Es ist fA,)=i—1 für i>1, daher

—1 —1\ . Zu
fe) = ( , 8) = ( ; ), überhaupt [(n, ) = (",.).
Satz. Wenn ö homogene lineare Polynome mit n Variabeln beliebig
gegeben sind, so ist die Zahl der Vorzeichengruppen

i—1 i—1 i—1 1
en : E ORRRER
2 IH) ri)
oder doppelt so gross wie für <—1 nicht homogene lineare Polynome mit
nur n— 1 Variabeln.

er AN

Beweis. Man transformiere die n Variabeln so, dass eines der Polynome sich
auf eine einzige Variable, z. B. x, reduziert, dividiere dann alle übrigen Polynome durch
diese Variable x, so hat man es nur noch mit n —1 Variabeln und © — 1 nicht homo-
genen Polynomen zu thun. Man stelle sämtliche Gruppen der —1 Vorzeichen auf.
Multipliziert man jetzt die Polynome mit einem positiven Werte von x, so werden die
Gruppen nicht geändert, und zu jeder kommt noch das positive Vorzeichen des Polynonis
* hinzu. Multipliziert man dann auch mit einem negativen Wert von r, so werden in
jeder Gruppe alle Vorzeichen geändert, und für das Polynom x kommt das Minuszeichen
hinzu. Die Zahl der Vorzeichengruppen wird also wirklich doppelt so gross als vorher.

Wenn i nichthomogene Polynome mit n Variabeln gegeben sind, so ist die Zahl
aller Vorzeichengruppen zusammengesetzt aus der Zahl derer, welche nur endliche
Lösungen, und die Zahl derer, welche auch unendliche Lösungen gestatten. Die letzte
Zahl ist aber dieselbe, wie wenn man die Konstante eines jeden Polynoms weglässt,
sodass alle Polynome in Beziehung auf die n Variabeln homogen werden. Wenn also
F(n,ı) die Zahl aller Vorzeichengruppen überhaupt bezeichnet, so ist

: : |
ISn,)=2f(n -—Li— V)-+ =.)
Verbinden wir dieses mit

ISH,)=fni -dD+fm— hi—]),

so folgt

Sa:—)-fr—- 1:1) -(,)

oder

Ind -—-Sm-L)= ()

se) (+ +6)

woraus wiederum

sich ergiebt.

$ 17. Reguläre Polyscheme der wierfachen Totalität.

Wenn in der dreifachen Totalität, oder im Raume, ein reguläres Polyeder von
regulären »ı Ecken umschlossen wird, deren je n in einer Ecke zusammenstossen, so
wollen wir dasselbe mit dem Charakter (m, n) bezeichnen. Die Geometrie kennt zwei
Verfahren, alle Kombinationen (m, n), welche vorhandenen Polyedern entsprechen, auf-
zuzählen und die Zahl der Stücke eines jeden zu bestimmen. Das erste Verfahren ist
rein konstruktiv, olıne Rücksicht auf Massverhältnisse. Man stellt sich nur die Aufgabe,
aus lauter m Ecken, deren je n einen Körperwinkel bilden, cin geschlossenes Polyeder
zusammenzufügen. Der Satz in $ 10 reicht für diesen Zweck hin; für n=3 wird er

RC

W— 4404, —a, =1, oder, daa,=1 ist, ,— a, 4a, = 2. Man findet leicht na, =
24, = ma, und hieraus

4,:0 :4,:1=4m:2mn:4n: (A— (m — 2) (n — 2)).

Die Natur der Aufgabe verlangt für 4 — (m — 2)(n — 2) einen positiven Wert. Da nun
der kleinste Wert für » sowohl als für n die Zahl 3 ıst, so sind für das Produkt
(nm — 2)(n — 2) nur die Werte 1, 2, 3 möglich, woraus als einzig mögliche Charaktere
(3,3), (3,4), (3, 5), (4, 3), (5, 3) sich ergeben. (Gestattet man für a,„,a,,a, auch unendlich
grosse Werte, so kann noch (mw —2)(n— 2) = 4 sein, woraus die Charaktere (3, 6),
(4,4),(6, 3) entstehen, welche nur die Arten anzeigen, auf welche die Ebene mit gleichen
regulären Vielecken bedeckt werden kann.) Durch dieses Verfahren ist das Vorhanden-
sein der den fünf obigen Charakteren entsprechenden Polyeder noch nicht bewiesen,
sondern nur gezeigt, dass keine anderen Charaktere möglich sind. Es kommt nur noch
darauf an, einen dem Charakter entsprechenden Körperwinkel zu konstruieren. Gelingt
dies, so weiss man dann zum voraus, dass beim wiederholten Aneinanderfügen der offenen
polyedrischen Figur des Körperwinkels ein geschlossenes Polyeder von der bestimmten
Anzahl von Stücken enistehen wird. Vermöge der Natur dieses ersten konstruktiven
Verfahrens ist es gleichgiltig, ob der Körperwinkel einfach oder überschlagen sei; ebenso
in Beziehung auf das Vieleck; die Zahl der Stücke des Polyeders wird dieselbe bleiben.
Wenn wir z. B. das Symbol — für ein überschlagenes reguläres Fünfteck gebrauchen,
dessen Perimeter zweimal herumgeht, so haben das einfache Polyeder (5,3) und das
überschlagene (,,3) die gleiche Zahl von Stücken.

Das andere Verfahren gründet sich auf die Betrachtung von Massverhältnissen.

Man weiss z. B., dass die Konstruktion eines dem Charakter (m, n) entsprechenden re-

gulären Ecks die Bedingung 4 H1>2 erfordert, und dass ein solches Eck auch für

gebrochene Werte von m,» möglich ist, wenn sie nur dieser Bedingung genügen. Die
Projektion der Oberfläche des Polyeders auf eine um sein Centrum beschriebene Kugel
liefert ein Netz von regulären sphärischen Vielecken, und, da der Inhalt eines .solchen
durch seine Winkel ausgedrückt werden kann, so ist das rationale Verhältnis, in welchem
er zur ganzen Kugelfläche steht, bekannt. Dabei ist aber immer noch möglich, dass

. [} . | . 2 . . 3
das Netz nie sich schliesst. Setzen wir z. B nu = jyın- 3, so ist die Bedingung

nd

7 ig . erfüllt; der Inhalt des (Z)Ecks ist er oder — der Kugelfläche. Obschon
man daher einen Augenblick glauben könnte, das Netz bestände aus 12 überschlagenen
Siebenecken und enthielte die Kugelfläche 5 Mal, so kehrt doch das Netz nicht in sich
selbst zurück, weil (7,3) nicht Charakter eines Polyeders sein kann.

Schliesst man aber überschlagene Körperwinkel und Vielecke von der Betrachtung

aus, So giebt auch dieses zweite Verfahren nur die wirklichen regulären Polyeder, und

cl $'

ae A

der Satz über den Inhalt eines sphärischen Vielecks lehrt uns die Zahl der Stücke eines
jeden kennen.

Gehen wir jetzt vom Raume zur vierfachen Totalität über, so ist sogleich klar,
dass der Umschluss eines regulären Polyschems aus lauter gleichen regulären Polyedern
bestehen muss, denen wir den Charakter (m,n) geben wollen. Da aber um jede Grenz-
lösung herum die betreffenden Stücke des Umschlusses auf reguläre Art zusammengefügt
sein müssen, so ist nicht weniger klar, dass die Enden aller von der Grenzlösung aus-
gehenden Grenzstrahlen oder Kanten in einem und demselben dreifachen linearen
Kontinuum liegen, und wenn man dieses als Raum betrachtet, darin als Ecken eines
regulären Polyeders gruppiert sein müssen; da die Seitenflächen des letzten reguläre
n Ecke sind, so setzen wir (n,p) als Charakter dieses Polyeders. Hierdurch ist die
Bedeutung des Charakters (m,n,p), den wir für ein reguläres Polyschem gebrauchen
wollen, hinreichend erklärt. Bei der Aufsuchung der möglichen Charaklere dieser Art
können wir wiederum, wie vorhin für den Raum gezeigt worden, entweder ein kon-
struktives oder ein rechnendes Verfahren anzuwenden versuchen. Das erste würde,
wenn m,n,p rationale Brüche sind, nur ihre Zähler, das zweite hingegen ihre Werte
berücksichtigen. Was die allgemeine Bestimmung der Zahl der Stücke eines vierfachen
Polyschems vom Charakter (m,n,p) betrifft, so lassen uns leider beide Verfahren gleich
sehr im Stich; das erste, weil die Formel ,— a, -+a, —a,-Ha,=1sich auf ,—a,
+ Ad, — A; =0 reduziert und deshalb nur die Verhältnisse der gesuchten Zahlen, nicht
ihre Werte selbst uns kennen lehrt; das zweite, weil es auf einfache Integrale von
transcendenter Natur führt, deren Auswertung nur für jeden einzelnen Charakter be-
sonders und zwar mit Hilfe des ersten konstruktiven Verfahrens gelingt. Es bleibt
also kein anderes Mittel übrig, die Existenz irgend eines Polyschems (m,n,p) zu beur-
teilen und die Zahl seiner Stücke zu erfahren, als die wirkliche Konstruktion; durch den
Mangel einer apriorischen Formel für reguläre Polyscheme unterscheidet sich demnach
die vierfache Totalität wesentlich vom Raunıe.

Wir versuchen zuerst auf dem allgemeinen Standpunkt das Mögliche zu thun.
Der Umschluss des regulären Polyschems (m,n,p) enthalte a, Ecken, a, Kanten, a,
Vielecke, a; Polyeder, so ist a, — «a, +4, —a, -=0. Das schon erwähnte Polyeder (n, pP)
nennen wir Basis derjenigen Grenzlösung des Polyschems, welche Kanten aussendet
nach allen Ecken jenes ersten. Diese Basis hat 4n: (2n-H-2p—np) Ecken, np:
(2n-+2p— np) Kanten und 4p: (2n-1-2p— np) Vielecke. Von der entsprechenden
Grenzlösung des Polyschens gehen also resp. so viele Kanten, m-Ecke und Polyeder
(m,n) aus. Multipliziert man mit a, so erhält man die Gesamtzahlen. Da aber jede
Kante zwei Grenzlösungen verbindet, jedes m-Eck deren m und jedes Polyeder (m,n)
deren 4m: (2m + 2n — nn) in sich vereinigt, so hat man

4 Inp 4m
en 1, 2, € —

4p
— — _ MT
ze(m rn)—mn

In +PI—np

0 A, mM
2in-H-p)—np ° 2

oder
0,:4:%:, = m(2 (np) —np):2mn:2np:p2(m-Hn)— mn). . . ()
Es versteht sich von selbst, dass beide Charaktere (in,n) und (n,p) nur existie-
renden RR entsprechen dürfen. Ist 1 die Seite eines regulären Polyeders (n,»),

so ist nr sin 7 — : Vsin® - cos? —- der Radius der umschriebenen Kugel. Wird aber

1 als Kante AB des Polyschems angenommen, so ist 2 cos - die Seite der

Basis der Grenzlösung A, und wenn M das Centrum dieser Basis bezeichnet, so ist also

; F = N a. u ı
der Radius MB der umschriebenen Kugel = cos „— sin B Vein: # — cos? = Da AVB

. . . . . . . . T . 9 7a . 7 nm
ein in M rechtwinkliges Dreieck ist, so ist AM = Vein: rn sin? De cos? —: Vsin® ag cos? „

FE ı GE TE | | 1 e
sin- sin—>C8— . . 2 2 2 2020.20.)
m» n

eine Bedingung, ohne welche das Polyschem nicht existieren kann. Auf der Verlänge-
rung des Strahls ANY liegt eine Lösung O, welche von A und B gleichweit absteht; sie
wird dann auch von allen andern Ecken der Basis gleichweit abstehen, ist also über-
haupt von allen Grenzlösungen des Polyschems gleich weit entfernt; wir nennen sie
daher das Centrum des Polyschems und 04 seinen Radius. Ist nun C die Mitte der
Kante AB, so ist das Dreieck OAC' dem ABM ähnlich; daher der Radius gleich:

. „(4 R 7ı
Vsin® = — cos? -——
BE N

und

_—
2 Vsin: ” - - sin? Pa cos? —

Ist N das Centrum cines ee in A a ee Grenzpolyeder, so ist

1
Ni=— sin —: Vsin® — — cos’ — ; folglich bleibt das Verhältnis
sin EHE sin? = — cos? 7
NA __ Br "_
04 ae ee = n Te RL
sın“ — — cos’ — Vsin?— — cos? —
m n p n

sich gleich, wenn man auch m und » miteinander vertauscht; daher ändert sich auch
das Verhältnis ON:O4A nicht. Im Raume entspricht der Satz, dass, wenn (im,n) und
(n, ın) derselben Kugel eingeschrieben sind, sie auch wieder derselben Kugel um-
schrieben sind.

Halten wir uns an ganze Werte von m,n,p, so genügen der Bedingung (2) nur
folgende Charaktere:

(3,3,3), (3, 3,4), 8, 3,5), (8, 4,3), (4, 3,3), (5, 3, 3).

Der Charakter (4, 3, 4), welcher sin T - sin T == c0S 3 giebt, lässt A mit M zusammen-
fallen und zeigt also nur die Erfüllung des Raums durch aneinander gelegte Würfel an.

2.'AG

Die Centra N aller in A zusammengefügter Polyeder (m, n) liegen in einem drei-
fachen linearen Kontinuum und entsprechen den Vielecken jener Basis (n, p), indem die
Strahlen AN durch die Mittelpunkte dieser Vielecke gehen; diese N bilden also ein
Polyeder (p,n). Es ist nun leicht einzusehen, dass die Centra aller das Polyschem
(n,n,p) umschliessenden Polyeder die Grenzlösungen eines neuen Polyschems (p, n, m)
sind. Wenn also ein Polyschem von einem gewissen Charakter existiert, so existiert
auch das Polyschem, in dessen Charakter die Elemente die umgekehrte Ordnung be-
folgen. Wir nennen solche Polyscheme reciproke. Wenn zwei reciproke Polyscheme
gleichen Radius O4 haben, so ist auch in beiden der Abstand ON des Centrums eines
Grenzpolyeders vom eigentlichen Centrum gleich. Unter den 6 oben nicht als unmöglich
aufgeführten Charakteren sind zwei, (3,3,3) und (3, 4,3) mit sich selbst reciprok; die
übrigen bestehen aus zwei Paaren reciproker Charaktere: (3,3, 4), (4,3,3) und (3, 3,5),
(5,3, 3). Im Raume ist bekanntlich nur das Tetraeder mit sich selbst reciprok; reciproke
Paare sind: Oktaeder, Hexaeder und Ikosaeder, Dodekaeder.

Wir wollen nun durch wirkliche Konstruktion die Existenz aller 6 den obigen
Charakteren entsprechenden Polyscheme beweisen.

1. Dem Charakter (3, 3,3) entspricht das Polyschem mit der kleinsten Zahl von
Grenzkontinuen. Es hat also 5 Ecken, 10 Kanten, 10 Dreiecke und 5 Tetraeder. Wir
nennen es Pentaschen.

2. Um das Polyschem (3, 3,4) zu konstruieren, tragen wir auf den positiven und
negativen Hälften der vier vom Ursprung O ausgehenden Axen acht gleiche Abstände
auf, so werden je vier auf lauter verschiedenen Axen befindliche Endlösungen ein Te-
traeder bilden, und da eine Gruppe von vier Vorzeichen auf 16 Arten varıiert werden
kann, so giebt es 16 solche Tetraeder. Ist A das eine Ende einer Axe, so bilden die
6 Enden der 3 übrigen Axen ein Oktaeder (3, 4), als Basis von A. Das konstrwerte
Polyschem entspricht also dem Charakter (3,3,4); es hat 8 Ecken, 24 Kanten, 32 Drei-
ecke und 16 Tetraeder, und möge daher Hekkaidekaschem heissen.

3.: Da jede Grenzlösung des Polyschenis (3, 3,5) eine ikosaedrische Basis hat, so
erheischt die folgende Erörterung eine vorläufige Bezeichnung aller Stücke des lkosaeders
mit Ziffern. Ich denke mir zwei entgegengesetzte Ecken desselben durch eine Axe
verbunden und zähle dann die Stücke zonenweise ab. Es giebt dann zwei Zonen, welche
je 5 Ecken enthalten; je die dem einen Axenende benachbarte nenne ich seinen
Fünfeckschnitt.

Schema der Ecken. | Schenia d. Dreiecke. Schema der Kanten.

1 12345 l 4 3 4 5)
29345%6 6 789 1% 6 1 e) N) 10
891011 11121314 15 11.16.12.17.13.18.14.19.15.20

12 16 17 18 19 20 | 25 21 22 25 24

| 26 24 23 23 30,

zu A

Im Schema der Ecken sınd 2,3, 4,5,6 die Ecken des Fünfeckschnitts von 1; die Ecken
2,3,7 bilden ein Dreieck, u.s. f£ Im Schema der Flächen bedeutet 1 das 4 (1.2.3),
die erste Horizontalzeile enthält die um das Eck 1 herumliegenden Dreiecke, die zweite
die fünf Dreiecke, welche mit den vorigen Kanten gemein haben; und wie die
übrigen Dreiecke angeordnet sind, wird deutlich genug werden, wenn ich sage, dass
z. B. die Dreiecke 1, 2, 7,11,6 ım Eck 3, die Dreiecke 7, 11, 16, 17,12 ım Eck 8 zu-
sammenstossen. Im Schema der Kanten enthält die erste Horizontalzeile die vom Eck 1
nach den Ecken 2, 3, 4, 5, 6 gehenden Kanten, die zweite die Seiten (2.3), (3.4), etc.
des Fünfeckschnitts, die dritte die Kanten (2.7), (7.3), (3.8), (8.4), ete., die vierte
die Kanten (11.7), (7.8), (8.9), etc., endlich die fünfte die vom Eck 12 ausgehenden
Kanten (12.7), (12.8), etc.

Es sei nun « ein Eck des Polyschems; die 12 Ecken seiner ıkosaedrischen Basis
seien mit Db bezeichnet; iclı stelle dann dieses Eck dar durch

b |
oder z. B. auch: a
“ bi bg db dio di 5 5 de do DJ’

biz b;
indem ich links die Grenzlösung, rechts innerhalb der Klammern die Ecken ihrer Basis
in irgend einer Anordnung, aus der man ihre gegenseitige Lage erkennen kann, hin-
schreibe.

Die dreifachen Kontinuen der Basen von a und db, müssen sich in einem zwei-
fachen linearen Kontinuum schneiden. Unter den 12 von Öb, ausgehenden Kanten des
Polyschems sind nun 6 schon bekannt; es sind die, welche nach a, b,, b,, b,, d,, D, gehen.
Diese Ecken gehören also der Basis von db, an, und die fünf letzten derselben hat sie
ınit der Basis von a gemein. Jenes zweifache Kontinuum ist also die Ebene des Fünf-
eckschnitts b, D, b, b, b,; und in Beziehung auf denselben kann man a und D, vertauschen.
Das Eck b, kann demnach durch die Formel

47
b, bu bu de bu

1 x

dargestellt werden, wo x einen der noch unbekannten Scheitel der Basis bezeichnet.
Wiederholt man das gleiche Verfahren in Beziehung auf die beiden Formeln für @ und
b,, um Formeln für d, und D, zu erhalten, so werden diese

j q, a

bb, 5. db, %s bb. b,

2 a ER x’

48 —

einzig in diesen Formeln für b,, d,, b, kann das neue Eck x vorkommen, weil unter

allen bis jetzt bekannten Ecken nur diese mit & durch Kanten verbunden sind. Die

Zahl aller ähnlichen neuen Scheitel ist demnach — 20; sie entsprechen den

Flächen des Ikosaeders und sollen durch c,, €, ... €g0 bezeichnet werden. Die mit a
diametral entgegengesetzten Scheitel der Basen von b,, b3,... db), mögen d,, dy,...dıs
heissen.

Demnach sind jetzt die vollständigen Formeln für die Ecken 2, ,, b,, welche
wir darum gerade anführen, weil nur diese den Scheitel «, enthalten, folgende:

«A qd da
' , db, db, b, % ' , 5, u bi % i bs, u, u b,
(0 ee a (a 77 09 KEG, 1 ar 5 a 5 a % Cı % 6
d, d, d,
Sie geben für das Eck c, die Formel:
’ b,
bu od «
a EL | ee“ d,

Von den drei noch unbekannten Scheiteln der Basıs kann der mit x bezeichnete nur in
den Formeln der benachbarten Ecken c,, d,, d, vorkommen. (Die beiden nicht bezeich-

neten verhalten sich ähnlich. Jeder mit x analoge Scheitel kommt also in den 20

= ; ; ß 20.3 ;
Formeln für c nur zweimal vor; ihre Anzahl ist daher 6 30; sie entsprechen den

Kanten und sollen mit e bezeichnet werden; jenes x z.B. wird, da es der den Flächen
’

1, 2 gemeinschaftlichen Kante entspricht, zu e,. Wir bekommen so für die Ecken e

der ersten Horizontalzeile, deren Basen den Scheitel d, gemein haben, die Formeln:

b, b, b,
, bo, d 6 , db od , 6, od &%
2 head] @ a du % & d,P % leo, d, |
es e7 e%
b, b,
bu % d € , u. ad ec
re u 594 d] 5 oe, Ei
69 Co

Aus der frülleren Formel für db, und aus diesen fünf ergiebt sich folgende Formel für

d,, welches anderswo bis jetzt nicht vorgekommen ist:
D ;
1

Se 40, „>

Der einzige hier fehlende Scheitel kann sonst in keiner der 12 Formeln für die d vor-
kommen. Alle analogen Scheitel sind daher auch 12 an der Zahl; wir bezeichnen sie
mit f, den hier fehlenden z. B. mit f,.

Der Scheitel e, findet sich nur in den Formeln für c,, c,, d,, d,; die zwei
letzten sind:

b, b;
aa. GG u % R) a GG mn Go 6%

265 e&, 6%, ea J’ ° es MM a io
fi J:

Aus diesen .4 Formeln zusammen ergiebt sich die Formel

q
du 5 de &%

2
9 5 oh - AP

Der eine hier noch fehlende Scheitel kann unter allen 30 Formeln für die e nur in
denen für e,, €3, e,, der andere nur in denen für e,, e,, e&0 vorkommen. Jener entspricht

also dem von den Kanten 1, 2, 6 umschlossenen Dreieck 1, dieser dem Dreieck 5. Die
30.2

analogen Scheitel sollen mit g bezeichnet werden; ihre Zahl ist —— = 20. Wir be-
kommen so folgende Formeln:
q (3 (3
ds u &% ®% da u & €& d ad &
9 5 no ARIA AL er aa han Al ® 2. MA 9% Al
I; 9ı Ie
q, C, c
di 5 d % ®& d 5 de &o © od & &
£ 6 AH ALP L u Fan Fa Fa “ ee As N Kl
UF 9 I

Unter den bis jetzt gefundenen Formeln sind die für d,, e,, &; &,, &,, e, die einzigen, In
denen f, vorkommt. Sie geben

d,

af 8 u &%
Si Iı I I I %
h,
wo wir den neuen Scheitel schon mit h, bezeichnet haben, weil es sogleich klar ist,
dass er in allen 12 ähnlichen Formeln nur einmal gerade hier vorkommt und daher
dem f, oder dem Ikosaedereck 1 entspricht.
7

2 ae

9, kommt vor nur in den Formeln für e,, &, e,.f1,J/ Js; von diesen sind die
zwei letzten:

d, | d,
e € er ®o ro ee & Een 6
Ji I9ı 9% Is Io If] fi 9 9 Iı I Iı
he hı;

Alle sechs Formeln geben

2
weh % $
91 JS 9% h I g]'
Rh,
alle Ecken der Basis von g, sind also schon vollständig vorhanden.
h, kommt bis jetzt vor nur in den Formeln für f,, 91, Ya: 93 94 95. Die geben

Fi
N Iı 9% 9 Iı 9
j h, bh, MM, Wh,
i
Der neue Scheitel < muss in den Formeln aller benachbarten Scheitel hy, A,, A, T,, Re
sich wieder finden. Er ist daher einzig in seiner Art, hat die vollständige Formel
h,
, h hhh
hr A hu ro Au
Na
und schliesst daher das Polyschem zu.

Die Ecken a und : waren einzeln, die b, d, f, h zu 12, die c und g zu 20, die e
zu 30. Das Polyschem hat also 120 Ecken, 720 Kanten, 1200 Dreiecke und 600 Te-
traeder; es möge Hexakosioschem heissen.

Die hier ausgeführte Konstruktion ist von der einfachen oder überschlagenen Be-

n 23a
schaffenheit der ikosaedrischen Basis eines Ecks unabhängig. Da nun sin 2, sin a

cos 3 und daher die Zusammenfügung eines Ecks möglich ist, so ist durch das vorige

auch die Existenz des überschlagenen Hexakosioschems (3, 3, 4) bewiesen.

4. Sind x, y, 2, w orthogonale Variabeln, so können diese auf 6 Arten zu zweien
kombiniert werden; bei zwei Variabeln können die Vorzeichen auf 4 Arten variiert
werden. Es giebt also im ganzen 24 Gleichungen von der Forn + y=1; diese nun
stellen den Umschluss des Polyschems (3, 4, 3) dar. Das Oktaeder (€-+y=1) hat die Ecken
(1, 0, 0, 0), (!/a, Ye, Ya, Ye), (Ya, 2, — Ye, '/e), (le, Ya, — N — Ye) (Ua, Vs, Ye — "e),
(0,1,0,0). Auf den Axen liegen 8 Ecken, wie (1, 0, 0,0), (— 1,0, 0,0), ete.; ausser

u ae

diesen giebt es noch 16 Ecken, wie (!/a, '/s, '/2, Ya). Im Eck (1,0, 0, 0) treffen die 6
Oktaeder, +y=1, z<tz=1, <tw=1, zusammen; im Eck (!/e, !/s, !/e, '/2) die
6 Oktaedr, + y=1, 2 +z:=1 2+y=| y+-uv=| vw-+r=1|],
z+w=1. Der Abstand jedes Ecks vom Ursprung ist 1; jede Kante ist 1. Das
Centrum des Oktaeders (e--y=1) ist ('/2, '., 0,0), sein Abstand vom Ursprung also

V+ gleich dem Radius der dem Oktaeder umschriebenen Kugel. Wir nennen dieses

Polyschem (3, 4, 3) nach der Zahl seiner Grenzoktaeder Eikositetraschem. Es hat
24 Ecken, 96 Kanten, 96 Dreiecke und 24 Oktaeder. Will man eines der 16 Ecken

ı 1 171 ; ; s
(7: 3:70 5) als Axenende erscheinen lassen, so braucht man nur die Variabeln

mittelst der orthogonalen Formeln

=

seat ytrz ta),
ISGE Hy gen,
2-30 ;3ytr2 sm,
u= la ty —+z7+4w
zu transformieren; die Determinante dieser Transformationselemente ist — 1. Eine
andere orthogonale Transformation ist
x = YE-2-+ y4.y ’
y=-Y}-2+Y4.y
2: = Ya W,
we -Y3 2 +Y}-W);

im neuen Systeme sind dann alle 24 Ecken auf ähnliche Weise, z.B. durch (Yy+, Y+,
0, 0) dargestellt, hingegen von den Grenzkontinuen acht durch Gleichungen, wie x —=Yy+

und die 16 übrigen durch Gleichungen, wie « +y +2 + w= f2.

Man wird leicht erkennen, dass dieses Polyschem (3, 4, 3) eine Kombination des
Hekkaidekaschems (3, 4, 3) und des sogleich näher zu beschreibenden Oktaschems
(4, 3, 3) ist.

5. Das Polyschem (4, 3, 3) ist zum Hekkaidekaschem (3, 3, 4) reciprok; seine
Existenz ist hierdurch schon bewiesen; es hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadrate und
8 Würfel, und möge daher Oktaschem heissen. Als Gleichungen der acht Grenz-
kontinua kann man v= +1, x =+1,y=+l, z=+1 setzen; dann geben z.B. die
Bedingungen w= -H1, —l1<z>1, —1<y<1i, —1l<z<L1leimen Würfel. Die Ecken
sind (1,1,1,1), und alle übrigen, welche sich hieraus durch Variation der Vorzeichen
ergeben. Das Oktaschem ist das vierfache orthogonale Paralleloschem, dessen Kanten
alle gleich sind.

6. Die Existenz des Polyschems (5, 3, 3) ist schon durch seine Reciprozität zum
Hexakosioschem (3, 3,5) bewiesen. Das es 600 Ecken, 1200 Kanten, 720 Fünfecke,

120 Dodekaeder hat, so möge es Hekatonkaieikosaschem heissen. Es giebt’ zwei
Arten desselben, ein einfaches, das eigentliche (5, 3,3), und ein überschlagenes

(> 3, 3), welches von überschlagenen Dodekaedern (>; 3) umschlossen wird.

Ich lasse hier eine Uebersicht der Massverhältnisse der vierfachen regulären Poly-
scheme folgen. Die Kante eines jeden ist als lineare Einheit angenommen. Es sei O
das Centrum des Polyschems, AB eine Kante eines Grenzpolyeders, N dessen Centrum,

OA=R, NA=K, ON=r, Z4AOB=a; ferner sei = cos 7 der Radius der einer

Basis eines Ecks umschriebenen Kugel, K’ der Radius der einem Grenzpolyeder ein-
geschriebenen Kugel, n die Zahl der Grenzpolyeder, P der räumliche Inhalt eines solchen,
und S das Mass der vom Polyschem umschlossenen Totalität; endlich sei d der Winkel
zwischen zweien benachbarten Grenzkontinuen, d. h, wenn aa+by+c+dw=r,
ac+by+cz+du=r (w «++! d=1, d’+0b’+c?+d’=1) die

Gleichungen dieser Grenzkontinuen sind, so sei a@ -+bb +ce + dd’ = — cos d. Dann ist
; Pr
R=egmaır=VR'—K,, K:, cotg I — 2,8=#P.

1. Pentaschem. e= VS, sa = — 2 — : K= V}.& - V%

V: 1 1 B fs
u re R$ cos Ö = -., s-2 212 m,

: 7 3 1
2. Hekkaidekaschem. = V;. a= z k= nn K= 3’ K= Vz
-V4-4 _ a «nt _2p

8. Einfaches Hexakosioschem. g= az Pen

cotg — —_ — sind=sin = sin ne ge me nn le) R*.
4. UWeberschlagenes Hexakosioschem. a=n, R= , n ‚de:
0) 5+2
cotg ie er j
. . : _ Yy3 =, 71 Pe --V ER V+ Aue 1
5. Eikositetraschem. e=';,a=7; Reel Ks 5 KK = gır=lVo

=", S=2=2R“.

| _V3 _n = 3 SEE ET
6. Oktaschem. 0.3 u 7; h=]; K=7,K&K 99 er =,
Sl
| Ey Ey
7. Einfaches Hekatonkaieikosaschem. g= Vz Bet ‚ tang I er

2-1.) Be

f) = —

8. Ueberschlagenes Hekatonkaieikosaschem. tang 5 =

ee

2 2 2 5°

Wie das Eck des Polyschems (m, n, p) durch seine Basis (n, p) und den Wert
von @ bestimmt war, ebenso ist das centrale Eck O, welches das Grenzpolyeder (m, n)

zur Basis hat, durch diese und durch den Wert von = bestimmt. Ist nun eines jener

äusserlichen Ecken mit irgend einem der centralen kongruent, so ist das jenem ange-
hörige Polyeder geeignet, durch Aneinanderreihung die vierfache Totalität auszufüllen.
Nun ist e (3, 3, 4) -5.8, 4, 3)= V: E (3, 4, 3) 2 z (4, 3, 3) = = ; o (4, 3, 3) ——
5 (88, 4). Die vierfache Totalität wird also stetig erfüllt: 1. durch Hekkai-
dekascheme, indem deren 24 um eine Lösung herumliegen, und die oktaedrischen
Basen der hier zusammenstossenden Ecken ein Eikositetraschem bilden, Charakter
(3, 3, 4, 3); 2. durch Eikositetrascheme, indem deren 8 um eine Lösung herum-
liegen, und die hexaedrischen Basen der vereinigten Ecken ein Oktaschem bilden,
Charakter (3, 4, 3, 3); 3. durch Oktascheme, indem deren 16 um eine Lösung herum-

liegen, und die tetraedrischen Basen der vereinigten Ecken ein Hekkaidekaschem bilden,
Charakter (4, 3, 3, 4).

%

$ 18. Keguläre Polyscheme der fünffachen und aller mehrfachen Teotalitäten.

Was in der fünffachen Totalität der Charakter (m, n, p, q) eines regulären Poly-
schems bedeuten soll, ıst nach dem Vorhergegangenen wohl ohne Erklärung zu ver-
stehen. Damit nun ein solches Polyschem existieren könne, müssen in der vierfachen
Totalität die regulären Polyscheme (m, n,p) und (n, 9, a) schon existieren, und der
Ausdruck

. v4 na . v(4 7 v4 7
(sin? — —- 008? =) (sin? — — cos? =) — c0s? — cos? —
m n q p n p

muss positiv sein. Für ganze Zahlen m, n, p, q entsprechen diesen Bedingungen nur

a. Be

die drei Charaktere (3, 3, 3, 3), (3, 3, 3, 4) und (4, 3, 3,3). (Es giebt auch nur drei
Charaktere, für welche der letzte Ausdruck verschwindet, nämlich (3, 4,3, 3), (3, 3, 4, 3)
und (4, 3, 3, 3), welche, wie wir schon wissen, alle Arten anzeigen, auf welche die vier-
fache Totalität durch reguläre Polyscheme ausgefüllt werden kann.) Die Existenz der
entsprechenden Polyscheme ist leicht zu beweisen. Das erste ist die Pyramide mit
lauter gleichen Kanten; das letzte ist das orthogonale Paralleloschem mit gleichen
Kanten, und das zweite das reciproke des letzten.

Ueberhaupt existieren in der nfachen Totalität drei reguläre Polyscheme: 1. die
Pyramide vom Charakter (3, 3, 3...3, 3), 2. das orthogonale Paralleloschem vom Cha-
rakter (4, 3, 3...3, 3), 3. das diesem reciproke Polyschem (3, 3, 3...3, 4).

Es leuchtet auch sogleich ein, dass durch das Paralleloschem die Totalität erfüllt
werden kann, und dass diese Erfüllung durch den Charakter (4, 3,3...3, 3,4) dar-
gestellt wird.

Wenn nun für die (n — l1)fache Totalität nur die drei angeführten regulären
Polyscheme existieren, so sind für die nfache Totalität nur vier Charaktere denkbar:
1. wo alle Elemente gleich 3 sind, 2. wo die n— 2 ersten 3 und das letzte 4 sind,
3. wo dieselben Elemente in umgekehrter Ordnung stehen, 4. wo das erste und letzte
Element 4, alle übrigen 3 sind. Da aber der letzte Charakter die Erfüllung der (n—1)-
fachen Totalität anzeigt, so giebt es auch für die nfache Totalität nur drei reguläre
Polyscheme.

Da nun schon in der fünffachen Totalität nur die drei erwähnten regulären Poly-
scheme existieren, so existieren überhaupt in der nfachen Totalität nur diese drei,
sobald n>4 ist. Wir wollen nun diese regulären Polyscheme etwas näher betrachten.

1. Reguläre Pyramide. Die n—+ 1 Grenzkontinuen sind durch ebenso viele
Gleichungen dargestellt. Zur Bildung eines ifachen Grenzkontinuums werden n —i von

diesen Gleichungen erfordert; es giebt e Kombinationen dieser Art; wenn also a,
die Zahl der ifachen Grenzkontinuen bezeichnet, so ist aq,—= eo): Sind ferner S, B, I

resp. das Mass, die Basis und die Höhe der »fachen Pyramide, so ist nach dem
Schlusse von $ 8:

BR 1 n+1l _1 = 1 n ,
ee an „Ph a

i 1 FOR ı ß ; ;
folglich ı = nr = sin —, wenn a den Winkel bezeichnet, unter dem die Kante vom
1 ’
Centrum aus erscheint, also auch cos a = = 7 und, wenn d den Winkel zwischen

zweien (rn — l)fachen Grenzkontinuen bedeutet, cosd = m, Wird die Kante als lineare

Einheit angenommen, der Abstand eines Ecks vom Centrum durch R, derjenige eines

| A
(rn — 1)fachen Grenzkontinuums durch r bezeichnet, so ist R= — = Vs re
| gr (n+1l) ’: .

sın &
2
1 R 1 V/n+1)rt: 1 Med
R=R- ee een Se, MEI, Da BEN en
| Van) m er = R". Setzt man abkürzend — = cos d, ._—
= cos6,, — 5 088 Öy... n = C086,_,., bezeichnet die Variabeln mit x,,%,...%,

und die Polynome der Gleichungen der Grenzkontinuen mit p, P1» Pa,--- Pm, so kann
man setzen: 9,=%,,

x x IT ö x
Pn_—_ _ cos 6 5 008 6, 7 00 7 — 008 6, 7.
c08 z c08 — cos = cos = CoS =,
X
+—,, fürm=1,2,3,...n—1;
c08 75
a En
Pn_— _ c08d 0b A — 7 — 0080; = — +1.
cos z cos — COS z cos =

Das durch die Gleichungen p=0, 9, =0, 9, =9... Pa-ı 79% Pat =9:.:P = 0 be-
stimmte Eck hat dann folgende Werte der Variabeln:

d;
y’

Imzı
2 .

| Ö ;
2 =, ===, La = 008, Lm+g2 = C0S 6, COS
Ön_
.. Lu = 008 Ö,_, C08 = ‚ & = 008 Ö,-..

2. Reciprok-Paralleloschem (3, 3,...3,4). Sein Umschluss kann durch
Gleichungen wie

ve... Kr = C080;_, COS

Hu" +Y}- 0
dargestellt werden, wo die Vorzeichen der Variabeln auf alle möglichen Arten zu vari-

ieren sind. Es giebt also 2” solche Gleichungen. Die Ecken sind z.B. x, = V Xg

=%,='''=z,.= 0; da die Vorzeichen der nicht verschwindenden Variabeln nach Be-
lieben zu nehmen sind, so giebt es 2n Ecken. Irgend ein ifaches Grenzkontinuum geht
durch + 1 Ecken, von denen keine zwei einander diametral entgegengesetzt sind;

sieht man von den Vorzeichen ab, so giebt es ) Kombinationen; die «+1 Vor-
zeichen aber können auf 2°*! Arten variiert werden; folglich ist die Zahl der ifachen

Grenzkontinuen
— 9Hı[ % )
— (; 14)
: ; . : s R d
Gilt die Kante als lineare Einheit, so ist a a cos; = V! ‚k= V; r= V}.
92 yn
S= = Rr.

1.2... 1.2...

3, Reguläres Paralleloschem (4,3,...3,3). Sein Umschluss wird durch die
2n Gleichungen x, = +4 u = +t+,...2,= + + dargestellt, wenn die Kante als
lineare Einheit gilt. Die Zahl der ifachen Grenzkontinua (lauter Paralleloscheme) ist

a, = 2""' (;)- Eines der 2" Ecken ist (x, = +, 2, = 5,-..%,”= 5); die übrigen erhält

man durch Variation der Vorzeichen.

Zweiter Teil.

Lehre von den sphärischen Kontinuen.

$ 19. Einleitung. — Begriff der Polysphäre, Mass derselben und ihres

Umschlusses.

Dieser Abschnitt ist der Betrachtung des nfachen Integrals P,=f "dxdydz. ai
begrenzt durch 2? —+y?—+---<1 und durch n lineare und homogene, unter sich unab-
hängige Polynome, welche z. B. nie negativ werden dürfen, gewidmet. Obschon P, zu-
nächst als Funktion der nn Koeffizienten dieser Grenzpolynome erscheint, so ist doch

leicht zu zeigen, dass nur - n (n — 1) Unabhängige vorhanden sind, die sich immer

gleich bleiben, welche orthogonale Transformation auch mit den Variabeln vorgenommen
werden mag; eine solche Unabhängige ist nämlich die Summe der Produkte der gleich-
namigen Koeffizienten je zweier Grenzpolynome, vorausgesetzt, dass die Summe der
Quadrate der Koeffizienten eines jeden Polynoms der Einheit gleich sei. Wird fürn=2
das Integral P, geometrisch aufgefasst, so stellt es den Inhalt eines Kreisausschnitts
dar, und die einzige Unabhängige ist der Kosinus des Mittelpunktswinkels; wir werden
der Konsequenz wegen in diesem Falle eine notwendige Integration annehmen, da der
Ausschnitt, oder, wenn man lieber will, der Kreisbogen eine transcendente Funktion
seines Kosinus ist. In diesem Sinne können wir sagen, dass das ursprüngliche nfache
n—1
=,
mensionszahl n gerade oder ungerade ist. Es wird sich nämlich zeigen, dass im letzten
Fall das Integral P,,;, als lineare Funktion von Integralen Pu Pın-aı--:- Pu P, dar-
gestellt werden kann. Während diese Reduktion ungerade Dimensionszahlen betrifft,

Integral P, nur 5 oder notwendige Integrationen erfordert, je nachdem seine Di-

bringt eine andere nicht minder merkwürdige die Zahl n n (n— 1) der Unabhängigen auf

n —1 herunter. Die allgemeine Funktion P, kann nämlich auf n Arten als ein Ag-

gregat von 1.2.3.4...(n— 1) speziellen Funktionen Q, dargestellt werden; wenn

bei einer solchen Q, die Grenzpolynome passend geordnet sind, so ist die Summe der

Produkte der Koeffizienten je zweier benachbarter im allgemeinen eine von Null ver-

schiedene Unabhängige, die Zahl dieser Unabhängigen demnach » — 1; alle anderen
8

eu. AERE zu

Produktsummen dagegen sind Null. Nachdem einige diese besondere Klasse von Funk-
tionen betreffende Sätze, finite Relationen zwischen denselben enthaltend, bewiesen und
zu Wertbestimmungen benutzt worden sind, werden diese letzten noch mit Hilfe der
regulären Polyscheme des vorigen Abschnitts verifiziert, und nehmen wir hievon Anlass,
ganz besonders die Theorie der regulären Polyscheme der vierfachen Totalität zu ver-
vollständigen.

Erklärung. Sind x,, &,...., x, orthogonale Variabeln, so ist die durch die

Bedingung

tr bzo?
umschlossene Totalität eine n-Sphäre oder Polysphäre; a ist ihr Radius, und die
Lösung mit den Nullwerten sämtlicher Variabeln ihr Centrum. Demnach würde der
Kreis Disphäre, die Kugel Trisphäre heissen.

Wir sagen, eine Lösung sei innerhalb, auf oder ausserhalb einer Polysphäre,
wenn ihr Abstand vom Centrum kleiner, gleich oder grösser als der Radius ist. Das
(n -- 1)fache höhere Kontinuum, welches alle auf der Polysphäre befindlichen Lösungen
enthält, also dieselbe umschliesst, heisst totales sphärisches Kontinuum; ein Stück
desselben, welches von (n — 1)fachen durchs Centrum gehenden linearen Kontinuen
begrenzt wird, sphärisches Polyschem, und im Besondern Plagioschem, wenn die
Zahl der begrenzenden Kontinuen n ist. (Dieses ist nämlich die kleinste Zahl, wo die
Eigentümlichkeit der n-Sphäre sich offenbaren kann; für eine noch kleinere Zahl be-
grenzender Kontinuen sinkt das Polyschem, als analytische Funktion betrachtet, auf
eine niedrigere Stufe herab.) Die einzelnen Stücke, aus denen die ganze Begrenzung
besteht, nennen wir Perischeme, und zwar haben wir zunächst (n — 1)sphärische Peri-
scheme, deren jedes wiederum von einer Menge (n — 2)sphärischer Perischeme begrenzt
ist, u.8. f£ Die disphärischen Perischeme endlich mögen Seiten und die monosphäri-
schen Ecken heissen.

Jedes Element des sphärischen Kontinuums ist zu seinem Abstand vom Centrum
(seinem Radius) normal, weil

x, de, +29 da, +: +2,da,= 0
ist; seine Projektionsfaktoren sind also

T Lg Ta,
a D) a yoor.. a N)
daher kann es durch
a a
„ de, day ...den, z.dr day day... dern.
1 2
ausgedrückt werden.
Setzt man
| x =1r0089,, %, =rSINP, COSQ,, A = rSINQ, SINP, COS P,,...,
ru, =rSINnQp, SNQ,...SINPy-, COS Pyr--.. 0.9, 2, =TSMP SNP,SINP,...SMQp,-ı;

so heissen r, @,, P5, - -

9

„@,„-ı sphärische Variabeln.

Variiert man immer nur eine

dieser neuen Variabeln, während alle übrigen konstant bleiben, so durchläuft die Lösung

die Wegelemente

dr, rdg,, sing, dg,, rsinp, sing, dg,,..

deren Projektionsfaktoren das orthogonale System

COS P,, Sin @, COS 95, SIN P, SINP, COS Py,- -. , SINPLSIN Yy SINQ,...SINP„_3 COSP,„.., , SINP, SIN Pg SIN P5..-
-SIN @u_g COS Pn_; , COSP, SINP5 SIN@z...
COS pg SIN @5 --

C0SQ; ...

— sin Q,, COSp, COS Py, COSP, SINY, COS py,

0%, —sing, COS Py COS Py,.-
0, 0, =: sin 95 ..e
) 0,

bilden.

r""' sin""”Q, sin

O,:.::

n—3

..., COSQ, Sin 4 SIN 5...

’

2 COS; SIN 5...
} COS 93...

sin @u_g COSQ,_, ,
sin @u_g COS @u_ı »

— sin ni;

Pr ...-SiN?p,.;,Sinp,_.drdp,dgp,...dp,.-1

..o Y sin 9, sin 9, ..e sin O1-2 d 9.-13

sin 9.9 SIN @._ı »
sin On-3 sin Pn-1

.SINn p„_g SINQ„_ı »

sin P,_3 SIN Pn_ı »

COS Pu _1

Das Element dx, dx, ... dx, der Totalität verwandelt sich demnach in

und, wenn man hier den Faktor dr weglässt, so hat man einen Ausdruck für das

Element des sphärischen Kontinuums vom Radius r anstatt des früheren — dx, dx, ... dx,
ı

Ist nun

K= | da, dx, ... dx,

, S=

(+23 -+..-+a22<u?)
d.h. sind X, S die Masse der Polysphäre und des totalen sphärischen Kontinuums, so

hat man auch

N

—
—

S:

0

oder, weil

ist,

Füra=1undn=4,5, 6 ist S resp. Zr,

RK

a" f sin”, do, f sin”9,d9,...

0

K= a
”
sin”"ody =
0
B2 In? 1 K

w| oo

n—i
S: dx, dx, .... dx,
ats te Hm

x ar
| sin g..d9..., [dyı-
0 0

L

a?)

==. 60

S$ 20. (regenseitige Abhängigkeit der Stücke eines sphärischen Plagioschems.
Es sei 2 -+23-+----+x22=1 die Gleichung des sphärischen Kontinuums,

a,

de, dr dirz...dırn .dırn
s-|

das Mass eines Teils, welcher alle den Bedingungen p, > 0,P, > 0,..., Pa> o genügenden
Lösungen enthält, wenn 9,, Ps, ...,?„ unter sich unabhängige lineare und homogene
Polynome bezeichnen. Es steht frei, anzunehmen, dass in jedem Polynom die Summe
der Quadrate der Koeffizienten gleich 1 sei. Dann sei z. B. — cos (12) die Summe der
Produkte der gleichnamigen Koeffizienten in den Ben Pı, Ps, und (12) heisse der

Winkel dieser zwei Polynome. Es giebt im ganzen Zn (n — 1) solche Winkel (12),
(13),...((an — Dn); ich a sie die Argumente des Plagioschems S; sein Mass ist
eine Funktion von nur diesen PL (n — 1) unter sich unabhängigen Argumenten. Denn
die Zahl aller unter sich Ben Elemente der n Polynome p ist n(n — 1), und,

; ' 1 RER,“ s
wenn man hievon die Zahl PL (n — 1) der unabhängigen Elemente einer orthogonalen

Transformation abzieht, so bleiben nur 5 n (n -— 1) wesentliche Elemente des Plagioschems
übrig; als solche können wir Bau jene der Zahl nach übereinstimmenden Argumente
annehmen.

Das (n— m)fache lineare Kontinuum, das durch », = 0,9, = 9... Pın-ı = 0, Pn=0

bestimmt ist, werde durch (123...m) bezeichnet. Man kann die Variabeln immer so
orthogonal transformieren, dass für dieser Kontinuum ın der neuen Variabeln verschwinden.
Man unterdrücke dann diese Variabeln in den Polynomen pa+ı 3 Pte sr»: Pm, dividiere
jedes durch die positive Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der in ihm übrig
gebliebenen Koeffizienten und bezeichne sie dann mit

»(123...m,m +1), p(123...m,m-+2),...,p(123...m,n)
als Grenzpolynome- des (n — m)sphärischen Perischems 8 (123... m); die Winkel dieser
neuen Polynome oder die Argumente des. von ihnen begrenzten Perischems mögen z.B.

durch (1 23...m, (nn +1) (n-+ 2)) dargestellt werden. Ihre Zahl ist ge und da
(1) die Zahl aller (n — m)sphärischen Perischeme von $ ist, so kommen an diesem im

im ganzen (") ")-G ) Stücke der erwähnten Ordnung vor ((n — m)sphä-

rische Stücke). Gegen das Ende treten Kugeldreiecke, wie (45...n), auf; die
Argumente eines solchen (trisphärische Stücke) sind seine Winkel (45...n, 23),
(45...n,13), (45...n, 12). Endlich kommen Kreisbogen (disphärische

Er,

Stücke oder ee wie (345...n), von denen jeder selbst sein einziges Argument ist;
d.h. es ist 5 (345. ..n)= (Bir ..2,12); hingegen S(45...n BERN ..n,23) -4-

(45... N. Da die Zahl der Seiten > n (n — ])

ist, so kann man das Plagioschem S auch als Funktion seiner Seiten fassen: Dia
Zahl aller seiner Stücke mit Einschluss der Argumente und Seiten ist

m=n—?2

AH EHE

Ihre Abhängigkeit von den Argumenten ist folgende. Da man die Variabeln immer
so orthogonal transformieren kann, dass in den drei Polynomen p,, P,, pP; nur drei Va-
riabeln erscheinen, so kann man die Argumente (23), (13), (12) als Winkel eines Kugel-
dreiecks auffassen, welches die (n — 1)sphärischen Stücke (1,23), (2,13), (3,12) zu Seiten
hat; diese sind somit durch die bekannten trigonometrischen Relationen in Funktion
jener gesetzt. Man kennt also alle n — re Stücke in Funktion der Argumente.
Wiederum sind z.B. (1,34), (1,24), (1,23) als Winkel, und (12, 34), (13, 24), (14, 28)
als entsprechende Seiten eines Kugeldreiecks anzusehen und dadurch mittelbar alle
(rn — 2)sphärischen Stücke in Funktion der Argumente gesetzt. Dies geht so fort, bis
endlich die Seiten in Funktion der Argumente gefunden sind. Es ist klar, dass die
Supplemente der Argumente dieselben Funktionen der Supplemente der
Seiten sein werden, wie die Seiten von den Argumenten sind.

Um diesen Vorstellungen ein analytisches Gewand zu leihen, suchen wir zuerst
ein Grenzpolynom eines Perischems so auszudrücken, dass wir keiner Transformation
der Variabeln bedürfen. Denkt man sich im Ausdruck eines solchen die anfänglichen
Variabeln restituiert, und ist die Ziffer : von 1, 2,...nı verschieden, so muss man setzen

o.p(12...m, ET WEN AD ee er A)
die Faktoren A sind dann durch die Bedingung bestimmt, dass das neue Polynom zu
jedem der m Polynome 9, , Pa,---?m orthogonal sein muss, also zusammen mit o durch
die Gleichungen:

1—0o°— A, cos (tl) — 4, c08 (it 2) --...— A, cos (im) = 0,
—cos(li) +4, — A, cos (12) — ... — 4, cos(lın) = 0,
— cos (2:) — A, cos 21) +4, —...—4A,„cs2n)=0,). . (2)
— cos (m i) — A, cos(m1) — A, cos(m2)— ..... + A, —

Gehen :, 0, 4 in k, o, u über, so ist offenbar die Produktsumme der Koeffizienten der
Polynome , +4, 9, 4 +4, 2m und Mr -H 1, Pı 4°" + un 1m gleich, wie wenn das
zweite Polynom bloss durch p, ersetzt wird, da die Polynome 9,, Ps, -.-?„ zum ersten
orthogonal sein sollen. Man hat demnach

06c0os (12...m,ik)= cos(ik)-+Acos(1%)-+A, cos (2%) +... 4-4, cos (nk).

- 9 —

Bringt man in dieser Gleichung alle Glieder auf die linke Seite und setzt sie dann im
Systeme (2) an die Stelle der ersten Gleichung, so wird man durch Elimination der
Grössen A den Wert von eocos(12...ım,ik) bekommen, während der von e? sich
unmittelbar aus (2) ergiebt, und der von 0? aus diesem durch Vertauschung von i und k.
Setzt man abkürzend

4(,123...m) —= !— cos (ik)- — cos (il)- — cos (i2)- — cos (£ 3) +» - — cos (i m)
— cos (1k)- l -— cos (12)- — cos (13)---— cos (lm)
— cos (2k)- — cos (21)- 1 -— cos (23)... — cos (2 m)
— cos (m k)- — cos(m 1) - — cos(m2) - — cos (m 3)... 1 |
und hiefür einfach / (?123...m), wenn k=i und daher cos (ik) = — 1 ist, so hat man

4(123...m).e6cos(12...m, ih) +a(} 123...n)= 0,

I(i123...n)—0?4(123...m)=0, A(k123...m) —06°?4(123...mn)=0,
und hieraus

al, 123...m)
Yaa123...m) YA(k123...m)
wo die Quadratwurzeln positiv zu verstehen sind, weil in der Gleichung (1) für p, = o,

(3)

cos (12...m,ik)=

P = 0... Ppm = 0 die Polynome p, und p (12...m, i), grösser als Null gesetzt, dieselbe
Grenzbedingung ausdrücken sollen, wodurch oe (und ebenso «) notwendig positiv werden.
Die drei in diesem Ausdruck vorkommenden Determinanten sind reciproke Elemente der
symmetrischen Determinante 4 (ik123... m); und wenn wir diese auf leicht verständliche
Weise durch die Ziffern der fehlenden Horizontal- und Vertikalzeile bezeichnen, so be-
kommen wir

Üle]eos 137,0 = [][%]

; ke] sin? (12...m,ik) = ;] |: = A(ik11...m) [x];

oder
I(ik123...m) d( 123...m) (4)
ad 123...m) A(kl23...m)' "tt.
Man kann diese Formel auch durch Betrachtung eines Paralleloschems beweisen, dessen
Kanten zu den linearen Kontinuen (1), (2 Ener (m te); (%) normal sind. Der hierzu
erforderliche Satz würde heissen:

Das Mass eines »fachen Paralleloschems ist gleich dem Produkt zweier begren-
zender (n —1)facher Paralleloscheme, welche in einem (n — 2)fachen Paralleloschem sich

sin? (12...m,ik) =

4

2. PB u

schneiden, dividiert durch dieses letzte, und multipliziert mit dem Sinus des von den
beiden ersten gebildeten Winkels.
Um ihn zu beweisen, bezeichnen wir die erwähnten vier Paralleloscheme mit ?,
A, B,C, den Winkel zwischen A und B mit ©, betrachten A als Basis von P, und C
als Basıs von B, und setzen Ah, %k als entsprechende Höhen. Denkt man sich nun das
Paralleloschem P von einem auf C' normalen zweifachen linearen Kontinuum geschnitten,
so liegt in diesem ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse k, der Winkel, dessen
Scheitel in C fällt, ©, und die gegenüberliegende Kathete h ist. Es ist also h=ksin®.
Aber P=Ah, B=Ck. Also ÜP=ABsind®.
Die independenten Formeln (3) und (4) verwandeln sich in bekannte Relationen
der sphärischen Trigonometrie, wenn m» = 1 angenommen wird. Die erste z. B. giebt
a: cos(ik) + cos(li)cos(1k
cos (1, iN= ee
Das orthogonale System der Variabeln kann immer so gewählt werden, dass die
Grenzpolynome in folgender Gestalt erscheinen:

Pı = %ı

Pa = — , c08 (12) + x, sin (12),

PD, = — u, 008 u — x, sin (13) cos (1, 23) + x, sin (13) sin (1,23),

Pm = — X, 608 a m) — x, sin du A cos Gi, me — 7, sin ee sin n be cos (13, Im) —

mn mm nn U nn

..— X, sin(1m)sin (1,2m)sin(12, 3n)...sin(123...(m—3), (m—2)m) cos(12...(m--2), m-1n)
+ x, sin (1m) sin (1,2m) .... sin (12...(m—3), Ale, Br sin pr Bu ne r - 1)m),

Bei Aidssr -Darelällang H ‚ie Lösung ( Bed e 1) ds EL
(123...(n— 1)) zu bezeichnende Eck des Plagioschems S; nennen wir dieses Spitze

A, so entspricht ihr das Perischem (n) als Basis. Von A aus gehe ein Strahl normal
zum linearen Kontinuum der Basis (p,= 0) und treffe dieses in der Lösung B; die
Länge des Strahls oder der Abstand AB der Spitze vom linedren Kontinuum 9, = 0 sei
sink. Vom Centrum O aus gehe ein Radius durch B und treffe die sphärische Basis
selbst in C; diese Lösung heisse Fusspunkt; der Kreisbogen, welcher A und C ver-
bindet, ist A und soll Höhe heissen. Endlich sei P irgend eine auf der sphärischen
Basis befindliche Lösung, $ ihr sphärischer Abstand von der Spitze A oder der Winkel
der Radien OA und OP. Da wir jetzt nur drei Strahlen OA, OC, OP vor Augen haben,
so können wir uns durch dieselben ein lineares dreifaches Continuum (Raum) gelegt
denken, und die Lösungen A, C, P werden als Ecken eines rechtwinkligen Kugeldreiecks
erscheinen, worin AP=9 die Hypotenuse ist. Ist der Winkel APC=O©, so ist sin h
=singsin® Um P herum liege ein unendlich kleines Element 6 der sphärischen

en le

Basis; alle darin enthaltenen Lösungen werden mit der Spitze A durch Kreisbogen ver-
bunden; dadurch entsteht ein partielles sphärisches Kontinuum, welches die einzige end-
liche Ausdehnung von A bis P hat, während die übrigen unendlich klein sind. Wird
nun dieses in P normal durchschnitten, so ist der Querschnitt ein (n — 2)faches unendlich
kleines Kontinuum, dessen Mass o sin © beträgt.

Da AB = sin" der der Spitze entsprechende Wert des Polynonis p,, so ist nach (5)

sin=sin(1n)sin (1,2 n) sin(12,3n)....sin(12 ... (m — 3), (n—2) n) sin(12...(n —2,(n-1)n), (6)
wo die Ziffern 1, 2,3,...n —1 permutiert werden dürfen; die Werte des Fusspunkts C’ sind:

an —

x, =tangh cos(1n), x, = tang I sin (1n) cos (1, 2n),..., m = cos h.

$ 21. Hilfssatz.

Wird jedes Element des n-sphärischen Plagioschems S mit dem Kosinus
seines sphärischen Abstandes von der Spitze multipliziert, so ist die Summe
dieser Produkte der (n—1)te Teil des Produkts des Masses der Basis und
des Sinus der Höhe.

Beweis. Es seien

& =SnP.2%, % =5MP.%y:.., Zu = SUP. L_, u = 008 9,
so wird das Element des sphärischen Kontinuums

x
sin”pdp.o,
wo w das äquatoriale Element bezeichnet, welches man auch durch
dxı\ıdz!...das_ ..o ’ ’ ] D
re 1 1 Anl 2 ul a a
- “f
ausdrücken kann. Wenn wir nun das Integral
amt
,n—2
cos p.sın""pgdp.o®
bestimmen wollen, so setzen wir zuerst &, 73, - . - x,-ı als konstant voraus und integrieren
von g= 0 bis zu dem durch die Basis p, = o bestimmten Werte von , für den wir
diesen Buchstaben behalten wollen. Wır bekommen
Tine ©)
n—1, F i
oder, da, wie wir oben gesehen haben, für eine auf der Basis befindliche Lösung P der
normale Querschnitt Ä
. - . . 10]
sin""9.0=snQ.6=sinh- — —
sing
ist, zuletzt i
en: sinh p"”

cs .n""odpy.o= a 0,

d. h. gleich dem (un — Dten Teile des Sinus der Höhe, multipliziert mit der Basis.

3 —

S$S 22. Mass eines sphärtischen Plagioschems.

Satz. Die in Beziehung auf die Argumente genommenen Differential-
koeffizienten des Masses eines n-sphärischen Plagioschems sind gleich den
Massen der mit den Argumenten gleichnamigen (n — 2)-sphärischen Peri-
scheme, dividiert durch n — 2:

14

dS-= S ” 12JAAd+SABY) AA) +: -+S (lm —ıiIn)d(n-— 1)n) |

Beweis. Um das einzige Argument (12) zu variieren, variieren wir nur das
Polynom »,, die Darstellung (5) in $ 20 voraussetzend. Dasselbe verwandle sich in
I+k)s +0 tk, 0% +. +, Im

wo hy, dÄy,... k, unendlich kleine Grössen bezeichnen. Da die Summe der Quadrate der
Koeffizienten gleich 1 bleiben und die Argumente (15), (14),.... (1 x) konstant sein sollen,
so hat man n—1 Bedingungsgleichungen, welche gerade hinreichen, um die n—1 Ver-
hältnisse A, :Ahy:...:k, zu bestimmen. Die erste Gleichung

U a 0
reduziert sich, da es nur auf unendlich kleine Grössen erster Ordnung ankommt, auf
2k, = o. Dann sind aber sämtliche Bedingungsgleichungen gerade so beschaffen, wie
wenn die Werte der Variabeln für das Eck (1345... n) zu bestimmen sind. Versetzen
wir uns aber in das (n— 1)-sphärische Kontinuum (1) hinein, indem wir die durch a
bezeichnete Dimension aufheben, und fassen (12) als Basis des Perischems S (1), folglich
jenes Eck als dessen Spitze auf, so tritt der für diese geltende Wert von x, als Sinus

der Höhe, sin h, auf. Da man ferner für den Winkel zwischen dem variierten Polynome
pP = %& then, +h, &%, +4 h,x, und dem unveränderten Polynom

Pg = — x, cos (12) + x, sin (12) die Gleichung

— cos ((12)+d(12)) = — cos (12) + \, sin (12)
hat, so muss /\, = d (12) sein. Folglich verhalten sich \,,%,,...%k, zu den gleich-
namigen der Spitze (1345... n) zukommenden Werten der Variabeln, wie d (12): sin A.
Ist nun @ der sphärische Abstand der Spitze von irgend einer im Perischem S (1) ent-

haltenen Lösung (0, x, X, - - - 2.), so ist demnach

+4. +, = => d(2),

sin A
und das partielle n-sphärische Kontinuum dS bekommt ausser den Grenzen von S (1)

noch die unendlich nahen Grenzen: ursprüngliches p, < 0, und variiertes p, > o, oder

cos
ae YES,

sind

— 66 —

cos p
oder o<— Tr, > 2, dA(12).
sin A
Weil somit z, unendlich klein ist, so sind im Ausdruck für dS die auf 2, 7,,:-.. 7,
bezüglichen Integrationsgrenzen so zu nehmen, wie wenn 2, = o wäre, also dieselben

wie für das Perischem S (1). Integriert man nun die Formel für d S in Beziehung auf
x, so ergiebt sich d.S gleich der Summe sämtlicher Elemente von S (1), jedes multi-

.. . cos ne .
pliziert mit en d(12); und dag der sphärische Abstand dieses Elements von der

Spitze (1345... n), %0 ist nach dem vorigen Hilfssatz:

>. Basis S (12).sink = = s{12).d(2).

dl?)
sin Z n—ı n—

dS=

Bemerkung. Diese Form des Satzes hat das Unbequeme, dass man ihn nicht

bis auf 0» = 2 hinunter verfolgen kann. Dies wird jedoch durch eine leichte Umge-
staltung möglich gemacht.

Es sei , v
I 0 U 5 Urea dl

0 —.. 3 + [ . “ el RE << 1
Pyı >, Pa > 9%... >o

ein von n durchs Centrum gehenden linearen Kontinuen begrenztes Stück der »-Sphäre,
das wir allenfalls »-sphärische Pyramide nennen können, so ist offenbar

jr
1
P=S8 | r""dr, oder P= —, 8.
‘o
Bezeichnet dann z.B. P{12) die im (n — 2)fachen linearen Kontinuum (p, = 0, pP -= 0)
befindliche (n» — 2)-sphärische Pyramide, so ist ebenso
an 1 — +:
P(12) = —- Ss).

Nn—)

Wenn man also im gegenwärtigen Satze sphärische Pyramiden statt der sphärischen
Plagioscheme einführt, so erhält man

Ipi2)a (12) + P(I3B)AA®) + --- 4 Plnm—1)n) d(n--1) Dip

dp:- |
n \
Setzen wir jetzt n- 2, so wird die disphärische Pyramide zum Kreisausschnitt,

; l h \ f ; :
und in der Formel AP -, P‘L2)d«(12) bezeichnet (12) den Mittelpunktwinkel und

y/ co: R ı Du . . . .
P 12} das Mass des nullfachen Kontinuums, welches die begrenzenden Radien (p, -o.
P, -0) Innerhalb des Kreises gemein haben, d.h. das Mass des Centrums. Nun sind

En 7 Eu

leicht Gründe aufzufinden, die uns berechtigen, 1 als Mass einer nullfachen Totalität

anzunehmen. Wir bekommen also d P= e d(12), und durch Integration P= e (12),

als Inhalt eines Kreisausschnitts vom Radıus 1.
Setzen wir n — 3, so wird die trisphärische Pyramide zur Kugelpyramide;
in der Forniel

a P=+ [PM aı 94 PÜB)auıy +PÜAs)a@H!

sind (12), (13), (23) die Flächenwinkel der Pyramide oder die Winkel des Kugel-
dreiecks S; P (12) ist das Mass des einfachen Kontinuums (p, = o, p. — 0), welches
durch die Bedingungen p, > o und x? -+-x3 + „3 < 1 begrenzt wird, d. h. das Mass des
vom Centrum nach dem Eck (12) gehenden Radius, also gleich 1. Bezeichnen wir die

drei Argunıente mit «, ßB,y, so ist demnach d P= En (d& --dß-+ dy), Um die Inte-

3
grationskonstante bestimmen zu können, lassen wir P verschwinden, was dadurch ge-
schielt, dass wir p, = pP; = — P, annehmen; dann wird aber (12) = x, (13) = (23) = 0.

Wır haben also

Pe ” (e+ß+y7— r), odr: S=e+ß+y— z,

wenn 5 das Mass des Kugeldreiecks bezeichnet.

Von jetzt an halten wir uns wieder an die erste Form des Satzes. Für n -4
oder für das tetrasphärische Plagioschem $ ist das disphärische Perischem $ (1 2)
ein Kreisbogen, dessen Mass mit seinem Argument (12,3 +4) ein und dasselbe ist. Also ıst

1S— - (1 3,34) A(12)+(13,24)d(13) -+ (14,28) a4) + (23,14)4(23)

1(24,13)4EN) +84, 12) ABA),

oder: das Mass des tetrasphärischen Plagioschems hat seine halben Seiten
zu Differentialkoeffizienten. Sind diese Seiten unendlich klein, so verwandelt sich
S in eine dreiseitige Pyramide des Raums; man kann nun wirklich nachweisen, dass
das Integral des vorliegenden Ausdrucks sich alsdann auf die bekannte Formel für den
Inhalt einer räumlichen Pyramide reduziert.

Für das pentasphärische Plagioschem $ wird das trisphärische Perischem (1 2)
zum Kugeldreieck, dessen Mass gleich der Summe seiner Winkel weniger ;c ist. Die
Funktion S hat 10 Argumente, und von den bezüglichen Differentialkoeffizienten ist z. B.

98

dla) 3 | (12,34)-4:(12,35)-1:(12,45) — sl,

— 68 0 —

und, wenn man die 30 Glieder wie (12,34) dt12) nach den Kombinationen (1234)
vierter Klasse ordnet:
348-112, 34) 4(12)4- (13, 24) a(13)-+ (14, 23) (1 9)
+ (23, 14)24@3)-- (24, 13)4@4)+ 64, 12)A@ N \-H etc.
— ad 1) 4-A) + +ai)]
= 241 $(1234) + $(1235) + S(1245) + 8 (1345) + s(2345)\
— ad AHA) +5)

wo 5 (1234) z.B. ein tetrasphärisches Plagioschem bezeichnet, dessen Argumente (12),
(13), (14), (23), 24), 84) sind. Um die Integrationskonstante zu bestimmen, nehmen
wir an, alle Argumente des pentasphärischen Plagioschems seien rechte. Dann wird

Na? A In? n?

l
s12349)=- 5... =, S13)=- .=5,

und wir bekomnien
n” In® 5)

Pa ie \E 5 -1- Const., also Const. = 4 ir”,

und endlich
2 @ er . r ‘
S(12345)= 182 345) +8(1345)-+- 8(1245) 4-8(1235)-+- 0 (123 N

nn 1% ! Fe W ‘ .) ” ! » Fr “ ’ dn?
—5 [129 + AAN FEIHEHNL+EITCHFEHFHAN] I
Wir sehen hieraus, dass, wie das Mass des Kugeldreiecks auf Kreisbogen zurückkommt,
so dasjenige des pentasphärischen Plagioschems auf tetrasphärische Plagioscheme und
Kreisbogen. Wollten wir diese Wahrnehmung weiter verfolgen, so würden Gamma-
funktionen und Potenzen von ;z den an sich einfachen Satz „über die Reduktion perisso-
sphärischer Plagioscheme auf artiosphärische“ *) ohne Not verwickeln. Wir ziehen es
daher vor, zuerst statt der allgemeinen Masseinheit eine besondere für sphärische Plagio-
scheme passende Einheit einzuführen, von ähnlicher Bedeutung wie die des Quadranten
für Kreisbogen.

S$ 23. Plugioschematische Funktionen; reduzierbare Fälle von Orthogonaltät

Wır setzen fortan

| dedydz... = f(123...)xX | drayde...
ee ee Bu
Pı >09... Pan > 0 X D>DOUYU>0O,.».

*, [Die Ausdrücke „perissosphärisch* und „artiosphärisch“ werden 8. 70 erklärt.)

we N Ge

oder, was dasselbe ist

”

P(123...n)-=;, REIN AU EL Beea?) (123...) 3 1 füu23...n),

und nennen f(123...n) eine n-sphärische plagioschematische Funktion, 9, Par - - + Pr
ihre Grenzpolynome, und die von diesen gebildeten Winkel (12),... ihre Argumente.

Jede solche Funktion bekommt die Einheit als Wert, wenn alle Argumente -- sind.

Es ıst dann z.B. j
Sa9= (2), F23) SAY) +SA)+LEI- 2
(12345): f(2345) 4 ete. — 2 1/13) + ete. | 116.

Da en N :) nl: m (n— 2)- = ist, so wird die allgemeine Differentialgleichung

1? x:

des vorigen $:
df(123..n)=f(12,34...n) dfA2)-Hf (13, 245...) df(18)-1- etc.

Nehmen wir jetzt an, jedes der m ersten Polynome 9,, ?., - - - ?_ sel zu jedem

der übrigen Pas+ı» Pmtes 2m orthogonal. Man wird überhaupt die Variabeln so
wählen können, dass in jenen nur die m Variabeln x,, x, . .. x, erscheinen. Kämen

nun diese auch in einem der folgenden Polynome vor, so würde aus den entsprechenden
mn ÖOrthogonalitätsbedingungen das Verschwinden der Determinante der Koeffizienten
jener ». ersten Polynome folgen, was wir nicht zugeben dürfen, da diese unter sich un-
abhängig sein sollen. Also können die n — m letzten Polynome nur die übrigen Va-
riabeln 241» Amis - 7, enthalten. Es sei nun

or Ger rg ter my NINE I Fe IH

und man denke sich die m ersten Variabeln, also auch ®, zuerst als konstant, und die
Integration nur in Beziehung auf die n — m letzten Variabeln vollzogen, so werden die
auf diese bezüglichen linearen Integrationsgrenzen durch die Einführung der Variabeln
y nicht geändert, und es kommt noch die Grenze yP + y3 +» -+ _„ < 1 hinzu Da
das Produkt dx.;;, dmtz. dr, sich in

sin" .dydys..: dAYa-m
verwandelt, so hat man:

”
>»

P(123...n)=f((m +1) (m-+2)...n)x ) sin" 9 dr, day... day dyı Ayo Yan
(Pı >9, P2>0..-Pn> 9, Yı >09, Ya > 9... Yn -m>0)
— f (km +1)(n +2)... n) x ) U2: WI, I U er ;
(9 >%::.Pm > 9 Ami >09: n > 0)

Denkt man sich hier die vn — m letzten Variabeln #41, Anja - - - Zu zuerst als konstant,
und die Integration nur in Beziehung auf die m ersten Variabeln vollzogen, so erhält
man auf demselben Wege wie vorhin:

P(123...)=f(lm +) (m+2)...n)xf(23...m)x wu Ude, :
(d+= ee
x >0,T%2 > 0,...4n >0
also endlich:

Fa23...n)=f(123...W) (m + D(m-H2)...n);

d. h., sind m Grenzpolynome einer „-sphärischen Funktion sämtlich zu den n — m übrigen
orthogonal, so ist dieselbe das Produkt der von jenen begrenzten m-sphärischen Funktion
und der von diesen begrenzten (n — m)-sphärischen. Hierbei ist zu bemerken, dass
(1) =1, weil auch für die Grenzen 2" <1l,x2>o, [dx=l1iıst. Wenn also das
erste Grenzpolynom zu allen übrigen orthogonal ist, so hat man f (123...n)=f(234...n);
und wenn überhaupt die m ersten Polynome nicht nur zu allen übrigen, sondern auch

alle unter sich orthogonal sind, so hat man f(123...2)= f((m-+ 1) (m +2)...n).

Wenn zwei plagioschematische Funktionen sich bloss dadurch unterscheiden, dass
ein bei der ersten positiv genommenes Grenzpolynom bei der andern negativ genommen
wird, so ist die Summe dieser Funktionen doppelt so gross als die nur von allen übrigen
Polynomen begrenzte Funktion; oder

SW Po PP) fl Pr Pe Pas: PD) = 2 (Dar Par - - - Po).

Wenn man sich nämlich die zwei ersten Funktionen durch die entsprechenden Integrale
ersetzt denkt, so ist deren Summe ein ähnliches Integral, worin die Grenzbedingung
p, > 0 oder — p, > 0 wegfällt; diese Summe bleibt sich daher gleich, wenn auch das
Polynom p, sich ändert, z. B. zu allen übrigen Polynomen orthogonal wird; dann hat
aber jede der Funktionen, aus denen die Summe besteht, den Wert f (234...n);
folglich ist diese 2 f(234...n).

$ 24. Reduktion der perissosphärischen Plagtoscheme auf artiosphärische.

Uin die zwei Fälle einer geraden und einer ungeraden Dimensionszahl zu unter-
scheiden, gebrauchen wir die Ausdrücke Artiosphäre und Perissosphäre. Wir haben
schon gesehen, dass die trisphärischen und pentasphärischen Plagioscheme sich linear
durch artiosphärische Plagioscheme niedrigerer Ordnung ausdrücken lassen, und stellen
nun folgenden allgemeinen Satz hin:

Wenn f,,„., eine von den Polynomen p, Pass - - - Pan+ı begrenzte plagio-
schematische Funktion ist, und man mit I /,„ die Summe aller 2 n-sphärischen

Funktionen bezeichnet, welche von irgend 2 jener Polynome begrenzt
werden (f, = 1 angenommen), so ist

se DIDI aaa X Eee

mo

wo die Koeffizienten a durch die Gleichung

Bit
fang Do ee ee ee en AD
ö — HT.) (2)

definiert sind.
Beweis. Differentiiert man die Gleichung (1) nach irgend einem Argument von

San+ı, Z. B. nach (12), so fällt rechts das letzte Glied (— 1)"a, weg, und man erhält
DE (12) — PS (— 1)' N; & Fan-rı-ı (12),

eine ähnliche Gleichung, worin nur die Dimensionszahl 2n + 1 durch 2n — 1, und die
Grenzpolynome durch 9 (12, 3), » (12,4), ....2 (12, n) ersetzt sind. Wäre nun der
Satz für die (2n — 1)-Sphäre schon zugegeben, so könnte man durch Integration von
dieser Gleichung auf (1) zurückschliessen, und brauchte nur noch nachzuweisen, dass die
Integrationskonstante (— 1)" «a, richtig bestimmt ist. In der That, wenn wir annehmen,
dass alle Argumente von f; „+ rechte seien, und edenken, dass die Summe I f,„_.,; so
viele Glieder zählt, als 2» -+1 Elemente zu je 2n — 2: kombiniert werden können,
so wird die Gleichung (1) |

1-2 (-Dials;,,)

ıi=o

oder, wenn man mit 1.2.3...(2n-+ 1) dividiert, y
N sl el u Mu en (3)
—1.2.3..12n—2) 1.2.3...(22 +1) 1.2.3...@n Hl)" N

Dieselbe Rekursionsgleichung (3) findet man aber auch, wenn man die Gleichung (2) mit

| 4
osz=1l— -;+ .

1.2.3.4
multipliziert, und in der Entwickelung die Koeffizienten von x°”*' auf beiden Seiten
einander gleich setzt. Die Integrationskonstante wäre also richtig bestimmt, wenn der
Satz für die Dimensionszahl 2n —- 1 wahr wäre. Da aber für die Trisphäre wirklich
Js = 27, — 2 unda,=|1, a, =2 ist, so ist der Satz allgemein bewiesen.

Wir wollen die Gleichung (1) noch einer andern Probe unterwerfen, inden wir
annelımen, ein Grenzpolynom von Sy... sei zu allen übrigen orthogonal; jenes mag

a4
zen, 9,

äquatorial, diese meridian heissen. Scheiden wir nun alle Funktionen f,, in zwei
Gruppen, je nachdem das äquatoriale Polynom in der entsprechenden Kombination vor-
kommt oder nicht, und verschen im ersten Falle den Funktionsbuchstaben mit dem
Zeichen des senkrechten L, und bei der ungeschiedenen Summe das Symbol & mit
demselben Beisatz, um anzuzeigen, dass das äquatoriale Polynom sich unter den Ele-
menten befinde, über deren Kombinationen die Summe sich erstreckt, so haben wir

I
Ssi Jen S Sam c= fan t fm er fem A: Zfomin
Fe i wer= In s A
wo auf der rechten Seite der letzten Gleichung die erste Summe (,, en die zweite
an . 7 &
(, j h Glieder zählt. Nach (1) ist
EM —

ya m

j »—1
Seua-ı = > (— 1) di-ı RD RR

Az]

Will man nun dieses in der vorigen Gleichung substituieren, so frägt es sich, wie oft
eine und dieselbe Kombination von 2m — 2A meridianen Polynomen, oder vielmehr die
entsprechende fan -„, Im entwickelten Ausdruck für &f,,., sich wiederhole. Da 2m —24
meridiane Polynonıe schon gesetzt sind, so bleiben deren noch 2n — 2m -4+- 24 übrig,
und daraus können 24 — 1 gewählt und mit jenen zu einer Kombination vereinigt

werden, welche einer gewissen Funktion /,„-, entspricht. Dies kann aber auf
In-2m+2X
al

Sam-., wiederholt. Demnach ist

) Arten geschehen, und eben so oft wird also jede einzelne Funktion

| z1=m

> a an 2m+2A up
z Ta ze Sf: m ir > (—- 1) ( 2 IA ) 1 Z/am-s;:

» —I

Selzen wir nun, indem wir diese Formel im der Gleichung (1) substituieren, m =n—1
und 4 = I — i, so bekommen wir

ion s=-n—| kon | z

nen naher Sen

ıi—_ 0 kzırl

J]-
( n X 0-1 SI naie
2: +1 De

ır-0

Kehrt man in der Doppelsumme rechts die Ordnung der Summationen um, so durch-

läuft, wenn man k als konstant voraussetzt, ? die Werte 0,1,2,...4%— 1; und dann
ist nach und nach "= 1,2,...n zu setzen. Man bekommt daher
in i-k—|1
Nr k .) : )
0 - > ( D hr — PB ee q, el NE
Kl | io it +1

/ur identischen Giltigkeit dieser Gleichung wird erfordert, dass überhaupt

izen-

l
' nn
„= > a Ad (dna—i-ı» . . . . . . . . . (4)
sei. Dividiert man diese Gleichung durch 1.2.3...2n, so sieht man leicht, dass sie
aus der Gleichung des Koeffizienten von 2°?" dx in der Entwicklung von dtang x =
dx -+- tang?’x . dx hervorgeht.

Setzt man a, —= 2" c, so erhält die Rekursionsgleichung (4), indem man die Fälle
von geradem und ungeradem n unterscheidet, die Formen

s=n—lI

tal Be EREH
Gan = > 2) O;loan-i-v Can+ı 7 = } C; ER en mu S ) G
In+2
2n-+l
schliessen zu dürfen, dass alle ce ganze und positive Zahlen seien. Dieses ist nun wirklich
in folgendem allgemeinen Satze enthalten.
Wenn » eine Primzahl, n, :, k überhaupt ganze positive Zahlen sind, o<k<p,

Man braucht also nur zu zeigen, dass ( ) immer durch 2 teilbar sei, um daraus

so ist ) durch p» teilbar. Denn es ist

:n) np Br
()-P (a) (ap ip N) (np—ip—2)...(np—ip—k-+1) e » .(iPFDÜpt?2).. (ptR);
da die linke Seite den Faktor p hat, und rechts die % letzten Faktoren durch p nicht
np
ip Hk

Man findt ,=1., =1,0%,=-46=2.117, e,=16.31, &, = 16.691,
6, = 64.43.1276 = 116.257 8617,42

Sind die Bernoullischen Zahlen B, durch die Gleichung

teilbar sind, so muss der erste Faktor ( ) es sein.

ee In
definiert, so folgt
2 Ü Som 21 +
BENE on x = Hatzeze Ze ren b an
tang x = cotg x — 2 cotg?x 2° 23 en he) Bi: ;
also mtl
re ai Datr

Endlich möge noch eine leichte Probe der Gleichung (1) erwähnt werden. Wird
das von n — 1 linearen Kontinuen umschlossene reguläre Polyschem der n-fachen To-

talität auf die konzentrische Sphäre projiziert, so zerfällt ihr Umschluss in n 4-1 re-

; . i ; ” € ; In
guläre Plagioscheme, und die Argumente eines solchen sind sämtlich gleich —. Wenn

3
10

In

also alle Grenzpolynome der Funktion f, miteinander Argumente 2 bilden, so ist f, — man

Setzt man diese Werte in die Gleichung (1), so erhält man

Yenti en ö Intl J!n—2i
BE a) (; ) ei
In -H2 In—a) In —2t +1

irre \

Multipliziert man diese Formel mit — — ———--— , so füllt sie zusammen mit derjenigen,

welche man durch die Gleichsetzung des Koeffizienten von x°"*? in der Entwicklung der
Gleichung 1 — cos2 x = sn2 x tang «x erhält.

S 25. Zerlegung der sphärischen Playioscheme in Orthoscheme.

Sind die Grenzpolynome p9,, Pa, - - - P„ eines Plagioschems S so beschaffen, dass nur
die an — 1 Argumente (12), (23), (84), 45),.-.((a® — Du) frei bleiben, alle G)

übrigen aber rechte sind, so nennen wir $ ein Orthoschem und betrachten sein Mass
als Funktion der n — 1 freien Argumente, bei denen die obige Ordnung wesentlich ist,
aber auch umgekehrt werden darf, ohne dass die Funktion sich ändert. Es soJl nun
gezeigt werden, dass jedes n-sphärische Plagioschem in 1.2.3... (n — 1) Orthoscheme
zerlegt werden kann, deren Argumente durch trigonometrische Relationen aus denen
des Plagioschenis herzuleiten sind.

Wir wollen zuerst schen, wie die orthogonalen Variabeln gewählt werden müssen,
damit die Grenzpolynome eines Orthoschenis in der einfachsten Gestalt erscheinen. Ich
setze voraus, man habe die in $ 20 gegebene Darstellung (5) der Grenzpolynome vor
Augen, wo das erste nur eine Variable und jedes folgende immer eine neue Variable

mehr als das vorhergehende enthält. Weilnun 13)=(1N)=--=(1n)= s

muss x, in den Polynomen 9,, Ps - - - Pu fehlen. Da p, nur x, und x, enthält, so folgt

sein soll, so

ferner aus (24) = (25) =: = (2n)= z ‚ dass in den Polynomen p,, Ps, - . - pP. die
Variable x, fehlen muss. Also ist nicht nur 19 = (l4)=---=(1n) = 5 ,‚ sondern

auch en 2)=(1, 25)= = (1,20) — — , Wird diese Schlussweise fortgesetzt, so
sieht man, dass das Polynom p„ nur die Variabeln r„-, und x,„ enthält, und dass

nr

(123...n, (m-+1) (mn--3)) — (123...m, (m+ 1) (m-- 4) ) abe as (1 23...m, (in -- 1) n) =5

ist; die Grenzpolynome erhalten folgende Form:

AU

pP: = — a, cos (12) + 2, sın (12),

Ps —- — 17, 0608 (1, 23) -+ .w, sin (1,2 3),

De — X, C08 Kan 34) -I- x, sin (12, 34),

Pe Er oe 4) rs x, sin a2 2,3: Ze (n—1)n).
Werden die allgemeinen Formeln (1) bis (4) des $ 20 auf die Grenzpolynome

und Argumente des Perischems $ (m) angewandt, so erhält man

» (m, m 1) = Pat pm eos (m -Ym) , (nm 1) = Purctpm cos (m (m +1) )
sin (/m — 1) m) sin (m (m-+ 1))
und für jedes von m — 1, m, m ---1 verschiedene i, » (m, i) = p;,

cos ((m +1) (m 1-2) )
sin ‚sin (m ( (m -+ -1))

cos ((m —2)( mM — 1)

sin (mm)
cos (m, (m—1) (m+1)) -- cotg ((m—1)m) cotg (m (m + 1) ),

sonst (m, (--1)) = (i (2 -+ 1)) für i=1,2,3,...m —3; m +2, m + 3,...n —1;
ausser diesen n — 2 Argumenten von S$ (m) sind alle übrigen rechte; also ist
S(m,123...(m — Dm+2)(m-+3)...n) ein (n— 1)-sphärisches Orthoschem. Der
Beweis gilt für alle (n — 1)-sphärischeu Perischeme und kann an jedem von diesen in
Beziehung auf seine (a— 2)-sphärischen Perischeme wiederholt werden, und so fort.
Folglich sind alle Perischeme von jeder beliebigen Ordnung Orthoscheme, und bei jedem
die Ziffern seiner Grenzpolynome in derselben Ordnung zu nehmen, wie sie im Ausdruck
des ursprünglichen Orthoschems auf einander folgen.

Denken wir uns nun das soeben betrachtete Orthoschem S (123...n) auf eine
(n -+- 1)-sphäre gesetzt, und x, als neue Variable, so dürfen wir immerhin x, = 0 als
Gleichung des Kontinuums, in dem jenes Orthoschem sich befindet, annehmen und alle
vorigen Ausdrücke für die Grenzpolynome p,,Pg, - - - P„ beibehalten. Dann seien x,,
%y ...%, die Werte der Variabeln, welche die Gleichungen p, = 0, 9% = 0,...P 0,
2? 4-22 +... 4-2 = 1 genügen, oder die Werte des Ecks (0234... n). Durch dieses
Eck und Bor die Normale (x, =&,=:-:--x2.—=0) oder den Pol jenes Orthoschens
gehe ein lineares zweifaches Kontinuum N Ne ae), Welches
das (n 4 1)-sphärische Kontinuum in emem Kreisbogen schneidet, der jenes Eck mit
dem Pol verbindet. Oder kurz gesagt: man ziehe durch jenes Eck einen zum Orthoschem
normalen Kreisbogen. Auf diesem nehme man eine beliebige Lösung A, so sind deren
Werte

cos (m, (m — 2) (m — 1))= = , cos (m, (n--1) (n+-2)) =

z,=sinh, x =xz,cosh, 2, = a,cosh,...x, = «x, cos h,

wo / ihre Höhe über dem »-sphärischen Orthoschem bezeichnet. Es ist zum voraus
klar, dass alle durch diesen normalen Kreisbogen gelegten »-sphärischen Kontinuen zum
Orthoschem S(0) orthogonal sind, mit andern Worten, dass in ihren Gleichungen die
Variable x, fehlt. Durch jedes (n —1)-sphärische Perischem des letzten und durch jene
Lösung A ist ein n-sphärisches Kontinuum bestimmt; man versehe die Polynome jener
mit Accenten und schreibe diejenigen dieser gleich, aber ohne Accent; dem Orthoschem
selbst entspreche das Polynom p,. Man hat dann im ganzen n-H-1 ein Orthoschem
umschliessende »-sphärische Kontinua, wie man sogleich an den Ausdrücken ihrer Po-
Iynome sieht:
de, cos I) + sin h. ie ;

’ '
Po = Ic Pı = u ee a Eee
) sin? + x? cos h u

Es ist übrigens vermöge der Formel (6) in $ 20: = = sin (345...n, 12); daher

— 1, sin (3 kon, 3) cos h +. sin h

ia sin? (3 kon, 1 2)sin?7

17

Wie wir jetzt gesehen haben, kann man jedes n-sphärische Orthoschem zur Kon-
struktion eines (n-}-1)-sphärischen gebrauchen, indem man jenes auf eine (n-| -1)-Sphäre
versetzt, auf dasselbe durch sein erstes Eck einen normalen Kreisbogen A zieht, diesen
beliebig begrenzt und durclı dessen Endlösung (Spitze) und jedes der n-Perischeme des
gegebenen Orthoschems (Basis) ein n-sphärisches Kontinuum legt. Das erste derselben
wird dann zur Basıs schief, alle folgenden aber orthogonal sein; d.h. man hat ein
(n —+- 1)-sphärisches Orthoschem konstruiert, wovon das gegebene n-sphärische (die Basis)
das erste Perischem ist, und die n übrigen dieselbe Ordnung befolgen wie die (n—1)-
sphärischen Perischeme der Basis, durch welche sie gelegt sind.

Nach dieser Vorbereitung Ist es nun leicht, irgend ein n-sphärisches Plagioschem
von einer beliebig gegebenen Lösung A aus ın 1.2.3...n Orthoscheme zu zerlegen.
Es mag beiläufig bemerkt werden, dass die Zerlegung eine wahre Summe geben wird,
wenn alle ursprünglichen Argumente spitz sind, und die Lösung A innerhalb des
Plagioschems liegt. Weil dieser Fall die geringste Schwierigkeit für die Vorstellung
hat, werde ich mich im folgenden immer so ausdrücken, als ob ich nur diesen Fall
vor Augen hätte; wir haben dann den Vorteil, dass alle in Betracht kommenden Winkel

REN : nn. i re :
positiv und kleiner als — sind. Im allgemeimen aber kann die Zerlegung auch negative

Orthoscheme enthalten. Ich zeige zuerst die Möglichkeit der Zerlegung, und dann gebe
ich die trigonometrischen Relationen, durch welche die Argumente der Orthoscheme in
Funktion derjenigen des gegebenen Plagtoscheins und der sphärischen Abstände seiner
Perischeme von der Lösung .L bestimmt sind.

in m ee

Es seien zuerst ein trisphärisches Plagioschem (Kugeldreieck), begrenzt von den
disphärischen Perisehemen (Kreisbogen) S (1), 5 (2), 5 (3), denen die Polynome p,,
Pa, P, entsprechen, und die Lösung A gegeben. Man ziehe von A aus auf © (1) einen
normalen Kreisbogen, A (1) sei sein Fusspunkt. Dieser teilt S (1) in zwei Stücke, von
denen das eine nach dem monosphärischen Perischem 5 (12) geht, welches wir auch
als Fusspunkt betrachten und durch A (12) bezeichnen können. Dieses von A (1) bis
4 (12) reichende Stück können wir als disphärisches Orthoschem betrachten, obgleich
auf der Disphäre die Unterscheidung zwischen Plagioschemen und Orthoschemen eigent-
lich dahin fällt; und da A A (1) zu demselben normal ist und durch sein erstes Eck
A (1) geht, so bekommen wir ein trisphärisches Orthoschem, welches A zur Spitze und

das genannte disphärische Orthoschem, welches einen Teil von S (1) ausmacht, zur
Basis hat. Von seinen disphärischen Perischemen ist das erste der genannte Teil von

S (1), das zweite geht durch A und $ (12), das dritte durch A und A (1). Diese
Ordnung entspricht der Permutation 123. Da es im ganzen 1.2.3 solche Permu-
tationen giebt, und jeder ein trisphärisches Orthoschem entspricht, so ist die Zerlegung
des trisphärischen Plagioschems in 1.2.3 Orthoscheme bewiesen. Obgleich es auf
der Stelle klar ist, dass ein Kugeldreieck mit lauter spitzen Winkeln von einem inner-
halb desselben befindlichen Punkte aus in sechs rechtwinklige Kugeldreiecke zerlegt
werden kann, so habe ich doch absichtlich die Sache mit dieser scheinbar unnötigen
Ausführlichkeit behandelt, um am leichtesten Beispiel den Gang der nun folgenden
allgemeinen Konstruktion zum voraus anzudeuten und dadurch etwas klarer zu machen.

Nehmen wir an, es sei bereits gezeigt, dass ein (n — 1)-sphärisches Plagioschem
von einer innern Lösung aus n 1.2.3...(n — 1) Orthoscheme zerlegt werden kann,
welche den Permutationen seiner Grenzpolynome entsprechen, und versuchen nun das
Gleiche für ein n-sphärisches Plagioschem zu bewerkstelligen, dessen Grenzpolynome
mit den Ziffern 1,2,3...n bezeichnet sein mögen. Von der gegebenen innern Lösung
A aus werde auf das (n — 1)-sphärische Perischem $ (1) ein normaler Kreisbogen ge-
zogen, und von seinem Fusspunkte A (1) aus dieses Perischem in 1.2.3...m — 1)
Orthoscheme zerlegt; eines von diesen entspreche der Permutation 234...n. DaA(l)
sein erstes Eck ist, und durch dieses der Kreisbogen A A (1) normal zum genannten
(x — 1)-sphärischen Orthoschem gezogen ist, so ist nach dem früher Gezeigten das letzte
Basis und A Spitze eines n-sphärischen Orthoschems, welches der Permutation 123...n
entspricht. Wird von A (1) auf S (12) ein normaler Kreisbogen mit dem Fusspunkt

4 (12), von diesem aus auf $ (123) ein normaler Kreisbogen mit dem Fusspunkt 4 (123),
u.s. f. gezogen, so ist das erste Perischem dieses n-sphärischen Orthoschems jenes ortho-

schematische Stück von S (1), das zweite geht durch 8 (12) und A, das dritte durch
S (123), A und A (1), das vierte durch $ (1234), A, A (1) und A (12), und so fort,

zu TR

das letzte endlich durch 4, A (1), AA2), A123)... 41234... m — 2). Es ist
klar, dass z.B. der Fusspunkt A (123...m) sich nicht ändert, wie man auch die
Ziffern 1,2, 3,... m permutiert. Denn, um denselben zu bestimmen, kann man auch
durch das Centrum auf das (n — m)fache lineare Kontinuum (123...) das normale
mfache lineare Kontinuum legen; dieses wird mit dem nach A gehenden Radius ein (n+-1)-
sphärisches Kontinuum bestimmen, welches das (n — m)-sphärische Perischem 5 (1 23...)
im verlangten Fusspunkt A (123...m) trifft. Wird diese Konstruktion in Beziehung
auf alle (na — 1)-sphärischen Orthoscheme, in welche S (1) zerfällt, wiederholt, so setzen
sich die erhaltenen »-sphärischen Orthoscheme, welche den sämtlichen mit 1 anfangenden
Permutationen der Ziffern 1, 2,3... n entsprechen, zu einem Plagioschem zusammen,

welches A zur Spitze und das ganze Perischem S (1) zur Basis hat. Nimmt man nun

nach und nach S (2), 5 (3),...S (n) als Basen, so setzen endlich alle entsprechenden
Plagioscheme um die gemeinschaftliche Spitze A herum sich zum ganzen ursprünglichen
Plagioschem zusammen. Da nun die Möglichkeit der Zerlegung in Orthoscheme für das
trisphärische Plagioschem bewiesen ıst, so ist es nach dem vorigen auch für das tetra-
sphärische, und so fort; sie ist also allgemein bewiesen.

Fällt die Lösung A nicht in die Begrenzung des gegebenen n-sphärischen Plagio-
schems, so ist aus dem Gesagten klar, dass 1.2.3...n die Zahl der Orthoscheme
sein wird, aus denen es bestelt. Fällt sie aber mit einem Eck, z.B. (2 a .n), zUu-
sammen, so ist dieses die gemeinschaftliche Spitze von 1.2.3... (n — 1) Orthoschemen,

deren Basen das gegenüberliegende Perischem 5 (1) zusammensetzen, und mit diesen
ist die Zerlegung vollendet. Wenn man also eine Zerlegung des Plagioschems in die
kleinstmögliche Zahl von Orthoschemen verlangt, so muss sie von einem Eck aus ge-
macht werden.

Wenn wir nun zweitens die trigonometrischen Relationen anzugeben haben, durch
welche die Argumente eines durch die Zerlegung entstandenen Orthoschems, z. B. des-
jenigen, welches der Permutation 123...n entspricht, in Funktion der Argumente des
gegebenen Plagioschems bestimmt sind, so liegt es uns daran, den Gebrauch der ortho-
gonalen Werte der Lösung 4, von der aus die Zerlegung geschehen soll, zu vermeiden,
um nicht durch die Willkürlichkeit des orthogonalen Systems belästigt zu sein, sondern
nur die wesentliche Zahl von Daten der Aufgabe in ktechnung bringen zu können. Wir
bestimmen daher die Lösung 4 durch die Werte der Grenzpolynome P,, Par =: Pr
Dann ist z.B. der Wert von p, der Abstand der Lösung A von dem durch p, = 0
dargestellten linearen Kontinuum (1), oder, da 4 auf der n-Sphäre liegt, der Sinus des
sphärischen Abstandes der Lösung A vom Perischem S (1). Man kann also auch sagen,
die Lösung A sei durch die Längen der auf den Perischemen normalen Kreisbogen
44(1), AA(2),...44 (nr) bestimmt. Weil aber A auf der Sphäre liegen soll, so

Tr

.--

”-

_- 9 —_

muss zwischen den Werten von 9, , Ps, - - P„ eine Relation bestehen, welche der Glei-
chung 2° —+ y?+ 2°? -+--- = 1 entspricht, wenn z,%,... die orthogonalen Variabeln
bedeuten. Wir finden diese leicht auf folgendem Wege.

Es seien 9, = wc +-DbY->-..,„ m =% 2-4 b,y-+..., etc. die Polynome.
Da der Ausdruck

|

| 7 Re | a) BEN

t

' l; b, . C, . dyı b, C,

llarl Desg Ay. Da. 6a

| lt, b, ‘ n | lt, b, Cz |

verschwinden muss, weil jede Hälfte dieses Schemas n — 1 Horizontalzeilen und nur
n Vertikalzeilen hat, so bekommt man, indem man ihn in eine Determinante von Produkt-

summen verwandelt und x° -+ y? -!-... = 1 voraussetzt,
L.% 2% Ps 54% Pn EA) = e AD
».- L.; — cos (12)... — cos (1)
Ps. — cos (12). 1 ..—cos(2n)
Pn» — cos (ln). — cos (2n)... 1 |

als Gleichung des n-sphärischen Kontinuuns.

Formeln zur Berechnung der Orthoscheme, in welche ein gegebenes
n-sphärisches Plagioschem zerfällt.

Es seien a (1), a (2),...a (n) die Werte der Grenzpolynome » (1), P (2,--. P (n),
welche für die Lösung A stattfinden, von der aus die Zerlegung geschehen soll, mit

andern Worten, die Sinusse ihrer sphärischen Abstände von den Perischemen; sıe müssen
der Relation (1) genügen. Es sei ferner

2) —_ el) ecos (1m) +a (m)
a 1. m) sin (l m) ;

a (i2,m) = +2) eos (12m) + (m)
sin (1,2 m)
a (123, m) = «(1 2,3) cos (13,3m) + a(12 m) (2)

sin (1 2,3: m)

I

«183 GDy,n = 2. Bd nt) (2. Bde) tr alit..nn)
u sin (12... — 2). (n—Un)

— 80 —

dal a(,2) a (13,3) |
-— — 0 — fang == tanz - 0 = tane ß., ..:..
da (1. 2) en) ß, ) alı2. 3) > Ba: a (123, 4) a) ß,» |

a (12 23. 3...(n - — 9. N — 1)
alı 23. in, „)

= tang PB,

so sind cos ß,, sin ß, cos ß,, sin ß, cos ß,,..., sn ß,. cos fa -
die Kosinusse der Argumente desjenigen Orthoschems, welches der Permutation 123...
entspricht.
An diesen Satz reihe ich noch folgende Behauptungen.
Der Wert von a (123...i, m) ändert sich nicht, wie mau auch die überstrichenen
Ziffern 1, 2,3%, ... Sätmükiert‘ Die Gesamtzahl dieser Grössen ist: demnach
Ma ee een ee)
Die Relation (1) verwandelt sich in
a (1)? -4- a (1,2)? + a (123,3)? -+a (123, 4)? + ---all2..n—1),n?=1.. (6)
Wird im nn (2) der Buchstabe a durch p ersetzt, d. h., denkt man sich die

.i,m) das Polynom

des durch $ (123...i = und an zus(1)....8(2)...8 (i) gelegten
Kontinuums. . . u A an. ir Yez, aan a nd an > Nr ae el er IL)
Für den Eisspinkt A a 2 y .i) gelten die Gleichungen:

P» = rR =0)...9=%,

en ee “) N
yl23...i, I SEE __allr u: m)_ — —-— 1-0, (3)
lı-a 12? -all. 28 ul. Sm Bea Kenne)
(nmi--l,i-- 23, 7 -H-8,...n)
wo der Radıkand im Nenner durch eine Permutation der Ziffern 1,2.3,... 2 micht

geändert wird.
Beweis. Das durch (lm) und die Lösung A gelegte lineare Kontinuum hat
die Gleichung

aM) - ah )yM)=-0. ... 2.2.2.0
Die Summe der Quadrate der Koeffizienten der Variabeln auf der linken Seite ist
(1)? -+ 2a (1) a (m) cos (Im) + a (m)? = (a (1) cos (1 m) -1- a (m) )? 4: all)? sin? (Im),
also nach (2) gleich

(u (1)? -+-a (1, m)' ) sn® (1).

=. NOT, zei

Das Polynom des betrachteten Kontinuums ist demnach

“«mpypm—zam)pi),
sin (m) Ya (1)? + a (1,m)?®

Wenn nun das Orthoschem, dessen Argumente wir suchen, der Permutation 123...n
entspricht, so ist p (1) = 4, sein erstes Grenzpolynom, und

a SEID EIDPNN). u 5 we eh (MO)

sin (12) Ya (1? +a (1,2)?

sein zweites. Ist ß, der Winkel der Polynome g,, 9, so hat man

AR EI | a ae ie 6.
sin (12) Ya (1? + a (1,2) Yacı)?+a(1,2)’

woraus sogleich

(1
tang f, = = 5

folgt.
Multiplizieren wir die Gleichung (9) mit einem beliebigen der Ziffer m entsprechen-
den Faktor A, und summieren dann für n = 2,3, ...n, so stellt die erhaltene Gleichung

ein durch 4 gehendes Kontinuum dar. Soll dieses noch zu (1) orthogonal sein, so muss
Zr, (a (l)cos(Im)+a(m)) = 0

sein. Demnach ist für den von A aus normal auf das Grenzkontinuum (1) gezogenen
Kreisbogen

a(i) yÜ (m) — a (m) pP (1) = COnsb.;. 4 ee (12)

all)cos(Im)-+ a (m)
während m = 2, 3,...n wird. Durch die hieraus entspringenden n — 2 Gleichungen
ist das normale disphärische Kontinuum gerade bestimmt. Für den Fusspunkt kommt
noch die Bedingung » (1) = 0 hinzu. Mit Rücksicht auf (2) haben wir also für den
Fusspunkt A (1):

pP (m)

-- _ %— = const. (m = 2,3,...nN).
ee const. (m n)

Nach der in (7) vorausgesetzten Erweiterung des Systems (2) ist aber
7...) _ PDeos(lm)+p (m)
P (1, m) = sin (l m)
Wie wir weiter unten noch erläutern werden, und wie schon durch die Bezeichnung an-

gedeutet werden soll, hat dieses Polynom für das (n — 1)-sphärische Perischem $ (1)
11

zu BD

dieselbe Bedeutung, wie p (m) für das ursprüngliche x-sphärische Plagioschem. — Im
vorliegenden Falle haben wir also, wegen p (1) = 0, für den Fusspunkt 4 (1)

all, 2) all, 3) at, we

Wir erfahren hieraus nur die Verhältnisse der Werte der Polynome p (1, ın). Um ihre
wirklichen Werte zu bekommen, schreiben wir in der Gleichung (1) überall a statt p,
was erlaubt sein muss, weil die Lösung A auf der Polysphäre liegt. Die oberste Ho-
rizontalzeile beziffern wir mit 0, die folgenden mit 1,2,...n. Multiplizieren wir nun
die Horizontalzeile [1] mit cos (1 m) und addieren die Produkte zur Horizontalzeile [|],
während |1] unverändert bleibt, so ändert sich der Wert der DeiSrminanE bekanntlich
nicht, und die zwei ersten Glieder der Zeile [x] werden:

LA 1a) BaEeS "2 CIE) EEE ‚1 C 7

a(m)-+-a(1)cos(1m) = «a (1, m) sin (1 m), 0
Das Glied vom Range m wird sin? (1 m), und dasjenige vom Range i wird
— cos (im) — cos (Li) cos (1m) = — sin (1 i) sin (Lam) cos (1, im);
diese Horizontalzeile ist also durch sin (1 n) teilbar. Da rechts die Null steht, so kann
man diesen Faktor der Determinante weglassen. Man führe dieses durch für m == 2,
3,...2. Von der Zeile [0] subtrahiere man die mit a (1) multiplizierte Zeile [1],
werden ihre Glieder
1—a(1),0, a (1,2) sin (1 2), a (1,3) sin (13),... a (1,n) sin (In).

Bezeichnen 4, H,,... H, die ursprünglichen Horizontalzeilen, so können wir die
neuen durch

H,—a(l) H,H,... (H„-+ H, cos (lm)): sin(Im),...

ausdrücken. Man wird nun bemerken, dass die Vertikalzeile [1] nur im Range [1] das
Glied 1, sonst lauter Nullen hat; folglich kann man auch in der Horizontalzeile |1] alle
Glieder ausser dem erwähnten durch Nullen ersetzen. Jetzt ist aber die Vertikalzeile
[ö] durch sin (1 ö) teilbar geworden. Man lasse diesen Faktor für i =- 2,3,...n weg,
so hat man endlich die Gleichung

1-al. all). al)... al) . . (1)
a (1, 2) j 1 . — 05 (1,23) ET
a (1,3) -— cos (1,32)- l cos (1,31)

a (1; n) one cos (1,2) - => cos (L, 13): Be l

— 89 —

Da diese Gleichung für das (n — 1)-sphärische Kontinnum (1) gerade dieselbe Bedeutung
hat, wie die Gleichung (2) für das n-sphärische, so folgt, dass für A (1) die Grenz-

polynome von (1) folgende Werte bekommen:

p(L, m) = --" m Mer draeeiee e lD)
Yl-all)

Was am gegebenen n-sphärischen Plagioschem in Beziehung auf sein Grenz-
kontinuum (1) und die Lösung A gethan worden ist, soll nun am (n — 1)-sphärischen
Plagioschem (1) in Beziehung auf seine Basis (12) und die Lösung A (1) wiederholt
werden.

Man hätte also eigentlich die Variabeln orthogonal so zu transformieren, dass
das Polynom p (1) einer einzigen Variabeln gleich würde, und dann ın jedem der übrigen
Polynome diese Variable wegzulassen und seine zurückbleibenden Koeffizienten pro-
portional so zu verändern, dass wiederum die Summe ihrer Quadrate = 1 wird. Nun
ist z. B. im Polynom » (m) der Koeffizient der zu unterdrückenden Variabeln — cos (1m);
die zurückbleibenden Koeffizienten sind also mit sin (1x) zu dividieren; das entsprechende

Grenzpolynom von (1) wird demnach

1 (m) -FP(l) cos (lm
»(1,m)= ? Mn) pl) cos (Im)
sn(1 m)
und man braucht sich in die Transformation der Variabeln nicht einzulassen. — Mit

andern Worten: Durch die Unterdrückung der mit p (1) koincidierenden Variabeln geht
das Kontinuum (m) in ein durch (Im) gelegtes und zu (1) orthogonales über. Die
erste Bedingung wird durch die Form p (m) -+ A p (1) erfüllt, und der Faktor A ist durch
die zweite Bedingung, p (m) +Ap (1) Lp (1) oder cos (lm) — A= 0 bestimmt. Da
nun die Summe der Quadrate der Koeffizienten des Polynoms p (m) +4 p (1) gleich ist
1-42 — 2% cos (lm) = sin? (lm), so haben wir auch so wieder die obige Formel
für p (1, m) bewiesen. Sie ist übrigens als spezieller Fall in den allgemeinen Formeln
(1) und (2) des $ 20 enthalten.

Für das folgende brauchen wir einen Ausdruck für den Winkel der Polynome

p (i) und p (1, w). Wir finden seinen Kosinus
cos (Ü m); + cos (1 7) cos (1 m)

_ alim) Een DL — sin (1 ö) cos (1,m) ....(16)

und im Besonderen für = m, = — sin (1m).

Nun haben wir ähnlich wie in (10) für das dritte Grenzpolynom des betrachteten
Orthoschems den Ausdruck

= Me

KANFARDE TIEFE) WR
sin (1,23) Yalı.2)’+a(12,9°

3

Der Zähler ist eine homogene lineare Funktion von y (1), p 2), p &), also geht das
Kontinuum durch (123); der Zähler verschwindet für A und wegen (15) auch für A (1),
das Kontinuum geht also durch beide Lösungen.

Wir haben also die negative Summe der Produkte der gleichnamigen Koeffizienten
der Polynome p (2) und «a (1,2) » (1,3) — a (1,3)p (1,2) zu berechnen; nach (16) ist sie

sin (12) « (1,2) cos (1,23) -- a (1,3) — «a (12,3) sin (12) sin (1,23);

ferner ist y (1) L« (1,2) p (1,3) —a(l3)p (1,2), und endlich mit Rücksicht auf den
in (10) gegebenen Wert von 4:

nn |
BEHEUR. ..., SENENESS (2.3) : = sin B, cos ß,,

Be ee N:
Yaı,?+a (12)? Yalı,2)?-Fatı2,5)?

wenn man die Abkürzungen (3) gebraucht.
Bezeichnen wir mit p (12, m) das Polynom eines durch (12) und orthogonal zu

(1) und (2) gelegten Kontinuuns, so finden wir durch die oben gebrauchten Schlüsse

p (12,m) = pll,m) + p (1,2) cos (12m), Vergl. (7)
sin (1,2m)

Es erhellt schon aus der Definition, dass dieser Ausdruck durch Vertauschung der Zeiger

1, 2 nicht geändert wird; man kann dies aber auch direkt verifizieren; denn man

findet leicht

p m) sin (12, -F p (1) sin f2 m) cos (2. Im) + p 2, sin (1 m) cos (1,2)
ID es BULL N UN)

sin (12). sin (1 m) sin (1,2 m)

p (12, m) —

wo hinsichtlich des Nenners zu bemerken ist, dass sin (1 m) sin (1,2 m) = sin (2 m)
sin (2,10). Wenn aber p (12,n) = p (21,m), so folgt von selbst, dass auch «a (12,1)
-- a (21, m). Hieraus kann leicht die Richtigkeit der Behauptung (5) gefolgert werden.

\Wie aus der Gleichung (1) die Gleichung (14) sich ergab, so kann aus dieser
wiederum die Gleichung

1,2)? - a(12,3) -... all2,n)

-=0 .. (19
9.3): 1 00. — (08 (12, 3)

1-ıuı()—aua(
1

a (

al12,n)-— cos (12,23) -.......1 |

Kr -- -

-R-

hergeleitet werden, und es folgt, dass der Ausdruck « (1)? + a (1,2)? sich nicht ändert,
wenn man auch die Ziffern 1 und 2 vertauscht. Setzt man dies weiter fort, so erhält
man durch wiederholte Anwendung derselben Schlüsse, durch welche (13) und (15) ge-
funden wurden, für den Fusspunkt 4 (123...:) die Gleichungen (8). Da zuletzt das
Polynom p (123...(n— 1), n) nur noch eine Variable enthält, und diese der Gleichung*)
der Monosphäre, so ist sein Wert + 1; daraus folgt die Gleichung (6). Das Gleiche
folgt auch aus der fortgesetzten Reduktion der Gleichung (18).
Es ist leicht, die Gleichung (17) zu verallgemeinern; man hat

a2. mim t)plin. mo a.m)—allı.. mo, pl... mom),

Im == FOLIEN man -
5 sin (12... (m—2, (m —1) m) Yalız.. .(m—2), ‚n—1) +a(ll2 my)?

Aus dieser allgemeinen Formel für ein Grenzpolynom des Orthoschenis folgt dann

a\12 (m, m—1) a 12.. “Mm, m-+1
cos Z (YmInzı ) nn (12... m- u ERGERHETe {12...m 5 ) ee =
Yalız... (m—2), ae +a(12.. .(m—1) ‚n)® Aus. m U,m)?-F al tal2.. m, na)“

— sin Bu 608 P.. Vergl. (4).

Wenn die Bedingung für die Quadratsumme der Koeffizienten nicht erfüllt zu
sein braucht, so kann man das mte Grenzkontinuum des Orthoschems auch durch die
Gleichung

1-— cos (12)- — cos (13) - ++ — cos (1 (m—23))-a (1) -p() | =
—c08(21)- 1° — cos (23). * ++ — cos (2 (m—2)) a (2) -p (2)
— cos(31) - — cos (32) - l- +++. — cos (3 (m—2))-a B) -p ®) |

— cos (ml). — cos (m2) - — cos (m) - - - + — cos (m (m—2)) - a (m) -p (m)
darstellen. Es erhellt aus dieser Form der Gleichung sogleich, dass das Kontinuum
durch (123... m) und A geht und zu allen durch (12... (n-—2)) gelegten Kontinuen

orthogonal ist, und dass eine Permutation der Zeiger 1,2,3,...m — 2 keinen Ein-
fluss hat.

$ 26. Reduktion der perissosphärischen Orthoscheme auf artiosphärische,

Auf den ersten Blick scheint die Aufgabe dieses Paragraphen schon mit derjenigen des
$ 24, welche sich auf Plagioscheme überhaupt bezog, zugleich gelöst zu sein, indem man nichts
weiter zu thun brauche, als die dortige Gleichung (1) dem besondern Fall eines Ortho-
schems anzupassen. Dieses Geschäft kann für niedrige Dimensionszahlen allerdings

*) So im Manuscript.!

— 8 —

ausgeführt werden. Da aber der in $ 23 betrachtete Fall, wo eine plagioschematische
Funktion in ein Produkt zweier anderer zerfällt, sehr oft mit perissosphärischen Faktoren
eintritt, und diese dann wiederum durch lineare Polynome artiosphärischer Funktionen
dargestellt werden müssen, so mag cs schwer halten, auf diesem Wege zu einem all-
gemeinen Gesetz zu gelangen. Hingegen wird die Lösung der speziellen Aufgabe dieses
Paragraphen ganz leicht, wenn man sie unmittelbar angreift, ohne von der Gleichung
(1) in $ 24 auszugehen.

Zur Vorbereitung auf das folgende diene diese auf $ 23 gestützte Bemerkung.
Bedeutet f (123 4...n) eine orthoschematische Funktion, wo die Ziffern den Grenz-
polynomen entsprechen, und die Ordnung derselben die bekannte Bedeutung hat, also
bloss umgekehrt, aber sonst nicht durch Permutation verändert werden darf, und man
lässt einige Polynome weg, sodass die Folge der übrigen durch Lücken unterbrochen
wird, so sind alle zwischen zwei Lücken oder zwischen einer Lücke und dem Anfang
oder Ende der ursprünglichen Reihe enthaltenen Polynome zu jedem der übrigen ortho-
gonal; daher findet die in $ 23 gelehrte Zerfällung einer Funktion in Faktoren ihre
Anwendung auf jede niedrigere orthoschematische Funktion, welche einer durch Lücken
unterbrochenen Kombination der gegebenen Polynome entspricht. Ist zB m—ı>1,
m <n, so Ist |

sı123...im a --D...n)=f(123...dfam (m --N)...n).

Im folgenden Satze können nur artiosphärische Faktoren vorkommen.

Satz. Wenn f.,.4|ı die einem perissosphärischen Orthoschem ent-
sprechende Funktion bezeichnet, und man lässt in der Reihe seiner 2n \ 1
Grenzpolynome deren 2:-: Lauf alle möglichen Arten so weg, dass jede
der ununterbrochenen Reihen, in welche die ursprüngliche Reihe durch die
entstandenen Lücken getrennt wird, eine gerade Anzahl von Polynomen
enthält; bezeichnet man ferner die Summe aller Funktionen, welche den
erwähnten Kombinationen der Grenzpolynome entsprechen, mit Z fan -.2» WO
die einzelnen Glieder teils einzelne Funktionen, teils Produkte von solchen
sind, je nachdem in der betreffenden Kombination alle Polynome eine fort-

laufende oder dureh Lücken unterbrochene Reihe bilden, — so ist
> x — 1‘ I, x I
Pan ee ein ee eh (1)

= SAT: en

SU29)=- SEI) SUN) —1,
Su2345)=f(@345) + SAY) FA) -HfA23)
-AHAFEH+FA@NISAYH
SA23456N=FA3455EN+FALDFA5EEN 4 FA23NFET)-Hf23456)
- SA5EENALSEHFECN :FBHENA+HFCHICNA+FEHFCH
3 S@IIHASANFEH1FADFCH+FUADFAINA-FA23N]|
+2 SENHFECH LAN AHFEHAFAHAISAD) 5.

Beweis. Es frägt sich zuerst, wie oft man aus der Reihe 1,2,3,4,...22 +1)
je zwei 2:—+1 Ziffern weglassen kann, sodass jede der zurückbleibenden fortlaufenden Reihen
eine gerade Anzahl von Ziffern enthält. Man ordne die zurückgebliebenen Ziffern paar-
weise, so hat man n —ı Paare, und denke sich jedes Paar durch ein einziges Symbol
ersetzt. Zählt man die weggelassenen Ziffern einzeln ebenfalls als Symbole, so sind
deren im ganzen n-+i--1, und man hat eine gewöhnliche Kombination (2? —+-1)ter

Klasse aus n-+ © —+-1 Elementen. Die Summe Ff,,-.; zählt also Fe u ) Glieder.
Sind nun alle 20» +1 Polynome unter sich orthogonal, so hat jede Funktion f
den Wert 1; und, wenn die Gleichung (1) richtig ist, so muss

EN ru
sein. Bedeutet Ah, die Summe rechts, so ist
nah EEE) ren) l)

u n z (2) Ge —z Pr (1.1) a

Also ist „= h,-, = Iln-2 =." =, = Ih; und, da l,=1 ist, so ist die Gleichung (?)
allgemein gültig. Daraus ist zu schliessen, dass, wenn die Form der Gleichung (1) die
richtige ist, die Koeffizienten ebenfalls richtig gesetzt sind.

Um die Form zu prüfen, differentiieren wir die Gleichung (1) nach irgend einem
Argument der Funktion ‚f,,;, und erhalten offenbar eine Gleichung von derselben Form,
mit dem einzigen Unterschiede, dass die zwei das varlierte Argument einschliessenden
Polynome herausgefallen, und durch die Unterdrückung des zu beiden normalen zwei-
fachen Kontinuums die zwei benachbarten Polynome verändert sind. Wenn also der
zu beweisende Satz für die (2n — 1)-Sphäre bereits zugegeben ist, so kann man durch

blosse Integration auf die ltichtigkeit der Gleichung (1) schliessen, indem man zugleich
die Integrationskonstante nach (2) bestimmt. Da nun der Satz (1) für die Trisphäre
richtig ist, so ist hiermit seine allgemeine Geltung bewiesen.

$ 27. Perioden artiosphärtischer Orthoscheme.

Wenn ein Plagioschem S (123...n) verschwindet, so sind seine Grenzpolynome
nicht alle unter sich unabhängig; die Determinante ihrer Koeffizienten wird also ver-
schwinden, oder, wenn man will, das Quadrat derselben, die Determinante der negativen
Kosinus der Argumente, welche wir in $ 20 mit 4 (123...n) bezeichnet haben. Nach
demselben Paragraphen ist z. B.

N ee I1234...n) IBAH.. N
sin? 345...n,12) = 7... Is

Wenn also keine der Determinanten (n — 1)-ten Grades verschwindet, so müssen beim
Verschwinden des Plagioschems 5 (123...n) auch die Sinusse aller seiner Seiten ver-
schwinden; aber diese selbst können dann immer noch O0 oder zz sein. Man darf aber
im allgemeinen nicht umgekehrt von 1 (123...n)= 0 aus auf das Verschwinden des
Plagioschems schliessen. Wenn man jedoch sicher weiss, dass alle Seiten verschwinden,
so überzeugt uns schon die unmittelbare, ich möchte sagen, geometrische Anschauung,
dass das Plagioschem verschwindet. Setzen wir jetzt den Fall, dass alle Argumente von
$ (123...) im ersten Quadranten liegen, so folgt aus

cos (23) + cos(12,cos/13,

; SE ’ etc.,
sin (12) sin (13)

cos (1,23) =

dass das nämliche auch für alle Argumente der (a — 1)-sphärischen Perischeme gilt,
denn cos (1,23) Kann in diesem Falle nur positiv sein; daraus folgt aber weiter, dass
auch alle (n — 2)-sphärischen Argumente spitz sind, und so fort, zuletzt, dass die Seiten
alle im ersten Quadranten liegen. Ist nun auch noch 4 (12?3...n)=0, während keine
der ähnlichen Determinanten (n — 1)-ten Grades verschwindet, so kann hieraus nur auf
das Verschwinden sämtlicher Seiten, also auch des Plagioschens selbst, geschlossen
werden. Erwägt man die Sache noch genauer, so findet man, dass auch keine Deter-
minante (n — 1)-ten Grades verschwinden kann. Denn, wäre z.B. 1 (234...)=(,
während keine Determinante (n — 2)-ten Grades verschwindet, so müssten nach der Formel

412349...) Ad...n)
4345...n) ID...)

sin? (45...n,23) =

alle aus den Ziffern 2,3,4,...n gebildeten trisphärischen Stücke, wie (45...n,23) ver-
schwinden, und, da alsdann z. B. in der Gleichung ö

en ln nn rn ei

En

89 —

cos (A5...n, N, 12) +cos(45...n, .n, 13) cos (#5...n, N, 23)

345...n,12) =
cos ( n,12) sin (#5...n, 13) sin (45...n, 23)

rechts der Nenner des Bruchs verschwände, so müsste auch der Zähler verschwinden,
was nicht sein kann, da derselbe die Summe zweier positiver Grössen ist. Der gleiche
Schluss ist auf die Annahme anwendbar, dass eine Determinante (n — 2)-ten Grades,
aber keine (n — 3)-ten Grades verschwinde, und so fort. Eine Determinante zweiten
Grades endlich, wie 4 (12) kann nicht verschwinden, weil sonst ein ursprüngliches
Argument (12) gleich Null sein müsste. Demnach ist folgender Schluss rückwärts sicher:

Wenn alle Argumente des Plagioschems $ (123...n) positiv und spitz
sind, und es verschwindet. die Determinante 4 (123...n) der negativen Ko-
sinus der Argumente, so muss auch das Plagioschem verschwinden.

Für ein Orthoschem S (123...n) ist

4(123...n)= 1 -— cos(12)- 0 . 0 ae DO 0
—cos@1)- 1 -—-cs@d):- 0 -..00 0
0 -—c08(32)- 1 -—cos(34)-... 0 0
0 . 0 0 . 0 1 .— cos((n— 1)n)
0. :>.0.2.00..220 0 —eosen(n—))- 1

= 4(234...n)— c0s?’(12) 4 (34...n)= 4(123...(n--1)) — cos? ((n—1)n) 4(123...(n—2)).
Gebrauchen wir einfache Zeichen für die Argumente, indem wir (12)=«, (23) = ß
84)=9,..,(m -—l)n)=© und 4(123...n)= 4A, (ae, ß,... ©) setzen, wo der untere
Zeiger bei A den Grad der Determinante bedeutet, so haben wir zur successiven Be-
rechnung derselben folgende Reihe von Gleichungen:

A4,=1,4, =1,4, («) = 4, — A, 08? a = sin? e, A, (ae, $ß) = A, — 4A, cos? 8

—= sin? «a — cos?ß, A, (a, ß,y) = Is — Ay c08? y = sin?a sin?y — cos? ß,

„JI,(0,ß,...&r,0)=4,-,(& ß,...&%7)— 008? 4(a,ß,...d). .» .:. U

Die Realität des Orthoschems S (a, ß,...r, ©) erfordert, dass keine dieser Deter-
minanten negativ sei. Die Reihe ihrer Werte nimmt also fortwährend ab, und daher
ist es nicht möglich, dass eine ausser der letzten verschwinde. Man sielıt leicht, dass
die Determinanten auch durch Kettenbrüche definiert werden können; denn es ist z. B.

en N, ©) u cos? «

A B y,6Ö u /E 9 1 cos? pP
cos?y
= 2
cos? d
1
1 BE
cos!n
1] — cus?@

- 90 —
Aus (1) folgt auch leicht

4 (a, ß,...8,6,7, ©) -4-c08?7 4(a,ß,...e)=sin?O 4(a,ß,...e,L).

Wenn also A(a,ß,...&8,&,17,0)= 0 ist, so hat man

I'a,ß,...8,8,n)
I'a,ß,...8,$) .

: Ilaß,...e
sın’O = cos? n er

o
cos’Q) = ey
4'0,B,..2.65)

Zwei Sätze über die mit 4 bezeichneten Funktionen mögen das folgende vor-
bereiten.

1. Es ıst

4(B,9,...7, 9): A (a,ß,Y,...7,©)
4(By...7) Ila,ßı9,...7)

4(y,...7,9)-A(B,Y,...7,©) E
Ay...) Aldıy...n) |

Um dieses zu beweisen, braucht man nur im Schema links die erste Vertikalzeile von
der zweiten abzuziehen und dann beide Zeilen zu vertauschen, indem man zugleich das
Vorzeichen der Determinante verändert. Wenn man aber die Determinante rechts wieder
so behandelt und dieses Verfahren fortsetzt, so gelangt man zuletzt zur Derminante

= (05° «a

A, .I (9) | =1—sin?O = cos? 9;
4.4,
also ist

4(a,ß,...3)4(B,...1,0) — 4(a,ß,...7, ©) 4A (ß,...7,) = cos?acos?$cos’y...cos’O. (2)

2. Multipliziert man die Gleichungen

I(a,ß,Y,..-..- VID Vs Co) — cos’ a I(y,d,...L),
48, 90,...&)=Alyd,...6%)— cos®’R4A(d,...L, 2),
Ay, ö,...&51,9)= 41(9,0,...5,7) — c0o?O4A(y,d,...d),
4 (d...5,7,9,0)= 4(d,...£,7,0) — cos’« 4(d,...L&,n)

resp. mit 4(d,...5,7), — 4(d,...{), 4(d,...d), — Iyd,...d),
addiert sie und bezeichnet die Summe links mit G, so hat man
G=4(6,...L,ı) [4 (8,9,8,...9)+ 008? 8.1(6,...d))
— 419,...d) 190,...5,,6)+ 608°@.1(d,...2))
= 4(d,....&r) Id...) 4... D)Ald,...2r)>=d.

Man hat also die identische Gleichung

Se az

—Mmn- 1

|
- Ai ne m

= GT, =

4 (a, ß,1,d,.-.8)4(d,...6,7,)— I(d,...6,n,0,c)I(y,d,...)
= [2@,98,...6)-496...6 9}... ee

‘ Um ‘nun zum eigentlichen Gegenstand dieses Paragraphen überzugehen, setzen
wir den Fall, wo in der Gleichung (1) des vorigen Paragraphen die perissosphärische
Funktion links verschwindet. Es seien «@,ß,Y,d,...%,4, 1. ihre 2n Argumente, so giebt
die erwähnte Gleichung die Summe der zwei artiosphärischen Orthoscheme |

By...) +fB,9%d..,% 4, u)

in ganzer Funktion artiosphärischer Orthoscheme niedrigerer Ordnung. Man kann aber
eine in sich zurückkehrende Reihe solcher Gleichungen auf folgendem Wege erhalten.

Die 2n — 1 Argumente a, ß,y,d,...%,4 seien frei im ersten Quadranten ge-
geben, aber so, dass ihre Determinante positiv wird; dann seien drei fernere Argumente
u, v, 5 durch die Gleichungen

I(,B,...,u)=0, IB, y..:wr)=0, Iyd.. vv, d)=0 ... (4)

bestimmt. Da nur die Quadrate der Kosinusse hier vorkomnien, so steht es uns frei,
auch u, », &$ im ersten Quadranten zu nehmen. Da (9, d,...A, u) positiv ist, so folgt
nach (3) aus den drei Gleichungen (4)

II, EDER TI: ee

Ebenso folgt aus den zwei letzten Gleichungen (4) und aus (5) die Gleichung
Je...) =d,

und so fort; überhaupt verschwindet jede Determinante, welche sich auf 2n successive
Argumente der durch fortwährende Wiederholung der (2n-+ 2)-gliedrigen Periode
a«,B,y,d,...% 4,4, »,& bezieht. Daher verschwindet auch jedes perissosphärische
Orthoschem, welches einer solchen Determinante entspricht. Wendet man immer die
Gleichung (1) des $ 26 an, so sieht man eine Periode der (2n + 2)-artiosphärischen
Orthoscheme f (a, B,... N. SB n--- (IM: FG: d ER...)
entstehen, wo immer die Summe von zwei unmittelbar auf einander folgenden Gliedern
als ganze Funktion niedrigerer artiosphärischer Orthoscheme gegeben ist. Man kann
also auch entweder die Summe oder den Unterschied von irgend zwei getrennten
Gliedern der Periode auf ähnliche Weise ausdrücken, je nachdem eine gerade oder un-
gerade Zahl von Gliedern dazwischen liegt. Wenn im ersten Falle beide Glieder ein-
ander gleich sind, so ist jedes derselben durch niedrigere Orthoscheme ausgedrückt, ein
Umstand, den wir im folgenden Paragraphen betrachten werden.

92 —

Wir wollen die drei letzten Argumente u, », ö der Periode durch die unabhängigen
@,ß,%,...%, 4 ausdrücken. Man hat auf der Stelle

I(a,ß,...%, 4)
I(a,ßB,...% ’

I (a, 8, ech, A)

cos’ä = Day (6)

cos’u =

wofür man auch die entsprechenden Kettenbrüche setzen kann. Um » zu finden, müssen
wir aus der Gleichung

ee)
Pu | (B, )» ..ch, A)

cos? v
u eliminieren. Wegen 2 («,ß,y,...4, u) = 0 giebt uns die Relation (2)
A (a,ß,...%,A) A(P,y,...A,u) = cos?’acos’ßcos?y...cos?A cos’ u.

Mittelst (6) bekommen wir also

dach cos? « cos? 3 cos?y...cos?‘ I, ß,...%, 4)
m za er ee ee)
U Pe FT EN I0B,:.:+4)
oder endlich
2 cos? a cos? B cos? y... cos? A
LOSE VE ee nn en
IWB Yen Id... AA) (7)
net ee Ann |
Ale, By...) IB, 9...)

Zum Schlusse wollen wir den Grund der Periodicität der Argumente in den
Polynomen selbst aufsuchen. Es sei n die gerade Dimensionszahl eines Orthoschems
$(123...n) und ein (n+-1)-tes Polynom durch die Bedingung 4 (12...n (n+1))=0
bestimmt, sodass das perissosphärische Orthoschem $8 (123...n(n-+1)) verschwindet.
Wenn man nun auch n-+ 1 orthogonale Variabeln gebraucht, so kann man doch ihr System
immer so einrichten, dass die n ersten Polynome nur die n Variabeln x, 2, -..%&,
enthalten. Wegen des Verschwindens der Determinante muss aber das Polynom
P„zı von den vorigen abhängen und kann daher xz,;, auch nicht enthalten. Aus
4(23...n (n+1) (mn +2))= 0 wird das Gleiche in Beziehung auf p,.+. geschlossen,
und so fort. Da also die Variable x,,, nirgends vorkommt, so hat die Betrachtung
sich auf die x-Sphäre zu beschränken. — Wie im Eingang zu $ 25 gezeigt ward, kann
man bei der Darstellung eines Orthoschems die Variabeln immer so wählen, dass das
erste Grenzpolynom nur eine, jedes folgende nur zwei Variabeln und zwar immer eine
neue enthält. \Vendet man dieses auf das verschwindende Orthoschem $S(123...n(n+1))
an, so erhalten die Polynome p,,Pz,--.?„ dieselben Ausdrücke wie ın $ 25, dagegen
wird pP, = — %u. Da ferner S(234...n (nr +1)(n--2))=0 sein soll, so hat man

ein neues Polynom 9,4, zu suchen, welches zu 9,,P3,...», orthogonal ist; es ist durch
diese Bedingungen vollkommen bestimmt und wird im allgemeinen alle Variabeln
X, %gy... X, enthalten. Soll ein folgendes Polynom, ohne eine neue Variable aufzunehmen,
ZU Pz>Pas---Par Pu+ı Orthogonal sein, so erfüllt nur p, diese Bedingung, sodass man
S(34...nn+1)(n+2)1)=0 hat. Wie dies weiter geht, ist klar; wir sehen daraus,
dass auch die Polynome 9, , Pa - + : Pr» Pati Pn+2 eine Periode bilden.

$ 28. Anwendung des vorigen auf die Bestimmung artiosphärischer Orthoscheme

in einigen besondern Fällen.

Es ist leicht zu beweisen, dass überhaupt
I(a,...6,8,5,710©,...1) = 4(a,...0,e) A(7,0,...1)— cos?& A(o,...d)A(O,...ı) (1)

ist. Denn nehmen wir an, die Formel sei bis zu einer gewissen Zahl von Argumenten
7, ©,...%,4, welche auf & folgen, bereits bewiesen, und denken uns die vorliegende
Gleichung (1) noch einmal mit Weglassung des letzten Arguments A geschrieben, multi-
plizieren diese mit — cos? u und fügen sie der vorigen hinzu, so ergiebt sich offenbar
eine ähnliche Gleichung, worin u als letztes Argument erscheint, und daher die Zalıl
der auf & folgenden Argumente 7, ®©,...#,4, u um 1 grösser ist als vorhin. Da nun
die Richtigkeit der Formel (1) für ein einziges auf & folgendes Argument 7 leicht ein-
zusehen ist, so ist dieselbe allgemein bewiesen.

I. Vergegenwärtigen wir uns wieder die in $ 27 behandelte Periode von 2n-+ 2
Argumenten «, ßB,y,d,...%, 4, u,»,& und verlangen, dass das (n —2)-te Orthoschem
mit dem ersten S (a, ß,...%, A) direkt zusammenfalle, so ist klar, dass auch die Periode
der Argumente aus zwei direkt kongruenten Hälften bestehen muss; sie sei

0.8, 9 2-:&67,09,0,:.0,9,5266 9, 0.

Von den drei Bedingungsgleichungen, denen diese Argumentenreihe genügen muss;
untersuchen wir nur die erste

40,942, 0 del,
mit der Absicht, sie nach cos? © aufzulösen. Wir finden nach (1)
40...) B,...69) — 000 4(,...,)= 0,
also, da 4 (a, ß,...E) nicht verschwinden darf,

2360, 9,5, 0) art again ee rn)

2. 3gf,
Machen wir hier cos? », frei, so. bekommen wir
a4(0,ß,...88) — cs? 4(B,...,)— cos’nA(a,ß,...e)= (0,

oder auch |
A4(9,0,ß,...8,$) — cos’nA(a,ß,...e) = 0,

d. h. die Gleichung (2) koincidiert mit einer ähnlichen, worin die periodische Argumenten-
reihe um ein Glied zurückgeschoben erscheint. Die eine und selbe Gleichung (2) kann
also im ganzen unter n -—-1 Gestalten erscheinen, welche durch eine Art von Kreis-
bewegung der n—+-1 Argumente in einander übergehen. Da nun die drei Bedingungs-
gleichungen, von denen im Anfang gesprochen wurde, nichts anders als die resp. mit
den Faktoren 4 (a,ß,...8), A(B, 9 ..:-&7) 4%, ...7, ©) multiplizierte Gleichung (2)
sind, so sind sie alle zugleich mit dieser Gleichung (2) erfüllt. Dass die Gleichung (2)
von der Wahl des Anfangs der Argumentenreihe unabhängig ist, kann auch unmittelbar
eingesehen werden, wenn man ihr die Form

2 c08ac0sß... cosr, cos O+ l -—eosa:- 0 °-. 0 + .0 0 °°—cs9ı = (0
—cosa- 1 -—cosß- 0 ----. 0 °- 09. ..0
0 — cos ß 1 — c0SY 0 0 0
0-0... 00.0 rer. —cost- 1 -—cosz

—c050: 0°. 0.0 rer 0 »—cosy: 1

giebt. Damit nun von dem Gesagten eine Anwendung auf die Bestimmung der ortho-
schematischen Funktion

ER U Re 2 3 AR © PR. 20 TERBREE >)

möglich sei (ein Ausdruck durch artiosphärische Funktionen niedrigerer Ordnung), so
müssen uns die bekannten Ausdrücke für die Summe je zweier successiver Orthoscheme
nach einer Reihe wechselnder Additionen und Subtraktionen auf eine Summe, nicht
auf einen Unterschied, des ersten und (n—-2)-ten Orthoschems führen; deshalb muss n
gerade sein, d. h. die Dimensionszahl der Sphäre muss durch 4 teilbar sein.
Für die Tetrasphäre braucht man drei Argumente a, ß, y; die Relation (2), welche
sie verbindet, wird |
cos’a—+cos’B-cos’7=1l. . . ......60

Das zweite Beispiel der Formel (1) in $ 26 giebt

0 = fe, B, 7» «) = f(P, (2) ) AR (e)/(«) =) (a, P, y) — 2/(«) A) = (2) —+ 2,

oder:

Rd ten) = HS HL AHFD 2
N BE

SW. BIT IE ß,y) = NH fe +/A+2/0 2
hieraus folgt:

2. =FSM-A-FAP—-A- FM... ..
Für die Oktasphäre braucht man fünf Argumente «, ß, y, d, €; die Relation (2) wird:

1 — cos?& — cos? B — cos? y — cos? d — cos? e-- cos? @ cos? y —- cos? ß cos? d+ cos’ y cos? e

+ cos? d cos? @ —- cos? e cos® RL

Diese Gleichung hat das Eigentümliche, dass, wenn ihr a, ß, y, de genügen, dann auch
die Komplemente genügen werden. Man bemerke aber, dass 4 ( —a, 3 — ) = — A4(a,ß)

ist. Wenn also eine Lösung für das Orthoschem taugt, so giebt die mit den Komple-
menten ein unmögliches Orthoschem. Um Raum zu gewinnen, lasse ich in der folgenden
Formel die Trennungszeichen zwischen den Argumenten einer Funktion weg.

SlaBrdea)=- FW) Fleßrsa+Al—fÄ)FwIEaP)

Hrarar sed fen’ T/eeh— se

+ Sfr +5 Se! + HFAHLD)FLRBY)
4 f ( HOFER + WAS)

Ford TOLLE) Fer

2a) —2/WIJ) HF (Fl) +FR) +/0) +f
FH HEN 7
Setzt man alle fünf Argumente einander gleich, so wird die einzig mögliche
Lösung cos? a = = (1 — Y+) ‚a= 5 — I arctang 2; der Ausdruck für die okto-

sphärische Funktion reduziert sich auf

SERIE HRS HER AFA HS - 1ERH20R N.

II. Sollten in der Periode der 2n-sphärischen Funktionen zwei successive ver-
kehrt zusammenfallen, z. B. die erste und die zweite, so muss das 2n-te Argument dem
ersten, das (2n — 1)-te dem zweiten, u. s. f., endlich das (n +: 1)-te dem n-ten gleich sein.

=, 0

Die Argumente seien demnach ß,9,...r, ©, ©, r,...7,ß. Dem ersten ß gehe « voran.
Es müssen dann die zwei Gleichungen

4 (89,550, 0 ne) Eee ae
3, Ye ee (6)

erfüllt sein. Wird die erste so geschrieben
A,d,...,9, 9,1... e)=d,

so ist sie gerade die dritte Bedingungsgleichung. Es bleiben also nur zwei Bedingungen
zu erfüllen; und das (?n—+ 1)-te und (2n —+-2)-te Argument sind einander gleich. Man
hat also im ganzen nur n—+-1 verschiedene Argumente «,ß,Y,...&,r, ©, wovon zwei,
z.B. « und ®, in Funktion der n — 1 übrigen 8, 9,...&,» bestimmt sind. Die Glei-
chung (6) wird nach (1)

A(B,y,...1,9) A(1,&,...9,ß) — co? A(B,y,...1)4I(&,...9,ß)
= 41...) lan...) 20004...)

also
2'By,...Cn Ay...
2 r/ı >; __ ‘2 Und
cos’ = — - ———— , — 00820 = cos’n —. —
IN Terre) Ü (Ban ea)
und hiernach durch blosse Umkehrung der Argumentenreihe
IB, y...6N 4(0,...&,
92 — rs , > u Ba ie 2 NEN SIERT
cos” « a cos 2 « cos” ß Bor En’

was man auch auf einem etwas längeren Wege durch Substitution des schon gefundenen
© in der Gleichung (5) erhält.

Für die Tetrasphäre ist die Periode der Argumente « ßy yß a; die Bedingungen
sind — cos2a@ = — cos?2y = cos’ ß, also @« = y, und die Periode aßBa«ße« ist nur
ein besondererer Fall der schon oben behandelten Periode aßy«Pßy, für welche die
Gleichungen (3) und (4) bestehen.

Für die Hexasphäre ist die Periode der Argumente aßyddyBße; die Be-
dingungen sind

— cs2u = -—-—,-, —cos2d=--,-;

unter diesen ist:

u 1

SBrdön= -SASBrA FBF) HFRIEN AFFE

+ IHM -2 AH HF) +5:
SaBrdd)= - FF IH) + FARBEN) - FW) F(a Br)
+fleBy) + fr d DEEFZONIOERIIOFZO EEE AG! +,
= 2-20 2;

die Ausdrücke für die zwei noch übrigen Orthoscheme ergeben sich aus diesen durch
Vertauschung von «, ß, y, d mit d,y,ß, «

Sind alle Argumente einander gleich, so folgt aus — cos 2 « = cotg? « die Formel
cs2«e =

1— }2 oder cos« = 1:2 cos . und ınan hat

Were) tr 2 hast

9)
Pe
Für die Octosphäre sei die Periode der Argumente aßydsedyße,

cos? ß sın? d sin? ßB cos? d
— co2a= —; eg — cos2Ee = aL,

sin? 3— cos? z
Man findet dann zunächst einen Ausdruck für f (By deedy) und aus diesem Ausdrucke

für f (aß ydeed) und f(@a«ßy dee), von denen ich nur den letzten, der sich durch
Symmetrie auszeichnet, hersetzen will:

SKauaßydee) = — fl) Fa aByi)— FBF Brde) +) FlaBrde)

— f(aaB) dee) A4-Flepy)fF de) — SB yo)’ -H-flaußyd)+F(Bydee)
+) AH HEIL) HF) FBF FO)
(FB) HP) + HOF)? — 2flauB)—2f (ee)
— 2f(By) — AN FE) -FIF) -LFIFAI HF)?

—- SF) IFA LHLFAHFN) —7.

II. Wir betrachten noch den Fall besonders, wo alle Argumente einander gleich
sind. Bedeutet « das Argument, so hat man

€ + yl za Sn (! = 11 —4 a
+)

)
L}

u De ee 9
1 --Lcos’«

Ip

und, wenn man cos«a = I setzt
? 2c0s® :
Pan sin (n + 1) 9
n "7 (2 cos Gr sin @
Sollen A,, A,, Ay,» . An-ı sämtlich positiv, aber 1, = 0 sein, so ist 9 = - aeg die
einzig mögliche Lösung
Für ein verschwindendes ® ist
nn + | 7
A, = yn ’ ke 33
also
nn nn n+i1 oa n 1
Fr 3» -.) 3n — cos vs yn-i — an
7 7 7T 7T 7 7 R) a en, ER
Anz (7 EN 7) an €c085 an 0
$ 29. Ueber das Orthoschem f (7 kz ee. z ‚0,2a,e, 7’ 7’ 1% 7)

Satz. Wenn das m-te Argument eines n-sphärischen Orthoschems 2 a,

das vorhergehende und nachfolgende «, alle übrigen aber z sind, so ist das

n . .
OÖrthoschem (),) mal so gross, wie wenn sein erstes Argument « und alle

> } I. 4
übrigen — sind.

3
Beweis. Setzt man f(123...m(m+1)...n) = f“ (e), wenn (12) = (23)
—-— B4)=... = (m — 2) (m — N) = ee (m -- Dm)=a, mm -+-1))=2a,
(m +1) (m + 2))= o, (im +3) (m -+4)) = ((m+4)(m +5))= = (n—1N)n) = 7

2 . , aa aA\ _ PL. ; nn A\ _gpı
ist, und insbesondere / ( a ers 5) = f, (e), f(2 re =) — fu (a), so
hat man zunächst

A) (e),

weil die Ordnung der Grenzpolynome eines Orthoschems auch umgekehrt werden darf.
Wenn ferner der Kürze wegen

sin «

csa= ——
14 sa —1

gesetzt wird, so findet man leicht

Sm —1)m, 123...(m —2) (m +1)(m+2)...n) = fr? (a),
F (m (Rn —+1),123...(n —1)(m +2)(m-+3)...n) = fo (a),
fm +1) (m +2),123...m (m +3)(m-+4)...n)= fr: (a);

und hieraus
ud (HE AHELE OHREN... 2. + W

Für n=m ist fi («e) = fa (e); fürn =m—+1 ist fi, ı (a) = fAyı (e); wir müssen
also zuerst f» («) zu reduzieren trachten. Die Gleichung (1) giebt

af! (0) = 12f2- (u) + ft: (a)! af le). Br a

fürn=3 ist 5 (e)=f(2e)+f(e) — 1=3f(e) —1, hingegen f? («) =
1

SW+F(Z)—-1= flo) — z; also |
fs (e) = 3.f (e).
fürn=4is dfi («) = 12,5 ()+fQ D) df(e) = 4&f(a) df(«); weil aber
Af? (a) = f(a) df (e) ist, so folgt hieraus
fi (e) = 4? (e).

Wäre nun der Satz

Fehl) ER). ee fe ze AO)

für m = n — 2 schon bewiesen, so würde aus (2) folgen df! («) = nfa-:(u) Af(«) =
ndf» (e), und hieraus durch Integration

le) = nf? (e).
Da aber die Gleichung (3) für m = 3 und m = 4 schon bewiesen ist, so gilt sie

allgemein.
Wir kommen jetzt zur Gleichung (1) zurück. Wäre der Satz

fr (eo) = („)f? @

für i=n — 2 schon zugegeben, so würde aus der Gleichung (1) folgen

nn — 2?

Ba OB rn se] Van a m LFI)
also durch Integration
FE )=(})R @,

d. h. der vorige Satz würde auch für = n gelten. Nach dem frühern ist aber wirklich

EOER-ÜRO Rd",

d.h. der fragliche Satz gilt für © = m undö=m-1. Also gilt er überhaupt.

Wir machen nun von dem bewiesenen Satz folgende spezielle Anwendungen.

1.Fall, we = = — Es ist nach dem vorigen Satz fi! (3) = nf (7): da
aber in beiden Orthoschemen die ersten Argumente = und 3 ,‚ also supplementär sind,
alle folgenden hingegen übereinstimmen, so ist nach dem am Ende von $ 23 Gesagten

EG)+R GC) =) 28-5)

oder

2 2; | ;
und, da 72(5) ey sl endlich

nt Biene un le wel
I & Su a 3) 71.2.3... +1) (#)

T
2. Fall,woeae= en

4
anna a A\ gu N, 312 of7\ _ 1 r ap l(\_ 1
Gera) Fear)

ıst, allgemein

— Es ıst f\ (z) ei], (7) und nach $ 23 zugleich
v4

anna n 71 1 r
Are) re 1)

Wenn man rechte Argumente ausschliesst, so sind, für alle Dimensionszahlen über
4, die Formeln (4) und (5) wahrscheinlich die einzigen, worin sowohl alle Argumente
mit dem Kreisumfang kommensurabel, als auch die Werte der orthoschematischen Funk-
tionen rationale Zahlen sind. Der Beweis hiervon scheint mir aber sehr schwer. Die

1 ——— m — —— ——

ER

— 101 —

genannten Formeln sind übrigens leicht mittelst der regulären Polyscheme der n-fachen
Totalität zu verifizieren, indem man dieselben auf eine konzentrische Sphäre projiziert.
Bei der regulären Pyramide zerfällt dann das sphärische Kontinuum in n — 1 reguläre

Plagioscheme, deren jedes alle seine Argumente gleich z hat, und daher in 1.2.3...

gleiche Orthoscheme S$, (> - 7’ Ze 5) zerfällt. Dadurch ist die Formel (4) verifiziert.
Beim Reciprok-Paralleloschem (3, 3, 3,... 3,4) wird das sphärische Kontinuum in 2"
reguläre Plagioscheme mit dem gemeinschaftlichen Wert 3 aller Argumente geteilt;
jedes entspricht also gerade der Einheit der sphärischen Funktion, und da es nun in
1.2.3...n gleiche Orthoscheme S,, (3: r vor. ” 7) zerfällt, so ist hierdurch auch

die Formel (5) verifiziert.

Auch bei der Tetrasphäre weiss ich keine solche Formeln mit kommensurabeln
Argumenten und rationalem Funktionswert anzugeben, die nicht mit den regulären
Polyschemen der vierfachen Totalität im Zusammenhang wären. Da für diese Dimen-
sionszahl die grösste Mannigfaltigkeit stattfindet, so ist ihr der folgende Paragraph
eigens gewidmet.

$ 80. Rationale tetrasphärische Orthoscheme, deren Argumente rationale Teile
von nr sind.

Aus den allgemeinen Formeln (4) und (5) des vorigen Paragraphen folgen sogleich:

‚(an a n\_ 2 na nan\ 1 (2)

’$ 55-50 Sr FH) ee =

Die für die Periode aß y«ßy bei der Tetrasphäre in $ 28 gefundene Bedingungs-
gleichung (3), cos’ «—+ cos’ßB + cos’y = 1, hat, abgesehen von Permutationen, nur

i £ = n ann Jr na an :
zwei rationale Lösungen: ( Een ) und ( 5 5) Jene giebt ausser (2) noch

43 3
re en a ee ae te NO)
diese giebt
SCH iR 1) ee ee
HEBNel, saxaaiseee
en ce

Da nach $ 23 die Gleichung
ERS HeEn =

stattfindet, so folgt aus (6):

|

)

3) 55 ER

22)

Durch Anwendung von $ 29 ergeben sich aus (+) und (7) die Formeln

nn a 1

(535) er a
Izına nn 101

I 35) = vo’ ee)

Heer srresnerasal)

1% j

In irn In __ 4191
57 )=-m

er Be 1 _ 49
U a 150° 150°

nimmt man hier wieder das erste Polynom entgegengesetzt, so erhält man

de U Eau reren,

150°

Mit Weglassung von (7) hat man also im ganzen 10 kommensurable tetra-
sphärische Orthoscheme mit kommensurabeln, im ersten Quadranten befindlichen Argu-
menten. Ich zweifle schr, ob es ausser diesen noch andere gäbe, und diese stehen alle
mit den regulären Polyschemen (3, 3, 3), (3, 3, 4), 3, 3, 5), (3, 4, 3) Im Zusammenhang.
\Wendet man die in $ 27 gezeigte Periodenbildung auf die vorliegenden Funktionswerte
an, um daraus neue zu finden, so bekommen diese inkommensurable Argumente.

Um überhaupt keinen Fall zu verschweigen, wo orthoschematische Funktionen
finite Ausdrücke haben, wollen wir auch noch mit der Periodenbildung zunächst an der
Tetrasphäre das Mögliche versuchen.

2

Setzt man s df(s,B,y) sada-—+-bdß--cdy, so ist

sin « cos z
COS (t = SE ee — csb = — re ut EOS

COS COS PCOs y
in? a — cos? ß Ysin? a — cos? 3 }sin? 3 — cos? zy Yin? 3 — cos? y

cos esin y

A

— 193 —

Vergleicht man diese Ausdrücke mit den Relationen (6) und (7) in $ 27, so ergiebt sich

. E 7 7 . . .
die Periode a, ß, y,-, — a, b, — c. Demnach sind oben schon Perioden mit lauter

kommensurabeln Gliedern vorgekommen, nämlich: 1. -

T } ®.
nt wohin die

T T 7
3 4 3’4°
Formeln (2) und (3) gehören; 2. ” MW ie wohin (4), (5) und (6), und 3.

z nn a 2a az 2

5’75°5’757 5’75, wohin (10) und (11) gehören. Die Argumente in (1) und (8)

geben dagegen Perioden, worin inkommensurable Glieder sich finden; wird cos24 =

4
. R ı a a nn na an 0 Ir 2
gesetzt, so sind sie: Sa ), 24,4 und u u A, as A; man erhält
daraus die neuen Funktionswerte:
zn y) 12 ı p,4 S 4 23 4
25) = 5 +3 24) = — +2 0,fh2N=— +2:
sG& 2” #—4)= # _ 1,24
353 300 yigg
nn x 391 Iı
SIEH - ri Nr
1 9x q AO1 yz
ISEhg h5) nn
Ir en 73 1 23
hy > 07 3

r B an nr Tr RT rn T 7 Sr
S$ 81. Ueber das Orthoschem A Re a ee 3) und einige

mit diesem und dem in $ 29 betrachteten in Beziehung stehende Sätze.

Satz. Wenn in einer n-sphärischen orthoschematischen Funktion das
(m — 1)-te, m-te, (m +1)-te und (m + 2)-te Argument der Reihe nach

ande : |
. a, d, nr alle übrigen aber 7 sind, so ist die Funktion (" n ) mal so gross,

. . a a
wie wenn das erste Argument «, das zweite q und alle folgenden .,
Beweis. Wird die zuerst genannte Funktion mit 9% («) bezeichnet, so muss

folgerecht die zweite durch g? («) dargestellt werden. Setzt man

sınd.

— 104 —

und lässt f,” («) dasselbe bedeuten wie in $ 29, so findet man

dm (a) = 123 (a) HI (alas (a),

also naclı dem Satz des angeführten Paragraphen

id) + )HWra= (tz War,

oder, da d m (a) = fx... (a) d.f (e) ist, durch Integration

„ n—|1
=’,

was zu beweisen war

. . q . T Tr 7 Tr T T
Die in $ 30 behandelten Perioden + —» +,» „7

und .,. h arc cos (}}
33 AN u 4)’

3303

1 1 l i ? i ; :
arc cos|, ), „ arccos|, sind besondere Fälle zweier allgemeiner Perioden, welche so
definiert werden:

1. Folgen n— 1 Argumente, deren jedes gleich x ist, auf einander,

l . . [}
und man setzt cos2) = „. so werden jene Argumente durch die drei darauf

folgenden A, 24,4 zur Periode ergänzt.

T . 7 .
2. Folgen » — 2 Argumente . und eines , auf einander, und man setzt

3 4
T . ..

; zur Periode ergänzt.
Die Beweise hierfür sind aus $ 28, II und $ 27, (6) und (7) zu entnehmen.

Zur Bestimmung der Funktionen, welche diesen Perioden entsprechen, führer
ausser dem Satz von $ 29 und dem ersten dieses Paragraphen folgende Sätze.

| :
cos u = Y -, so werden jene Argumente durch u, u,
N L) oO D

I. Sind alle Argumente eines n-sphärischen Plagioschenss 2 «, dasselbe also
hen) fen) ’
regulär, so zerfällt es von seinem sphärischen Centrum ausin1.2.3...n Orthoscheme,

deren jedes als erstes Argument « und die n — 2 folgenden gleich £ hat und daher der
Funktion / («) entspricht.
Wird nun hierauf die Gleichung (1) des $ 24 angewandt, so sind die dortigen
Sinzı Aurch Zn + VD! farı (e)
pe il, NONE

22

zu ersetzen, wodurch man erhält
far = SAN Alan @

wenn die Koeffizienten A durch tang x = 38 A,r”'*' definiert sind. Wenn also

cos 21 — > ist, so hat man
n
San (4) -— A, fen-: (2) = A:fm-ı (2) -F vun (— 1)" A,„.

II. Sind die Stücke eines n-sphärischen regulären Polyschems nach dem Cha-
rakter (3,3...3,4) geordnet und alle Winkel zwischen je zwei angrenzenden Peri-
schemen 2«, so zerfällt dasselbe von seinem sphärischen Centrum aus in 2”! con-
gruente Plagioscheme; von den n Perischemen eines solchen bildet eines (die Basis) mit
allen übrigen das Argument a, während je zwei von diesen zu einander orthogonal sind.
Ein solches Plagioschem zerfällt daher von seiner Spitze aus in (n — 1)! Orthoscheme,
bei deren jedem die zwei ersten Argumente a, re die n— 3 folgenden sämtlich = sind.

Das erwähnte Plagioschem, durch die n-sphärische Einheit gemessen, beträgt also
(n— VD! (ea).

Wird nun hierauf der Satz des $ 24 angewandt, so hat man

Frrı = An)! gnrı (@)
2 ; p
PAS N — a) Zn— 2: —- N'gyn-.: +2.)

(2m)! a In
= @irıy gerne: («) A en
zu setzen, und man erhält

Janztı (@) a ee 1) A; Yın-2, («) En Gr 1)’ On

=0

“,

wenn die Koeffizienten A und (' durch die Gleichungen

n=— 8 n—= non
tang a = I Asa, "2 C, x"
definiert sind.
Ist cos ı = V;; so hat man
Ian (a) = Ar gina) — Augen) — (— 1)" 0.

ne . 44
Für n= 2 wird u= z;also,dA=-, ern

BE N. ala). Dr
(5) -/(4 re 7) = Sf (5) 4 m’

was mit der Formel (3) in $ 30 übereinstimmt.

$ 32. Ueber sphärische Perischeme.

Wir haben bisher nur solche Integrale | dedydz..„(e@’+y?-+--<1l,p >0,

p, > 9,...) betrachtet, wo die Zahl der Grenzpolynome p der Dimensionszahl n gleich
war. Es liegt uns also noch die Untersuchung der zwei Fälle ob, wo jene Zahl der
homogenen Grenzpolynome kleiner oder grösser als n ist.

Der erste Fall bietet gar keine Schwierigkeit dar. Sind nämlich nur n — m
homogene und lineare Polynome p,, Pg,:--?n m mit n Variabeln gegeben, welche das
Integral

| azdyaz... II DEP Dar | axaydz...
een ) en
pP >09, pP >0,...Pa-m>0 ZEN YV > Var

begrenzen, so braucht man nur die Variabeln orthogonal so zu transformieren, dass die
gegebenen Grenzpolynome nur n — m derselben enthalten, und dann das in $ 25 ge-
zeigte Verfahren anzuwenden, um

I Drs-Pesas Dem ale (Di Terie Mu)

zu bekommen, wodurch das vorgelegte n-fache Integral mit bloss a» — m Grenzpolynomen
auf eine (n — m)-sphärische plagioschematische Funktion zurückgeführt ist.

Im zweiten Fall, wo die Zahl der Grenzpolynome des n-fachen Integrals die
Dimensionszahl n übertrifft, nennen wir das entsprechende Stück des n-sphärischen
Kontinuums ein n-sphärisches Polyschem und denken uns die Anordnung seiner
Perischeme in ähnlicher Weise gegeben wie bei einem linearen Polyschem der (n — 1)-
fachen Totalität. Wie nun dieses nach $ 11 in lauter Pyramiden (n-Scheme) zerlegt
werden Kann, welche eine gegebene (innere) Lösung zur gemeinschaftlichen Spitze haben,
gerade so kann auch jedes n-sphärische Polyschem in lauter Plagioscheme zerlegt werden.

Wenden wir jetzt $ 22 an, um das Differential der »-sphärischen polyschematischen
Funktion zu bestimmen, und messen der grössern Einfachheit wegen alle vorkommenden

— 107 —

Argumente oder Winkel je zweier Polynome durch den Quadranten, und die (n—2)-
sphärischen Perischeme durch das (n — 2)-sphärische Orthoschem mit lauter rechten
Argumenten, so bekommen wir ein Aggregat von Produkten je eines plagioschematischen
(n — 2)-sphärischen Perischems und des Differentials des entsprechenden Arguments.
Von den Grenzpolynomen jedes durch die Teilung entstandenen Plagioschems ist eines
(») mit dem gegebenen Polyschem gemein; die übrigen (g) scheiden dasselbe von den
angrenzenden Plagioschemen; unter seinen (u — 2)-sphärischen Perischemen können wir
daher innere, welche je zwei Gleichungen, wie g=0, q =0, und äussere, welche
je zwei Gleichungen, wie p=0, q= 0, entsprechen, unterscheiden. Die innern Peri-
scheme sind dreien oder mehreren Polynomen g, worunter nur zwei unabhängige sind,
gemein, weshalb die Summe der entsprechenden Argumente, wie z.B.

a -N)+/; -T)+2la,- A )+/2@,—g):

immer = 4, und daher die Summe ihrer Differentiale gleich Null ist, so dass die be-
treffenden Glieder des Aggregats sich aufheben. Einem äussern Perischem (p = 0, q =)
entsprechen entweder zwei supplementäre Argumente / (p,q) und / (p, —gq), deren
Summe 2, das Differential also 0 ist, so dass die entsprechenden Glieder des Aggregats
sich aufheben; oder, wenn qg nur von zwei Polynomen p, p abhängt, so entsprechen
demselben äussern Perischem die Argumente / (p,gq) und /(— q,p'), deren Summe
/. (p, p) ein Argument des gegebenen Polyschems ist. Denkt man sich die be-
treffende Reduktion des Aggregats vollzogen, so wird man im allgemeinen mehrere
Produkte finden, welche dasselbe Differential eines Arguments des Polyschems zum
Faktor haben, und dann wird die Summe der andern Faktoren ein ganzes (n — 2)-
sphärisches Perischem des gegebenen Polyschems sein, indem mehrere durch die Teilung
entstandene plagioschematische Perischeme sich zu einem polyschematischen zusammen-
setzen. Eine solche Zusammensetzung findet indes erst für n>5 statt. Diese An-
deutungen, welche zur Vermeidung von Weitläufigkeit die Stelle eines vollständigen
Beweises ersetzen sollen, berechtigen zu dem Schlusse:

Das vollständige Differential eines n-sphärischen Polyschems ist
gleich der Summe der Produkte aller seiner (n— 2)-sphärischen Perischeme
mit den Differentialen der entsprechenden Argumente.

Wären nun die Argumente wirklich alle unter sich unabhängig, so könnte man
die (n — 2)-sphärischen Perischeme als partielle Differentialkoeffizienten des n-sphärischen
Polyschems betrachten. Dies gilt indes nur für die Tetrasphäre. Für die Trisphäre
ist die Zahl der Argumente zu klein, für n >4 ist sie zu gross.

Ist nämlich »» die Zalıl der Winkel eines Kugelvielecks, so ist bekanntlich 2m — 3
die Zahl seiner wesentlichen Bestimmungsstücke. Ueberhaupt ıst die Zahl der wesent-

— 198 —

lichen Data eines n-sphärischen Polyschems derjenigen für ein lineares Polyschem der
(n — 1)-fachen Totalität gleich, wenn die Anordnung der Perischeme bei beiden
übereinstimmt. Wir wollen daher diese letzte Zahl zu berechnen suchen.

Ist g die Zahl aller („ — 1)-fachen linearen Kontinuen, welche ein Polyschem
der n-fachen Totalität begrenzen, und gehen Ah derselben durch ein erstes Eck, A’ durch
ein anderes, A’ durch ein drittes, u.s. f.; so sind von den h Polynomen, welche dem
ersten Eck entsprechen, h — n von den übrigen abhängig, was für h — n Bedingungen
zählt, u.s.f. Man wird sich bald überzeugen, dass keine von diesen Bedingungen über-
flüssig ist, und dass alle zusammen gerade hinreichen, um die Anordnung der Teile des
Polyschems auszudrücken. Da nun n die Zahl der wesentlichen Elemente einer linearen

Gleichung mit n Variabeln, und n n (n—-1) die Zahl der Data ist, durch welche irgend

ein orthogonales System der Variabeln bestimmt wird, so bekommen wir
ng — (h—n)— (W —n) — (Ü" —n) — ete. — 2 n(n-H1)

als Zahl der wesentlichen Data des Polyschenis, d. h.:

Die Zahl der Bestimmungsstücke eines linearen Polyschems der n-fachen
Totalität ist gleich der n-fachen Summe der Zahl aller (n— 1)-fachen Peri-
scheme und derjenigen aller Ecken, vermindert um die Summe der Ecken-

zahlen eines jeden (n — 1)-fachen Perischems und um n(n+1).

Wenn für n=3 die Zahlen der Ecken, Kanten und Vielecke eines Polyeders
mit Ag, A), @A, bezeichnet werden, so ist die Eckenzahl jedes Perischems oder Vielecks
seiner Seitenzahl gleich, die Summe dieser Zahlen also auch gleich der Summe der
Zahlen der durch jede Kante gehenden Perischeme, d.h. gleich 2a,; demnach ist die
Zahl der Data des Polyeders gleich

3 (a, +a,) —- 2a —6=I3(m —-— ya +, — Ma a.

Es folgt hieraus, dass ein räumliches Polyeder durch seine Kanten gerade bestimmt ist,
ebenso ein tetrasphärisches Polyschem durch seine Seiten oder auch durch die Argu-
mente, welche von je zweien sphärischen Vielecken an der gemeinschaftlichen Seite
eingeschlossen werden.

Denken wir uns alle Kanten eines linearen Polyschems der vierfachen Totalität
gegeben, so ist nach dem vorigen jedes der polyedrischen Perischeme vollständig be-
stimmt. Da aber jedes Vieleck zweien Polyedern gemein ist, so sind unter seinen
Winkeln die, welche die Dreizalıl übersteigen, doppelt bestimmt. Beschreibt man jetzt
um irgend ein Eck des gegebenen Polyschems eine Tetrasphäre, so schneidet diese die
nötigenfalls verlängerten Räume der in jenem zusammentreffenden Polyeder in einem

— 109 —

das Eck charakterisierenden tetrasphärischen Polyschem, in dessen Umschluss bereits
alle Kugelvielecke vollständig bekannt sind. Daher ist nach dem obigen auch das tetra-
sphärische Polyschem selbst vollständig bestimmt, namentlich seine Argumente, welche
mit denen des ursprünglichen linearen Polyschems zusammenfallen. Also ist auch dieses
in allen seinen Teilen wenigstens hinreichend bestimmt.

Führt man auf eine Kante desselben einen normalen Raum, so schneidet derselbe
die in der Kante zusammengrenzenden polyedrischen Perischeme in einem gewöhnlichen
Körperwinkel, und dieser wird durch das vorhin beschriebene Verfahren von beiden die
Kante begrenzenden Ecken her zweimal bestimmt. Inwiefern aber hier doppelte Be-
stimmung der Stücke des genannten Körperwinkels stattfindet, bin ich nicht imstande,
zu entscheiden.

Die vorige Erörterung berechtigt uns nur, zu sagen, dass ein lineares Polyschem
der vierfachen Totalität durch seine Kanten immer wenigstens bestimmt ist; und wir
dürfen noch beifügen, dass, wenn die zweifachen Perischeme nicht lauter Dreiecke sind,
dann die Zahl der Kanten diejenige seiner wesentlichen Bestimmungsstücke gewiss über-
trifft. Es ist aber sehr wahrscheinlich, dass die Gleichheit beider Zahlen nur da
stattfindet, wo sie unmittelbar evident ist, beim Pentaschem, und dass hingegen bei
jedem andern linearen Polyschem der vierfachen Totalität die Zahl der Kanten grösser
ist als diejenige der wesentlichen Bestimmungsstücke.

In Ermangelung eines strengen Beweises kann man diesen Satz im einzelnen
2. B. durch die in $ 17 für die regulären Polyscheme der vierfachen Totalität gegebenen
Zahlen bestätigen.

Für höhere Dimensionszahlen über 4 ist dasselbe nach einer ganz natürlichen
Induktion in noch grösserem Masse zu erwarten.

Tragen wir nun diese Betrachtungen auf sphärische Polyscheme über, deren
Dimensionszahl n grösser als 4 ist, indem wir zugleich nach Art der reciproken Be-
ziehung die Ecken mit den (n — 1)-sphärischen Perischemen, überhaupt die m-sphärischen
Perischeme immer mit den (n — m — 1)-sphärischen vertauschen, so sehen wir, dass die
Zahl der (n — 2)-sphärischen Perischeme, oder, wenn man will, der daran liegenden
Argumente, nicht kleiner als die Zahl der wesentlichen Bestimmungsstücke des n-sphä-
rischen Polyschems sein kann, und finden es wahrscheinlich, dass mit Ausnahme des
Plagioschems jene Zahl immer grösser ist als diese. Während also ein tetrasphärisches
Polyschem immer durch seine Argumente gerade bestimmt ist, so ist dagegen höchst
wahrscheinlich von da hinweg jedes polysphärische Polyschem durch seine Argumente
mehr als bestimmt.

So wie in $ 24 jedes perissosphärische Plagioschem durch artiosphärische von
niedrigerer Ordnung ausgedrückt ward, ohne dass man einer Berechnung neuer Argu-
mente bedurfte, so vermute ich, dass im allgemeinen jedes perissosphärische Polyschem
durch artiosphärische Polyscheme niedrigerer Ordnung, von denen keines neue Argumente

— 110 —

hat, wird ausgedrückt werden können, ohne dass man eine Zerfällung des gegebenen
Polyschems in Plagioscheme vorzunehmen braucht. Wenn wir hierüber eine Weile
näher eintreten, so nehmen wir der Einfachheit wegen auf jeder Polysphäre das Orthoschem
mit lauter rechten Argumenten als Einheit des Masses an, also z. B. den Quadranten
als Einheit der Winkel oder der Argumente.

Das trisphärische Polyschem oder das Kugelvieleck ist bekanntlich gleich der
Summe seiner Winkel minus seine doppelte Seitenzahl plus 4. Sind 9, Par ---Pm die
Grenzpolynome, welche der Reihe nach den Seiten entsprechen, so kann man diesen
Satz durch die Formel

SS (Pr Pa) = (9m) + DEP) tt (Pa dm) +S(Pm Pi) — 2m +4
oder kurz durch
I (p,pPıP',..J=4—-2 (2— (pr Eck) }
ausdrücken.

Satz. Sind 9,9,P',P ',... die Grenzpolynome eines pentasphärischen Polyschems
I (m p,P',P ,P'’,...), und bezeichnet f, (9,P,P',P»' ,... Eck) das tetrasphärische Poly-
schem, welches von allen ein Eck bildenden Polynomen begrenzt wird, f(p,p Vieleck)
das disphärische Plagioschem oder das von zweien Polynomen »,p, welche ein im
Umschluss vorhandenes sphärisches mn-Eck bestimmen, eingeschlossene Argument, so ist

wenn D,,d,, Dy,b, die Zahlen der Ecken, Seiten, Vielecke, tetrasphärischen Perischeme
des Polyschems f, bedeuten.

Beweis. Indem wir nach und nach vom Einfachern zum Zusammengesetztern
überzugchen beabsichtigen, setzen wir zuerst ein Polyschen, begrenzt von den Polynomen

P,P, I» Tar--- (m, und zwar so, dass unter den mit q bezeichneten nur 3 unabhängige

sind, und alle zusammen innerhalb des trisphärischen Perischems (P=0, p=0) ein
Kugelvieleck bilden. Man wähle innerhalb desselben eine beliebige Lösung und lege
durch diese, jedes Eck des Vielecks und die zwei übrigen Ecken des Polyschems die
Polynome r,,r,,...?3, welche das ganze in m Plagioscheme zerschneiden. Unter diesen
Polynomen r werden dann nur zwei unabhängige sein, und ”, wird zugleich mit q,, Q>,
ferner r, zugleich mit 9,,95, u. 8. f., endlich r„ zugleich mit q,„,g, verschwinden. Für
eines dieser Plagioscheme hat man nun z.B.

JS (81,99, 9”... )=— 28 —f, (99,99... Eck) +2 (m — 2) (2—f(p,p’ Vieleck)) +16
= Z/, (m VıP" 9"... Eck) — 2 Im — 2) f(p,y Vieleck) +4 m — 8b, — 8b, +16,

(1)

— 11 —

fi (P,p», 9 Van r,) =fi (Pa Na r,) Ah (»: Ir Fin — 7)

+ (Prrtum—rn) th (Prt) th (Bra, —rı)

iz 2/(P, p) =E2J(h, qı) u 2/(P q,) —2/(P, r)—2/(P, =. r,)

= 2/(» 12)—2/(P, Zu r,) = 2/4; Im) u 2a, u r,) Ku (tm == r,) +16, (2)

Man ersetze hier 4,,”., — r, durch 9,71, — ?2, durch 9,,798,— 75, u. 8. f., endlich
durch 9, ’m- 15 — "m, und summiere. Da alsdann

Sf, (P,q, N;-1, 7 )=f, (P, As Alar-«- Am Eck),
z/,(Pp rn -1»-)=4f/(P,p)

(PR —n)+f(P 9 gr) = (PP, %),
J(P,—-r)+/(Pr)=2

Ss —r)+tS or) SR)
z/(n;-,—r)=4

ist, so folgt
J (Pa. (LEERE )=f (Palo. m) tSı (Dr 9 Aa m) + ZI (PP, 9 +1)
—2(m—2)f(P,p) -22/(P,a)— 28/vga) 28/4) +8m—8 .. 8)

Die Polynome p,9,,Q03;---Qm,; welche zusammen nur 4 unabhängige Variabeln
repräsentieren, begrenzen für sich allein ein tetrasphärisches Polyschem, das in Beziehung
auf die Anordnung seiner Stücke einer räumlichen m-seitigen Pyramide zu vergleichen
ist. So wie nun im Raume jedes Polyeder von einem innern Punkte aus in lauter
Pyramiden zerlegt werden kann, welche diesen Punkt zur gemeinschaftlichen Spitze und
die vieleckigen Flächen des Polyeders zu Basen haben, so kann auch das gleiche mit
jedem tetrasphärischen Polyschem geschehen. Die Polynome, welche dasselbe begrenzen,
seien 9,9,P ,P ,... und mögen, wenn auch explizite 5 Variabeln darin vorkommen,
doch wesentlich nur 4 unabhängige Variabeln repräsentieren. Wir können uns dann
eine besondere Art von pentasphärischem Polyschem, f, (P,P,p,»',P",...), denken,
worin die Gleichung P= 0 gleichsanı als Basis ein tetrasphärisches Polyschem von all-
gemeiner Natur, und die Gleichungen = 0, pP =0,p =0, p' =(,... die zugehörige
Spitze darstellen. Wird die Basis von irgend einer innern Lösung aus in pyramiden-
artige tetrasphärische Polyscheme zerlegt, so wird dieser Zerlegung auch eine des penta-
spliärischen Polyschems entsprechen, und für jeden Teil dieses letzten eine Gleichung
wie (3) bestehen. Bei der Summierung dieser Gleichungen hat man dann

2}; (P,q» N}
(Fl (PP

z2/, (PP, GG )= 5 di (PRP»-4u)+f(Pr,sd,—-ıu)+(Prp',da,—dq) +ete.),

— 112 —

wenn die Polynome p,9,p',... zusammen ein Eck der Basis bilden, also nur 3 Va-
riabeln repräsentieren, und die Polynome q,9,g',... den durch dieses Eck gehenden
Teilungen entsprechen und daher nur 2 Variabeln repräsentieren; wenn ferner das dem
Aggregat vorgesetzte Summenzeichen sich auf alle Ecken der Basis bezieht; also endlich

= Zf, (P,p,p,p',... Eck der Basis);

I(Pd+/(B-d=2 also ZE/(P,gq.) = der doppelten Zahl der Basis = Zum;

I» d-+f(eP, -QO=/(P,p), wenn das Paar Gleichungen p=0, pP =0 einer
Seite der Basis entspricht;

3223/(q4,9:+1) = der vierfachen Zahl der Ecken der Basis;

also zuletzt, indem man die Zahlen der Ecken, Seiten und Vielecke der Basis

mit C9,C,,c, bezeichnet und die Glieder — 8c, +8c, —8c,= — 16 setzt,
I (Ppr,Pvs.-)=Nh(mPıP vs...) +Z&f, (P,pp',P',... Eck der Basis)
— 2 &(m —2)f(P,p) — 28f(p,p Seite der Basis) -H-2 2m —8. . . 2.2...

Sind endlich P,P', P',P", P'’,... die Grenzpolynome eines ganz beliebigen
pentasphärischen Polyschenıs, so kann dieses von irgend, einer innern Lösung aus in
solche Polyscheme geteilt werden, wie das, welches wir soeben betrachtet haben.
Werden dann die Polynome, welche die Teilung bewirken, wie vorhin, durch p be-
zeichnet, so hat man bei der Summation der Gleichung (4):

&f,(mp',P',P,... Basis) = dem totalen tetrasphärischen Kontinuum = 16,
ZzEf,(P,9,p,P ‚...EckderBasıs)=F/f, (P, P', P’, P”,... Eck des pentasph. Polyschenss),
F(PmM)-+J(P,—-»)=/F(P,P Vieleck des Polyschems);

ferner, wenn die Polynome 9,p9,»',... einer und derselben Seite des Polyschems ent-
sprechen, also alle zusammen nur zwei Variabeln repräsentieren,

Sm-)+fh,- Pr) te, Pr )rete—4,
folglich
ZN /f(p,p Seite der Basis) = der vierfachen Seitenzahl des pentasph. Polyschenss.

Wenn man endlich die Zahlen der Ecken, Seiten, Vielecke, tetrasphärischen Perischeme
des gegebenen pentasphärischen Polyschems mit b,,D,, ba, b, bezeichnet und die Sunm-
mation der Gleichung (4) ausführt, so erhält man

BP, PSE DS )ESn BP, Ps Eck)
— 2 2&(m -2)/(P, PP Vieleck) +4 2m — 8b, -- 81, 4-16,

—- 13 —

wo m die Zahl der Seiten eines Vielecks bezeichnet. Da db, —b, +b, —b, = 0 ist, so
kann man dieser Gleichung auch die Form

(P,P,P",P",P",...)=Zf,(PP,P",P'",...Eck) —8,
— 2 8°(m — 2) f(P, P' Vieleck) +4 (Em — 2 0,) +16
—28(m —2) 12 — / (P, P' Vieleck))

— 218—-/,(P P,P',P",... Eck)| + 16

geben, wo die erste Summe sich auf alle Vielecke, die zweite auf alle Ecken des ge-
gebenen pentasphärischen Polyschems erstreckt. Diese Gleichung stimmt mit der zu
beweisenden (1) vollkommen überein. |

So wie nun die Formel für das Kugelvieleck den Euler’schen Satz a, —a, -t+a,=2
giebt, wenn man sie auf das durch Projektion eines Polyeders auf eine Kugelfläche ge-
bildete Netz anwendet, so führt auch die Formel (1) auf den Satz , — a, +4, — 13 +a, =2,
wenn man sie auf das pentasphärische Netz anwendet, welches durch Projektion eines
linearen Polyschems der fünffachen Totalität entsteht.

Das gegebene Polyschem (%°) habe «a, Ecken, a, Kanten, «a, Vielecke, a, Po-
lyeder, a, vierfache Polyscheme;

irgend ein vierfaches Perischem desselben habe db, Ecken, b, Kanten, b, Vielecke,
b, Polyeder;

ein Polyeder desselben habe c, Ecken, c, Kanten, c, Vielecke; in diesem grenzen
2 vierfache Perischeme zusammen;

ein Vieleck habe d Ecken, also auch d Seiten; es sei gemein e Polyedern, also
auch e vierfachen Perischemen;

eine Kante hat immer 2 Ecken; sie sei gemein f, Vielecken, /, Polyedern,
Ja Perischemen;

ein Eck sei gemein g, Kanten, y, Vielecken, 9, Polyedern, 9; Perischemen.

Dann ist
zb, = 29, Zb =if, Zb,=2e ZI, =2u,
2, eu, 246, = Zf. 26% >>
Su. == 24, sd ef

a
24 =

|

u bb, +, —-b=-0 0-0 .teo=3 hf tms
Ihm I =.

— 114 —

Wird nun die Gleichung (1), worin m durch d zu ersetzen ist, über das ganze
pentasphärische Netz summiert, so geben je diejenigen /, zusammen, welche einem und
demselben Eck des Netzes entsprechen, den Wert des totalen tetrasphärischen Kon-
tinuums oder 16; aus Zf,(p,P,p',p ,...Eck) wird daher 16...

| Alle f (p,p Vieleck) zusammen, welche einem und demselben Vieleck entsprechen,
geben 4. Aus —2 2(d—2)/(p,p Vieleck) — 82(d—2)= —823d+ 16a,

Was das folgende Glied 4 &d betrifft, so wird im ganzen jedes d eines Vielecks
so oft gezählt, als vierfache Perischeme dieses Vieleck gemein haben, also e mal. Aus
4 &d wird demnach 4 Z&de. Da aber de auch das Produkt der Zahl der Polyeder,
welche ein Vieleck gemein haben, mit seiner Seitenzahl ist, so wird Zde auch erhalten,
indem man die Seitenzahlen aller Vielecke eines Polyeders addiert, was 2c, giebt, und
dann die so von allen Polyedern erhaltenen Zahlen summiert; folglich ist Zde=2Xe..
Aus 4 2 d wird also zuletzt 8 I c.. Ä

Die Summen der noch übrigen Glieder ergeben sich unmittelbar. Da nun 32 das
Mass des totalen pentasphärischen Kontinuums ist, so erhält man:

32—= 16a, — 83 d+16, +8 20 —83, —8:l,+16a,.. . . (0)
Nun ist
— 2d-+- 2! = —-!h +!h = :h- 2%:

bu, +:b,=!:b +! =2!f, +2a,.
Demnach verwandelt sich die Gleichung (5) in

32 = 16ba,+1607,--16a, — 16a — 16a,
oder
a. —- ht — a, ba, = 2,

was zu verifizieren war.

Das stufenweise Verfahren, welches wir bei der Konstruktion des Ausdrucks
eines ganz beliebigen pentasphärischen Polyschems befolgt haben, wird desto länger und
verwickelter, je höher die Ordnung der Perissosphäre steigt, und ist wohl kaum einer
Verallgemeinerung fähig. Wendet man dasselbe noch auf das heptasphärische Polyschem
an, wobei man, vom Plagioschem ausgehend, noch fünf andere Stufen durchlaufen muss,
so gewähren die gefundenen Ausdrücke für das trisphärische, pentasphärische und hepta-
sphärische Polyschem eine hinreichende Induktion, um aus denselben auf die Form des
allgemeinen Ausdrucks für irgend ein perissosphärisches Polyschem zu schliessen. Wir
setzen nämlich für ein (2n-+ 1)-sphärisches Polyschem den Ausdruck

Feet LS Ahr Ban N: 1 N Asmrı fen am + 4- FA. _ı fa Arnzı- (6)

Die im allgemeinen Glied angezeigte Summation erstreckt sich auf alle (2m +1)-
sphärischen Perischeme; einem jeden derselben komnit eine ganze (positive oder negative)
Zahl A,„ +. eigentümlich zu, welche nur von der Zahl und Anordnung der Teile dieses
Perischems, keineswegs aber von seinen Argumenten abhängt; und das mit dieser Zahl
multiplizierte f»„_.„ bedeutet dasjenige (2n — 2 m)-sphärische Polyschem, welches von
allen Grenzpolynomen, deren Verschwinden das (2m -+-1)-sphärische Kontinuum des be-
trachteten Perischenis bestimmt, gebildet oder umschlossen wird. Es ist z. B. immer
4, =1, ferner A, =4 — die doppelte Anzahl der Ecken des betreffenden Kugelvielecks
(trisphärischen Perischems). Die Richtigkeit der Form des Ausdrucks (6) muss ebenso
durch Differentiation bewiesen werden, wie es in $ 24 für die Gleichung (1) geschah;
wir wollen uns deshalb nicht länger dabei aufhalten, sondern gehen sogleich zur Be-
stimmung der Integrationskonstanten d,,;ı über. Lassen wir alle Grenzpolynome des
Polyschens f; „+ ı , mit Inbegriff des Vorzeichens, koinzidieren, so wird dasselbe gleich dem
halben (2n —+-1)-sphärischen Kontinuum, also gleich 2°”; ebenso wird fi „_.. =" "’"';
man hat also, wenn 2 A, die Zahl der Ecken des Polyschems bezeichnet,

De — De I ee =>, a Pe: RER en en 2.3 Asa

Die mit A bezeichneten Konstanten sind also immer durch Rekursionsformeln zu be-
stimmen, und hiermit ist unsre Aufgabe vollständig gelöst. Wahrscheinlich ist (— 1)"
das Vorzeichen von A.„;ı; doch sche ich mich ausser Stand, diese Vermutung zu be-
weisen.

Am Ende dieses Paragraphen will ich noch eine merkwürdige Eigentümlichkeit
tetrasphärischer Polyscheme erwähnen. Werden auf der positiven Seite eines jeden
Grenzkontinuums eines gegebenen tetrasphärischen Polyschems f, Radien norınal darauf
gezogen, so bestimmen deren Endpunkte ein zu jenem reciprokes Polyschem F\, dessen
Ecken, Seiten, Vielecke resp. den Vielecken, Seiten, Ecken von f, entsprechen, und
namentlich ist jedes Argument von F, das Supplement der entsprechenden Seite von f,,
und umgekehrt. Wenn nun irgend ein Argument von f, mit «, und die Seite, an welcher
es liegt, mit & bezeichnet wird, so ist

afp= Fra, dr, =—2(2—-)a°t;
folglich
ds +F)=—-dr(2—

eine leicht zu integrierende Differentialgleichung. Um die Integrationskonstante zu be-
stimmen, nehmen wir die Seiten von /, verschwindend klein an; dann werden alle Ar-

— 416, &

gumente von F, dem Halbkreis gleich, und die Grenzpolynome von F, sämtlich, mit
Inbegriff des Vorzeichens, identisch; es ist also zugleich /, =0 und F, = den halben
tetraspbärischen Kontinuum = 8. Hiedurch ıst die Integrationskonstante bestimmt, und
man hat allgemein

i 3 x Yue\ 2a
HR =8- 22-5)

T A

Ersetzt man die tetrasphärische Einheit durch ihren absoluten Wert 2. so erhält man

für die Summe zweier reciproker tetrasphärischer Polyscheme den Ausdruck

2

7° — = (ze —oa)a.

S$ 38. Ueber reguläre sphärtsche Polyscheme.

Die tetrasphärischen regulären Polyscheme entsprechen in Beziehung auf
Zahl und Anordnung ihrer Teile genau den regulären Polyedern des Raums. Sind die
trisphärischen Perischeme eines solchen lauter kongruente reguläre m-Ecke, deren je »
in einem ebenfalls regulären Eck zusammentreffen, und sind alle Argumente gleich 2 a,
so soll das Polyschem mit P,,. (2 «) bezeichnet werden. Man ziehe aus seinem sphä-
rischen Centrum O einen Kreisbogen O A normal auf ein trisphärisches Perischem, so
wird der Fusspunkt 4A das Centrum dieses Perischenis sein; von A aus ziehe man den
Kreisbogen A A, normal auf eine Seite BB’ des Perischems, so wird der Fusspunkt 4,
die Mitte von BB’ sein. Dann ist AO BA, ein Orthoschem, worin die an den Seiten
ÖA,, 4, A, A B liegenden Argumente rechte und die an den Seiten 40, OB, OB, BA,

. 7T Pf i . . 7T 4
liegenden resp. Frl R. sind; der Wert des Orthoschems ist also f, (5 er «) . Je

2 m Orthoscheme setzen sich zu einem pyranıidalen Polyschem zusammen, welches O
zur Spitze und ein Vieleck zur Basis hat; und dieses ist wiederum im ganzen regulären
Polyschem so oft enthalten, als die Zahl 4n : Q m -+-2n — mn) seiner trisphärischen
Perischeme anzeigt; folglich ist

P„.(2e)= BU sr; u «). ne ee A)

= = Bean z 29
3m -’!n—ıun mn

DR Gh ; ni, WIE ı ; ;
Für das Minimum von « ist sin Sina cos —; hier verschwindet P. Von da an

. rs . . ._°.
kann @ bis — wachsen, wo dann P,,. (Ge) = 8, d h. gleich dem halben tetrasphärischen

Kontinuum wird. Können mehrere Polyscheme P,„. (2a) um ein Eck herum so zu-

— 117° —

sammengefügt werden, wie es dem Charakier (», p) entspricht, d.h. so, dass jede vom
i Be ä In
Eck ausgehende Seite p Polyschemen gemein ist, so ist offenbar das Argument 2a = SR

Dieser Fall tritt ein, wenn das mit (m, n, p) bezeichnete lineare reguläre Polyschem der
vierfachen Totalität auf die konzentrische Tetrasphäre pojiziert wird; die Projektion

jedes Grenzpolyeders (m, u) ist dann ein tetrasphärisches P,,. (7) Da nun das totale
tetrasphärische Kontinuum .16 beträgt, so ist die Zahl der Grenzpolyeder von (m, n, p)
gleich 16: P,. (7) Wenn das betrachtete lineare Polyschem «, Ecken, a, Kanten,

A, Vielecke, a, Polyeder zählt, so können wir demnach die Proportionen (1) des $ 17
in die Gleichungen |

% _ _Pa_ mm _ m 2 (2)
2 2 u ee 2 u nn n
Far u te)

umsetzen. Durch dieselben werden $ 17 und 30 in eine solche Verbindung gesetzt,
dass, wenn die Ergebnisse des einen noch nicht bekannt wären, sie aus denen des
andern gefunden werden könnten.

Nach dem bisherigen ist es wohl leicht zu verstehen, wenn ich hier den Ausdruck
für ein pentasphärisches reguläres Polyschem, ohne Erklärung und Herleitung, hinsetze:

DURSHEN DE EZ u E22

16
p mn m np

P pP 4 n vfi
J (> En ,)

Hat nun ein lineares reguläres Polyschem der fünffachen Totalıtät den Charakter
(m, n, p, q), und ist a, die Zahl seiner Ecken u. s. f., so ergiebt sich aus der vorliegenden
Formel leicht:

Pan, ed) =

2 8

Ze 1), Na, =

nr Tr Tr

N2 ( 2), Na=2(,+

np og y m
Fe J ) BR ann
N4a=2(, +1) Ny=2/(, ee)
wo abkürzend
na nn ‚(na na 4 2 4 9 2
N-f(n n a (3 p tan u re

gesetzt ist.

Diese Beispiele mögen hinreichen, um anzudeuten, wie derselbe Gegenstand auch
für höhere Totalitäten zu behandeln wäre. Man würde dann die Formein (4) und (5)
des $ 29 unmittelbar aus den durch Konstruktion gewonnenen Ergebnissen des $ 18
herleiten können.

-- 118° —
Wenn in der auf die Tetrasphäre bezüglichen Formel

ER, (.-)

Rn

a
naar |
Tr

welche eine Anwendung des letzten Satzes von $ 32 darstellen soll, @ oder bestimmter
(Q(m,n,p) das tetrasphärische Mass eines Ecks des linearen regulären Polyschens
(m, n, p) bezeichnet, so ist das zu Q reciproke P die Projektion des Grenzpolyeders von

(p, n, m) oder ein P,. ze Wenn also k die Zahl der Seiten von P und a den Wert
er Mm

einer solchen bezeichnet, so hat man

2ın aus a Mm »
Den = —— on!
In+2p—np 2 on „7
sın“ — — COS” —
72) n

mn )=8- RB.) ka 5)” |

m %

Wendet man diese Formel auf alle sechs regulären und einfachen Polyscheme an, indem
In

) direkt aus $ 17 entnimmt, so erhält man:

man die Werte von Dial

16 |

03,39) = — 5 w 3 ums — 24, wo cos?2A = =
EN) et edit,

03,34 = . s (= z j

03,43)= 2, a

Q(4,3,3)=1, ao:

265,3, 93 na. u=--

Da nun

mn, p)=P.,(e-)=4 sh — =)

np»

ist, so folgt auch

nn J I ‚in n In 33 2,2
Ppi)=-,- \ ( EU ee et
Al 5 sry Sg’ 3 A 300) Im

VE

— 19 —

083,9) =-PuxlS) 0649=P.l) 943,9)=B:(f)

An 282 191 zn x 2n 191
053, )=-PRsl7)- 5 7m SEHE

Von den angeführten Eckenmassen sind vier rational. Dieses hängt mit der stetigen
Erfüllung der vierfachen Totalität durch lauter gleiche reguläre Polyscheme, welche
wir am Ende von $ 17 betrachtet haben, zusammen und bestätigt das dort Gesagte.
Den drei Charakteren (3,3,4,3), (3,4,3, 3), (4,3,3,4) als den einzigen, nach

denen eine einmalige Erfüllung möglich ist, ist aber noch ein vierter (5, 3, 3, 5) und

sein reciproker beizufügen, von denen der erste eine wiederholte Erfüllung durch ein-
fache, der zweite durch überschlagene Hekatonkaieikosascheme anzeigt. Man kann sich
übrigens hievon auch mittelst des am Ende von $ 17 gebrauchten Verfahrens überzeugen;
wenn nämlich die gleichen Bezeichnungen gelten wie dort, so ist

e(5,3,3) = cos (R — 7)=- 5 (33 5)

Da wir nun Q (5, 3,3) = Er - 16 gefunden haben, und das überschlagene Hexakosioschem

(3, 3, ») sechshundert Grenztetraeder zählt, so liegen bei der durch (5,3, 3, >) angezeigten

Erfüllung der vierfachen Totalıtät je 600 einfache Hekatonkaieikosascheme um eine
Lösung herum und wiederholen dadurch die Totalität 191 Male. Folglich hat das
überschlagene Hexakosioschem einen 191fachen Mantel. Im folgenden Para-
graphen wollen wir dieses noch direkt aus der Konstruktion beweisen.

Für reguläre Polyscheme mit einfachem Mantel war die in den $$ 17 und 18
gegebene Aufzählung vollständig. Es frägt sich noch, wie viele es deren mit mehr-
fachem Mantel geben kann. Um die Antwort hierauf vorzubereiten, schicke ich folgende
Betrachtung voran. Gesetzt, es gäbe eine durchaus symmetrische Verteilung von Lö-
sungen auf der Polysphäre, deren ursprüngliches Netz mehrere Male herumgeht, so ziehe
man die Kreisbogen, welche die kürzesten sphärischen Abstände darstellen, die es
zwischen je zwei Lösungen geben kann; dann werden diese sich zu einfachen regulären
Kugelvielecken, diese wiederum zu einfachen regulären tetrasphärischen Polyschemen,
u.s. f. gruppieren; die Perischeme höchster Ordnung endlich werden ebenfalls regulär
und einfach sein und können das totale polysphärische Kontinuum nur einmal besetzen.
Wenn also auch in irgend einer Totalität überschlagene reguläre Polyscheme existieren,
so können sie doch keine neue Art von symmetrischer Verteilung der Radien einer
Polysphäre erzeugen, welche nicht bereits von einem einfachen regulären Polyscheme
geliefert worden wäre. Wenn nun im Charakter eines regulären Polyschems keine

— 120° —

andern Ziffern als 3 und 4 vorkommen, so ist leicht einzusehen, dass es rein unmöglich
ist, seine Ecken so zu verbinden, dass etwas Ueberschlagenes entsteht. Die einzige
noch vorkommende Ziffer — denn von der zweifachen Totalität, welche eine endlose
Mannigfaltigkeit regulärer Gebilde gestattet, kann hier keine Rede sein — ist 5 und
konımt nur in der dreifachen und vierfachen Totalität vor; ihr entspricht das einfache,

der Ziffer re dagegen das überschlagene Fünfeck. Lässt man reziproke Gebilde weg,

so können überschlagene Polyscheme nur im Raume und in der vierfachen Totalität
resp. durch andere Verbindung der Ecken des einfachen Ikosaeders und des einfachen
Hexakosioschems gebildet werden.

$ 34. Nähere Untersuchung der Hexakosioscheme.

Zum leichtern Verständnis alles folgenden ist es nötig, mehrere trigonometrische
Relationen, welche das räumliche Ikosaeder betreffen, vor Augen zu haben. Man pro-
jiziere die Oberfläche des Ikosaeders auf eine konzentrische Kugel und merke sich ausser
den Ecken des Netzes noch die Mittelpunkte seiner Dreiecke und die Mitten seiner
Seiten; man wird dann immer Kugeldreiecke finden, deren blosse Anschauung zum Be-
weise der erwähnten trigonometrischen Relationen hinreicht.

Sind ABC, A BD zwei benachbarte Dreiecke eines Ikosneders, E, F ihre Mittel-
punkte, O das Centrum des Ikosaeders, «= 2ZAOB,b = /Z/COELEU=_ZLCOF, so ist

' 1 J)
a+-l+-b =n, csa=-= ind =:
Yy» Y»
> - 2 i 9 ol : /
EL ii. neh tangb =3 — Y5,
syn a e
Y> B) Y5

Wo 2... Var ı ae
cosuV VI’: sind “fa DEI, ans’ = 34-35.

Mittelst dieser Winkel können wir nun die tetrasphärischen Werte der 120 Ecken des
einfachen Hexakosioschems, wie folgt, angeben. Die eingeklammerten Buchstaben be-
zeichnen, gleichwie in $ 17, die in die einzelnen Zonen fallenden Gruppen von Ecken.
Eine ganze Zahl, welche die Werte 0, 1, 2, 3, 4 durchläuft, ist mit 2 bezeichnet. Die
Bedeutung der tetrasphärischen Variabeln ©, g, w erhellt aus ihren Beziehungen zu den
orthogonalen Variabeln ww, r, y, z:

w=c0sd, z=sin®cosp, y=sinOsinpcoW", z= sin Y sing sin ı.

— 121 —

Tetrasphärische Werte der 120 Ecken des einfachen Hexakosioschenms.

(a): 9=0;
he) (ee ) zu
_ Lin _ @i+lr Ä
MIET, v= >

|
|

Co 9=z (p=b ‚(p=b DE ne
ee ae 2. y— tr ee ee |

5) ) 5)
(d): 9= 9-0, 1: ) -1—da ) a
_2in _. Ri+l)n
| a eo

" a n — 4 n n+aA ;
(e): Oz Tg ’ I y ’ Pag , pp = ) 9 = nn —
din 2i-f1)n Bitl)e Zin it
en ıh = — ma z Fr —
) ) 10 d B)

(f): 9-(=0 y=a \,/
| EB; |

(y): u er "6: "be ze)
BREI BRIESIE _8im _2im
I\v = 5 ae ie wie,

(I): 9-5 (p=0, 9=a ‚YY=n-aN\, =:
a So 1 a
0): O9=n. Ä

Die Ecken b, d, e, f, h sind Ecken von Ikosaedern, die Ecken c, g sind Mittelpunkte
der Dreiecke eines Ikosaeders, und die Ecken e sind Mitten von Kanten eines solchen.
Da die Entfernung aller Ecken vom Centrum als lineare Einheit angenommen ward,
Y>—

so beträgt die Seite —, 1, ist also gleich der Seite des regulären Zehnecks. Die

Durchschnitte des Polyschems, welche durch lineare Kontinua w = const. entstehen,
können, indem man von der Variabeln w absieht, als Körper betrachtet werden. Wir
wollen dieselben der Reihe nach untersuchen.
Der Schnitt w = cos n ist ein Ikosaeder, dessen Dreiecke sämtlich Grenztetraedern
angehören. | |
16

=
. . . . . «ı) 1 ..
Der Schnitt w = cos = ist ein Dodekaeder mit der Seite * ‚ auf dessen Fünf-
.. 95-1 9-1 — 5
ecken Pyramiden aufgesetzt sind, deren Seiten wer ae betragen. Die

Ecken c dieses Dodekaeders gehören dem Hexakosioschem an, ebenso die Kanten; aber
die 60 gleichschenkligen Dreiecke, welche den Schnittkörper begrenzen, sind Tetraeder-
schnitte, geführt durch eine Kante, und die Gegenkante im mittlern und äussern Ver-
hältnisse teilend. Diese Gegenkante verbindet zwei homothetische Ecken b und d; und
wenn m den Teilungspunkt bezeichnet, so ist bd:bm = bm: md, also auch 1:bd = bd:bm.

Der Schnitt w = cos z enthält die 12 Ecken d und schneidet jede der 60 Seiten

ce in einem Punkte n so, dass l:ce=ce:cn=cn:ne. Der Schnittkörper ist von
. .,. . . . 3 m Y5
20 gleichseitigen Dreiecken mit der Seite —, —

Lo;

‚60 gleichschenkligen Dreiecken mit

. 3-5 ,_3—%5
der Basıs ae und der Seite — und 60 gleichschenkligen Dreiecken mit der

3 _ 3

. iS, . [9] . . ... 5 . .
Basis 75 — 2 und der Seite - begrenzt. Die gleichseitigen Dreiecke, Durchschnitte

der Tetraeder ceee, können als Abstumpfungsflächen der Ecken eines Dodekaeders
aufgefasst werden, und die 120 gleichschenkligen Dreiecke, Durchschnitte der Tetraeder
cdee und ecde, bilden dann zehnseitige auf die Dodekaederflächen gesetzte Pyramiden.
Der Schnitt «= 0 enthält die 30 Ecken e und halbiert jede der 12 Seiten df.

Der Schnittkörper wird aus einem Ikosaeder, dessen Seiten den Wert 75 — 1 haben,
erhalten, wenn man durch Ebenen, welche diese Seiten halbieren, seine Ecken abstumpft,
und auf die durch die Abstumpfung entstandenen regulären Fünfecke Pyramiden aufsetzt,
Y3 15 —1

deren Seiten — ——;

betragen.

Die nun folgenden Schnitte sind in umgekehrter Ordnung dieselben wie die vorigen.

Uebersicht und Anzahl aller Seiten.

Das Eck «a ist mit jedem b durch eine Seite verbunden, Zahl 12. Je zwei b sind
durch eine Seite verbunden; Zahl gleich derjenigen der Kanten eines Ikosaeders, also 30.
Die Seiten bc vereinigen Ecken. die sich wie Mitte und Eck cines Dreiecks des Iko-
saeders entsprechen; ihre Zahl ist also 3 - 20 = 60. Die Seiten bd verbinden Ecken,
welche demselben Eck des Ikosaeders entsprechen, sind also zwölf an der Zahl. Die
Seiten ce verbinden Ecken, welche den Mittelpunkten zweier benachbarten Dreiecke des
Ikosaeders entsprechen, also 30. Die Seiten ed verbinden Ecken, die dem Mittelpunkt
und einem Eck einer und derselben Ikosaederfläche entsprechen, also 60 an Zahl. Die
Seiten ce verbinden Ecken, die dem Mittelpunkt und einer Seitenmitte einer und der-

— 13 —

selben Ikosaederfläche entsprechen, also 60. Die Seiten de verbinden Ecken, welche
einem Ende und der Mitte einer Kante des Ikosaeders entsprechen, also 60. Die Seiten
df verbinden Ecken, welche einem und demselben Eck des Ikosaeders entsprechen,
also 12. Die Seiten ee verbinden Ecken, welche den Mitten zweier benachbarten Kanten
des Ikosaeders entsprechen, also 60. Von da an Wiederholung in umgekehrter Ordnung.
Mit Ausnahme der Seiten df und ce sind also die Anzahlen aller übrigen Seiten zu
verdoppeln, wodurch sich 720 als Anzahl aller Seiten ergiebt.

Denkt man sich, wie bisher, alle Ecken in dasselbe äquatoriale ikosaedrische
Netz projiziert, und bedeutet dann w den äquatorialen Abstand zweier durch eine
Seite verbundener Ecken, so sind die Verbindungen derselben zu Seiten immer so be-
schaffen, dass w den kleinstmöglichen Wert hat, wie folgende Uebersicht zeigt:

ab, hi ohne Bedingung, | ed, fg w==b,

—=( b’—b
bb, hh, w— 4, Baet N
be,gh, v=bl, z
[0
b d, fh, WW = 0, d e, ef, WW = En
'
» Sn an /
c6,g99; W b , ER en:
m
G e ‘) W = ar sr
5

Die Tetraeder, aus denen der Umschluss besteht, sind folgende: abbb 20,
bLbbc20, bbrec 30, beed 60, ccde 60, cdee 60, ceee 20, deef 60, etc., im ganzen 600.

Nachdem wir sc die Struktur des einfachen Hexakosioschems untersucht haben,
bereiten wir uns zu einer ähnlichen Behandlung des überschlagenen vor, indem wir

zuerst das überschlagene Ikosaeder (3,5) betrachten. Ist p Poldistanz und vu

Azimut, so bilden die Ecken g= (0; =, —a, (9 te =) ein Dreieck, die

Ecken der ersten Zone sind durch g= nr — a, Y = .- dargestellt; ferner bilden die
zwei Eckeng = sr — a, (v ale =) mit dm Eck gg =a, y = z ein Dreieck,

die Ecken der zweiten Zone sind in der Formel g=a,y = Weme enthalten. Dies
reicht hin, um von der Verbindung der Ecken eine deutliche Vorstellung zu geben. Um
nun zu beurteilen, wie vielfach der Mantel dieses Ikosaeders umgeschlagen ist, unter-
suchen wir nur, wie oft die um den Pol p = 0 herumliegende unendlich kleine Stelle
der Kugelfläche von der Projektion des Ikosaedermantels bedeckt wird, oder, was das-
selbe ist, wie oft ein vom Centrum ausgehender, unendlich wenig von der positiven
Axenhälfte abweichender, aber sonst freier Strahl den Mantel des Ikosaeders durchbohrt.

Da das überschlagene Fünfeck einen doppelten Umlauf hat, so bilden die fünf Dreiecke,
welche den Pol g = 0 mit den Ecken der ersten Zone @ = sr — a verbinden, einen
doppelten Mantel. Die Dreiecke, welche je zwei Ecken der ersten Zone mit einem der
zweiten verbinden, gehören nicht hieher, weil sie zwischen dem Centrum und dem
Gegenpol $ = 7r durchgehen. Jedes Dreieck dagegen, welches ein Eck der ersten Zone
mit zweien der zweiten verbindet, geht zwischen dem Centrum und dem Pol durch, und
seine Projektion bedeckt die Gegend des letzten ringsum vollständig; alle fünf Dreiecke
dieser Art bilden also einen fünffachen Mantel. Die fünf letzten Dreiecke endlich,
welche je zwei Ecken der zweiten Zone g=a mit dem Gegenpol p = verbinden,
kommen nicht in Betracht, weil sie sich auf den Gegenpol projizieren. Wir schliessen

hieraus auf einen siebenfachen Mantel des überschlagenen Ikosaeders. Ist seine
1

N
=sSN

Seite 1, so ist der Radius der umschriebenen Kugel eg =

2 cos

)
Nach dieser Vorbereitung gehen wir an die Untersuchung der Massverhältnisse

>). Das Eck a sei Pol = 0. Ist © die

des überschlagenen Hexakosioschems (3, 2.5

=
2
—=p= sin —, also 0 = “ die erste Zone (f). Wird das Eck f, für welches @ = zr,

Poldistanz der in seiner Basis liegenden und ein (3, ) bildenden Ecken, so ist cos —

mit dem Eck a vertauscht, so geschieht dies durch die Transformationsformeln:

Ir ’ . Di ' D

cs = — cos — 0050 — sn „- sin® cosp,

. . In n 2 ‚ 0
sınOcospg = — sın >. cos © —- c0s— sn® csg,
sin Osing — sin ©’ sin o',

v=vV.

Mittelst derselben können wir genau das konstruktive Verfahren in $ 17 nachahmen.
Wir kennen nämlich die Werte von ©, 9, dv, welche den Ecken f der ersten Zone
entsprechen. Setzen wir dieselben an die Stelle von ©, 9, %', so lernen wir die Ecken
der ersten Zone für den Pol ©’ = 0 kennen; unter diesen finden sich neue Ecken
für den Pol © = 0, und wir sehen das Gebiet der bekannten Ecken von diesem ur-
sprünglichen Pol aus erweitert. Indem wir diese Erweiterung auf den zweiten Pol
0 = 0 übertragen, so wird durch die entsprechenden Substitutionen das Gebiet des
ersten Pols wieder erweitert. Wird dieses Verfahren lange genug fortgesetzt, so werden
uns endlich alle Ecken zugleich mit ihrer Verbindung bekannt. Ich lasse hier eine
Tafel der Substitutionsergebnisse folgen, in der Absicht, daraus die Ordnung herzuleiten,
in welcher die Ecken durch Seiten verbunden sind.

1. () 0-0 | -"7, 9=n (f)
2: (f) 0 =-",per—a | =; pp = (c)
3. (N) =, =0 =", g=0 (WM
4. (ce) © sp -n—) 9=;: g= n-—b(ec)
.() ei gb 0=-%, g=n-a()
|
.() = HF, p=n-V | 0-3, 9-7 (W
‚ 4 ‚ q
T. (h) "=. P = 9=-: rn (e)
8. (h) 0-Y,g-r | 0=7-,9=0 ()

Da jede Substitution mit ihrem Resultat vertauscht werden kann, und da, wenn
©, p' durch z — ®', x — p ersetzt werden, auch ®, @ in zz — ©, ze — p übergehen,
so braucht diese Tafel nicht weiter fortgesetzt zu werden.

Wenn die Werte einer Lösung der Gleichung w® + x? —+ y? + z? = 1 genügen,

T Y
Yı-w: Yi-w Yi-ıus
der ursprünglichen Lösung (w, x, y, 2), und den auf der äquatorialen Kugel (w = 0,
x?--y?+ 2°? = 1) gemessenen Abstand zweier solcher Projektionen nenne ich äqua-
torialen Abstand der zwei ursprünglichen Lösungen. Sind nun ®, 9,9; ©, g, w
die tetrasphärischen Werte zweier Ecken des Polyschems, y ibr tetrasphärischer und w
ihr äquatorialer Abstand, so ist

so nenne ich die Lösung (0, ) die äquatoriale Projektion

cosy = c0sQ cos ©’ + sin Osin ©’ cosw, Ccosw = C0SPCoSP 4 sinpsingp cos(ı — WW).
Jede Eckenverbindung wird durch das entsprechende w hinreichend bestimmt. Hier

folgt nun eine Uebersicht aller Eckenverbindungen mit Angabe ihrer Herleitung aus
der vorigen Tafel.

ıf. Keine Bedingung.
Sf. w=n—ı.

fe. Durch die Formeln 1., 2. geht eine Verbindung af in eine fc über, wo
w-nr—!b.

fh. Durch 1., 3. geht eine «af in eine fh über, wo w= sr.

cc. Durch 2. geht eine Verbindung ff mit dem Azimutunterschied v = a in

| eine ce mit demselben Azımutunterschied über; also

cos w = cos? b’ -- sin? b’ cos z — — cos (b) —b, w=nrn—(b —)b).

— 126 —

ch. Durch 2. und 3. geht eine Verbindung ff in eine ch über, ww=b.
ce. Durch 2., 6. geht eine fc mit dem Azimutunterschied = in eine ce über,

' nl- [47 D ' . 7T da 37 71 b'—b
also cos w = cos b cos in + sın b sin "I 008°, en u

he. Durch 3., 6. geht eine fc in eine he über, wo w = - 3
hb. Durch 3., 8. geht eine fh in eine kb über, wo w = (.
ee. Durch 6., 7. geht eine ch mit Azimutunterschied y = in eine ee über,

3
w w=
FB)

Von hier an wird eine weitere Fortsetzung überflüssig. Gemäss dem bisherigen sind
nun in folgender Tafel die Seiten des Polyschems vollständig aufgezählt.

af, di, ohne Bedingung. ch,bg w=b. |
ff, dd, WERT ce, eg, DER Me,
Se, y, ven —b. ie =
Ih,bd,wv= rn. he,eb, w= 2 5 =
c,9ggw=n—(h —b). er:
Ian
| ee, ee,

Die Verbindungen von je vier Ecken zu einem Tetraeder sind:
afff, Sffe, ffec, fech, eche, chee, ceee, heeb, eeeg, eeby, ebyq, bggd, ggdd, gddd, ddaı.

Wir schicken uns jetzt an, die Frage zu beantworten, in wie vielen Lösungen
ein vom Centrum ausgehender Strahl den Umschluss des überschlagenen Hexakosioschems
schneidet, oder wie oft in der tetrasphärischen Projektion desselben das totale tetra-
sphärische Kontinuuın enthalten ist. Für diesen Zweck reicht es hin, zu untersuchen,
in welchen der vorhin aufgezählten Klassen die Tetraeder die positive Hälfte der Axe
w schneiden.

l. Die 20 Tetraeder a ff, fhaben den Pol w = 1 zum gemeinschaftlichen Scheitel.
Ein nahe beim Pol senkrecht auf die Axe geführter Schnitt ist ein überschlagenes Iko-
saeder, und ein von einem innern Punkte des Schnittraums ausgehender und diesem
Raum angehörender Strahl trifft die Grenzoberfläche 7 Mal. Dreht man nun den Strahl
um seinen Anfangspunkt aus dem Schnittraume heraus, so muss er fortfahren, den
Umschluss des Polyschems, insofern er nur aus diesen 20 Tetraedern besteht, 7 Male
zu schneiden; und nur, wenn er nach dem Pole « = 1 selbst geht, schneidet er nur
einmal. Es ıst leicht, dies auf einen vom Centrum auszehenden, der Axe w unendlich
nahen Strahl überzutragen.

-- 127° —

Il. Die Tetraeder /fffe sind 20 an der Zahl. Werden alle vier Ecken eines
solchen Tetraeders auf die äquatoriale Kugel projiziert, so bilden die Ecken f ein Kugel-
dreieck, dessen Seiten sv — a betragen, und das Eck c ist dem Mittelpunkt dieses Drei-
ecks, der von den Ecken um D’ absteht, antippd.. Man kann demnach die Werte der
vier Ecken so ansetzen:

; In un 37 y' un IA. Jr j
(f) w= es z=sinz cosl, y=sin sind, 2=0:
3770

7 . Ir . 4 . In,
—-.ı z=sı _ sınb sin =»
3 Ri) 3

' In ; ‚ N I
ff) w=cos—ı z=sinz cosdb, y=sin-- sind cos‘

or

[Zj gr “ Ir [4 [2 In . r 9 ” 3n . ’ . Ix
()w= cos z=sin-— cosb, y= sin 5- sinDb' cos.» z=—sin — sin b sin —;
A) d b) 3 B) 3
T R . N
() w=cs, 2=—-sinzı y=Pb, z—\.

Sind 9, q,r,s beliebige positive Faktoren, für welckepy--q+r—+s=1 ist, und
multipliziert man die ortliogonalen Werte der vier Ecken mit denselben, so sind die
Summen der Produkte die Werte irgend einer innerhalb des Tetraeders liegenden
Lösung. Richtet man die Faktoren so ein, dass die Variabeln &, y. z verschwinden, so
wird w der erste Wert der Lösung, in welcher der Raum des Tetraeders die Axe
schneidet. Kann dieses durch positive Faktoren geschehen, so schneidet der Tetraeder
selbst die Axe, ohne dass es einer Verlängerung seines Raumes bedarf. Man erhält

Y5—1

2y5

!
= 98= ao Ww=—-——=—1-+3
2Yy5 2Yy5 3%:

o_Yy5 3 _Y5

p=gy=r=-' 1 el 3 -

Das Tetraeder ff’ c schneidet demnach die Axe auf der negativen Seite; also schneiden
die 20 Tetraeder yddd die Axe auf der positiven Seite.

III. Die Tetraeder ffcc sind 30 an Zahl. Daw (ff) =r —a, w(er)=r—(V —)),

w (fc) = se —b. Man kann daher den vier Ecken folgende tetrasphärische Werte geben:

’ 3 2) .
KS)9='5: =, (Hal, (es:

‚p= > ’ V= +5:

Aus diesen folgen die orthogonalen Werte:

3 . d93n2.. q . 97 a
>= (0S— 7=sın -. SM „9 y=+sın\.-c08 7 =(;

oO .) ) — P5\ )

7 an. db—b on V’—b
WC, = — sn „ Sin y=lh, z= tr sin 0057,

Die 30 Tetraeder /f/cc schneiden also die Axe auf der positiven Seite.

IV. Die Tetraeder fech sind 60 an Zahl. w(f)= x, w(eh) = b'. Tetra-
sphärische Werte der Ecken: (/)@ = m, = 1; (N) = nn 9=0;(c)@=},

g=-lb,’)=-H m. Örthogonale Werte:

| In a 2.
) w=- ws: 2=— sin YadU, ze;
a . Tr
(h) w= — (008.1 2= sin y=d, z—=(;

4 n on A ‚ ln Typ an __
(„e)w= cos ., —=sin„ cosdb, y=sin„sinDb cos, z=+sin; sindsin
ei) | I
Hieraus r=s=(0,p = De Me Also schneiden die

60 Tetraeder )ygd die Axe auf der positiven Seite.
V. Die Tetraeder cche sind 60 an Zahl. Tetrasphärische Werte der Ecken:

’ n 7 b’—b 7 4: n—ı
(‚e)0=-,9=7;—-75 ‚yv=0;e)0=-5:9=-;()0= Zıp =,
7T
Y =: Orthogonale Werte:
u L a BE SEE al, BE, Gb ee
(„e)w= cos z=sinzsingey=tsin., cos. zo 2=0;
(e) w-—0, = —J], WEN); ze:
(h) — — cs 2 = sinZsin.» y=-0 z= sin cos--
> 2 2 i 5 )
3-Y5 Ez ges
P=u=- r—=-)5—- 23 s=(l, uv- a

Die 60 Tetraeder cche schneiden also die Axe auf der positiven Seite.

VI. Die Tetraeder chee sind 60 an Zahl. Tetrasphärische Werte der Ecken:

(dh) 9-:°7, Po=(; (©) O = “= p = nt, v= +’ (c) 9=.ı19=P), Vi.

Orthogonale Werte:

nr .
(h) W = — 008, 7 — sin 24 y=ß, z—=(;
‚ . a l n . In,
ee)w=(, 2= — sin Y == COS os z—=-+co“ sın ur
2 j 2 5 . 2 )
(c) cos = ı 2 =sin z csb, y=- —sin : sind, z—(.
ja . A 3 1) Y> — 1\° '
er a0 u Bi 7 ‚w— - (Y5—2).
Also schneiden die 60 Tetraeder eebg die Axe auf der- positiven Seite.
VI. Die Tetraeder ceee sind 20 an Zahl.
n ru 7 7 b—b In
(«) 0 = yı Pt, ae v —=(, ae
(ORTE u Sup Er u Sure Ye RN
. V—1 b"’—b
() v0, x = sin — Y= 68, . 2—=0;
ro . b’—-b b’—b n b’—b . 7
ee )w-=0, zesn Wr, zero ean,:

el, rn,

Also schneiden die 20 Tetraeder ccee die Axe auf der positiven Seite.

VIII. Die Tetraeder Reeb sind 60 an Zahl. Jedes hat eine mit der Axe pa-
rallele Seite Ab und schneidet also die Axe im unendlich entfernten Punkte.

Wenn für ein Tetraeder alle vier Faktoren p, g, r, s positiv und von Null ver-
schieden sind, und wenn auch w positiv ist, so umgiebt seine tetrasphärische Projektion
den Pol © — 0 vollständig. Ist einer jener vier Faktoren gleich Null, so fällt der
Punkt der Axe in eine Seitenfläche des Tetraeders; und man muss die zwei Tetraeder,
welche diese Seitenfläche gemein haben, zusammennehmen, damit der Pol © = 0 von
den Projektionen ringsum bedeckt werde; so in V; die Tetraeder cche zählen also
nur für 30 Deckungen. Sind zwei jener vier Faktoren gleich Null, so liegt der Punkt
der Axe auf einer Kante des Tetraeders. Da nun 5 Tetraeder diese Kante gemein
haben und 2 mal um dieselbe herumgehen, so wird von den Projektionen dieser 5
Tetraeder zusammen der Pol erst 2 mal ringsum bedeckt. So in IV; die Tetraeder
byg(d zählen also nur für 24 Deckungen.

Demnach geben die Tetraeder afff T, yddd 20, ffcce 30, bygd 24, cche 30,
eebg 60, ceee 20, im ganzen 191 Bedeckungen des positiven Pols.

Die tetrasphärische Projektion des überschlagenen Hexakosioschems
enthält also 191 totale tetrasphärische Kontinua: und jedes einzelne Tetra-

17

130 —

schem P, ; (7) ist n des totalen tetrasphärischen Kontinuums; folglich
F (5 s ) =) = H = ns Der rationale Wert dieses Orthoschems ist jetzt auf
einem zwar etwas mühsamen, aber direkten Wege durch reine Konstruktion gefunden
worden; auch die etwas leichtere, aber weniger direkte Art, wie dieses Orthoschem in
$S 33 mittelst des Eckenmasses des einfachen Hekatonkaieikosaschems bestimnit wurde,
mag hieher gezählt werden. Da sonst alle übrigen rationalen Orthoscheme mit kommen-
surabeln Argumenten (eines ausgenommen, das wir bald nachher behandeln werden)

unmittelbar aus den Konstruktionen des $ 17 folgen, so lag es mir daran, auch

2: OT si . r Er He -
f (7 - 7)» unabhängig von dem künstlichen Verfahren in $ 30, durch direkte Kon-

struktion zu bestimmen; und man möge es mir verzeihen, wenn dieses nicht olıne Weit-
läufigkeit geschehen konnte, und wenn ich sogleich noch eine zweite direkte Art, wie
dasselbe Resultat durch Konstruktion erreicht werden kann, beifüge.

Denkt man sich beide Hexakosioscheme (3, 3, 5) und (3, 3; > auf dieselbe Tetra-

sphäre projiziert, so liegen bei beiden je 5 Tetrascheme um eine gemeinschaftliche Seite
herum, beim einfachen mit einmaligem, beim überschlagenen mit doppeltem Umlauf;

; i .. EL. ; a
beim einen hat also das reguläre Tetraschem das Argument 5 , beim andern —. Be-

ß FREE ; In An ; : . ;
zeichnen wır ihre Masse mit 5 (7) und S (7): so wissen wir bereits aus $ 17, dass

‚(rn 1 j ERBEN £ ; 2 ; i #n
S (>) Ze des totalen tetrasphärischen Kontinuums ist; die Bestimmung von $ (7)
In

.. r . v .. « iz ’ .
hängt also nur noch von der Kenntnis des Verhältnisses s(2): S ("; ) ab, und diese

kann man direkt erhalten, indem man untersucht, wie viele kleine Tetrascheme das
grosse in sich schliesst.

Die Ecken des grossen können wir auf folgende Weise angeben:
(I) © od; (11) 9 oo = sr, (11) O0 - ns pa, 1) = ı Im

Lässt man der Ordnung nach je ein Eck weg und legt durch die drei übrigen und durch
das Centrum einen Raum (lineares Kontinuum), so mögen die vier Diametralräume,
welche S (7) begrenzen, durch die Gleichungen p, = :0, 9, = 0, p, 0, p, = 0 dar-
gestellt scin. Wenn nun die homogenen Polynome p so eingerichtet werden, dass die
Summe der Quadrate der Koeffizienten eines jeden gleich 1 ist, und dass sie sämtlich
für eine innere Lösung positiv sind, so hat man in tetrasphärischen Variabelu:

e — 131 —

RT . U. . ı

Pı = 608 ;; c08S ®--sın „sn Ocosw, wo cosw= — cosb cosp +sinb sing cos y,
ER 2) . d U .-

p, = sın — SIn -, C0S8 @ -}- C08 „5 sin p cos V),

Ps, P, = Sin © sin p sin (*: 3: v)

Da sin ©, sin @ immer positiv sind, so geben die zwei letzten Polynome für eine

innere Lösung die Bedingungen — z <yp< ei . Das Polynom p, giebt die Bedingung,
dass die äquatoriale Projektion der innern Lösung auf der Halbkugel liegen müsse,
deren positiver Plg =?” wo / = 0 ist und auf der Mitte einer Seite des äquatorialen

2
Ikosaedernetzes liegt. Alle drei Bedingungen zusammen liefern ein äquatoriales Dreieck,
innerhalb dessen die Projektion einer innern Lösung fallen muss, und dessen Ecken die
Projektionen von II, III, IV sind. Der Mittelpunkt dieses Dreiecks st = r —b,y=(0);
das obige w ist also der sphärische Abstand irgend einer äquatorialen Lösung von diesem
Mittelpunkt; das Maximum von w findet für die drei Ecken statt und ist Ö’; daher ist
cos w immer positiv.

Wenn also ®@ < 3 ist, so ist p, Immer positiv. Ueberhaupt ist p, der Kosinus
des dritten Winkels eines Kugeldreiecks, worin die zwei Winkel 3 und z = © die

Seite w zwischen sich haben. Für ein konstantes © nimmt p, ab, wenn w wächst;
und der Spielraum von w reicht von w = 0 an bis da, wo p, = 0 wird, darf aber auch
nicht über w == V’ hinausgehen. Dieser Spielraum fängt also da an beengt zu werden,

wo für w == b zugleich p, = 0 wird, verengert sich für ein abnehmendes sr. —- © immer
mehr und verschwindet endlich da, wo p, = 0 wird für w == 0. Aus der Anschauung
des sphärischen Ikosaedernetzes ergiebt sich für jenen Anfang x — 9 = ni dieses

7 In er ’ i —
Ende verlangt cos (@ — > —0( oder 9 =: ce Somit ist die Grenzbedingung p, > 0
Be er: . 4n
nur für die Zonen © = A untersuchen.

In der Zone 9 = findet noch keine Verminderung der Ecken statt; nur fallen
sie für II, III, IV in die Grenze p, = 0 hinein.

In ö Re ß
In der Zone 9 = er kommen nur 10 Mitten von Ikosaederflächen in Betracht,

wovon 6 paarweise auf die Seiten des begrenzenden Kugeldreiecks fallen. Es muss sein

= Tr 1 ’ . . ' Tr
cos w > cotg? u — cosbcosb --sınbsin b cos „’

d. h. w darf nicht grösser sein als der sphärische Abstand eines jener sechs Punkte vom
Mittelpunkt des genannten Kugeldreiecks. Auch hier ist also in der Zahl der Ecken
noch keine Beschränkung; nur fallen die sechs genannten Punkte in die Grenze p, = 0
und zugleich paarweise je eine der drei übrigen al

In der Zone @ = muss sein cos w > cotg — cotg = -=cosb, oder w<D. Die

in dieser Zone möglichen Eiken werden also auf die drei innersten Ikosacderecken be-
schränkt, welche zugleich in die Grenze p, = 0 fallen.
Hier unten sind nun alle Ecken des einfachen Hexakosioschens, deren Projek-

; . il i ;
tionen auf oder innerhalb das grosse Tetraschem S (7) kommen, nach der in $ 17 ein-

geführten Bezeichnung aufgezählt. Die, welche in eine Grenzfläche, Grenzkante fallen,
sind resp. mit einem, zwei übergesetzten Strichen versehen, die mit einem Eck des
grossen Tetraschems zusanımenfallenden mit der betreffenden römischen Ziffer.

tl;

b,, bi; b., bis; 6) b;;

Cyys Eros Eos Cros Orr Cry Cs Can Cıas Cias

dy, dd, as ds da;

Esor Orr Caıy Cor Eis Pau Os Cıys Com Orr Easy Cas}

fr fofı HAHN IV:

Jr Jıo Yo Jıoo Ua: 1: Yıs; TER m Yıs;
TS

Die von diesen Ecken gebildeten Tetrascheme sind teils ganz, teils durch die
Grenzen p halbiert; bei den letztern geht die Grenze immer durch eine Seite des Tetra-
schens und die Mitte der Gegenseite; dass es sich so verhält, und dass demnach wirklich
Halbierung eintritt, ıst für ein einzelnes Tetraschem nicht schwer zu beweisen; aber
die Aufzählung aller einzelnen Fälle wäre zu weitläufig. Ich gebe daher sogleich die

; In : €
Uebersicht aller ganzen und halben Tetrascheme (7). in welche das vorhin be-
. „fr Wie
schriebene grosse Tetraschem 8 (7) zerfällt.

}

abbb 4 ganze, 6 halbe deef 18 ganze, 6 halbe
blblbee 4 „6 , eecey 4 „6 ,
bbecee 9 „93, ee/f{y IS „ 6 „,
beed 21 „, —- efyyg 21 „ —
cede 21 B — Fygh 15 s 6 A

cdeelS „6 _, yglh 3 5, 6
ceee + „6 ghäh1 „3 ,

De ee ze

Ep u ee

— 19 —

Addiert man alles zusammen, so erhält man
‚(Ar Im
s(7)=191.8()-

Es giebt noch ein Paar reciproker Polyscheme, deren Ecken mit denen des ein-

fachen Hexakosioschems zusammenfallen. Sie entsprechen den Charakteren (5, 3, 5)

und (} ‚8, 5) und mögen die zwei amphibolen Hekatonkaieikosascheme heissen.

Wirklich ist sin = sin 2. a) Ri > + — cos n - Ist nun 1 die Seite eines überschlagenen
Ikosaeders (3; >) ‚so ist sein Radius sın z ; die genannte Seite ist aber zugleich Dia-

gonale des Fünfecks des einfachen Dodekaeders (5, 3), das als Bestandteil des Um-
schlusses des gesuchten Polyschems auftritt; die Seite dieses Fünfecks oder die Seite

. . Tr
des Polyschems ist also 2 sin

0; wenn daher a den entsprechenden tetrasphärischen

. . . . 4 . nz . T an
Centriwinkel bezeichnet, so ist cos. g sin „: 2 sin 10 008 10°

wie beim einfachen Hexakosioschem. Bei diesem kennen wir nun schon eine dodeka-

folglich a = - ‚ gerade

edrische Gruppe von Ecken; sie wurden mit c bezeichnet und lagen in der Zone ® = =

Der Radius der eingeschriebenen Tetrasphäre ist also halb so gross als derjenige der
umschriebenen; d.h. wenn die zwei amphibolen Hekatonkaieikosascheme der-
selben Tetrasphäre eingeschrieben sind, wie das Oktoschem und Hekkai-
dekaschem, so sind sie auch mit ihnen derselben Tetrasphäre umschrieben.
Jedes derselben hat 120 Ecken, 720 Seiten, 720 Fünfecke und 120 Dodekaeder.

i j ß a ar
Wir wollen nun untersuchen, wie oft der Umschluss dieses Polyschems (5, 3, ,)

sich auf die Tetrasphäre projiziert. Ordnet man die einfachen Dodekaeder zonenweise
um den Pol a, so bedeckt erstens das Dodekaeder (rcc...), welches diesen Pol «u zum

tetrasphärischen Centrum hat, denselben ringsum; zweitens kommen die 20 Dodekaeder,
_ deren Centra die Ecken ce sind, und welche um das gemeinschaftliche Eck a herum,

n ; . e a j a) r R
wie die Dreiecke eines überschlagenen Ikosaeders (3, 5) auf einander folgen, in Be-

tracht; sie bedecken den Pol a nur 7 mal, weil auch das (3, >) einen 7fachen Mantel
hat; drittens gehören die 12 Dodekaeder, welche die Ecken b zu Centren haben, hieher;
jedes derselben bedeckt den Pol a ringsum. Da es nun sonst keine Dodekaeder giebt,
deren Projektionen den Pol «a erreichen, so wird derselbe 1-+7--12 = 20 mal be-

deckt. Das Polyschem (5, 3, ,) projiziert sich also 20 mal auf die Tetrasphäre.

— 134 —

Dasselbe Resultat erhalten wir, wenn wir nachsehen, wie viele Tetraeder des
(3, 3, 5) auf ein Dodekaeder des (5, 3, >) gehen. Wird dieses von den Ecken c ge-

bildet, so umfasst es ganze Tetraeder, die 20 abbb, 20 bbbc, 30 bbce und die 60
halben Tetraeder becd. Dass diese von den sphärischen Fünfecken des Dodekaeders
wirklich halbiert werden, davon überzeugt man sich am leichtesten, wenn man eine
Gruppe von je 5 um eine gemeinschaftliche Seite herum liegenden Tetraedern unter den
Pol bringt; es sei dann ab, die gemeinschaftliche Kante, die Gegenkanten bilden das
sphärische Fünfeck b, b,b, b, b,; die Kugelfläche des letzten halbiert den Kreisbogen

ab, = ss denn jene ist durch die Gleichung 2 = tang = cos a = tang . ‚ dieser durch
die Gleichungen y = 0, 2 = 0 bestimmt. Wenn man also immer die tetrasphärischen
Projektionen betrachtet, so ist das Tetraeder im Dodekaeder 100 mal enthalten. Da

: 1 .. ; ” ; ; 1
nun jenes „_, des tetrasphärischen Kontinuums beträgt, so ist dieses . ,

aus 120 Dodekaedern bestehende Umschluss zählt 20 tetrasphärische Kontinua. Dem-
nach ist

und der ganze

zı nn In tt ı 7 1
—1 9 — — 9 a a ge um — ce
E37) 0/72) 45

F Inn nn
Zum Schlusse muss ich noch bemerken, dass, obschon das Orthoschem f ("; a +)

einen rationalen Wert hat, doch der Charakter (> 5, 3) kein echtes Polyschem dar-

stellt, weil auch im Raume der Charakter (5, 3) zwar ein Gebilde, das mit dem Iko-

saeder die Ecken gemein hat, aber kein echtes Polyeder darstellt. Dasselbe genügt
nämlich der Bedingung a, — a, + a, = 2 nicht.

$ 85. Ueber die Summe der (Quadrate der Projektionen eines Strahls auf
symmetrisch verteilte Tüichtungen.

Wir werden in diesem Paragraphen Fälle kennen lernen, wo mehrere von einen
gemeinschaftlichen Centrun ausgehende feste Strahlen » die Eigenschaft haben, dass
nicht nur die Summe der Projektionen irgend eines beliebigen Strahles s auf alle jene
festen Strahlen verschwindet, sondern dass auch das arıthmetische Mittel der Quadrate
der Projektionen gleich ist dem Quadrat des Strahls s, dividiert durch die Dimensions-
zahl der Totalität. Um diese Eigenschaft kurz bezeichnen zu Können, wollen wir jene
festen Strahlen » eutaktisch nennen. Von dieser Erklärung ausgehend, können wir
nun folgenden Hilfssatz aussprechen:

Wenn in der n-fachen Totalität A eutaktische Strahlen r gegeben sind,
und es gehören zu jedem derselben als Axe u seitliche Strahlen g, welche

durchweg mit ihrer Axe denselben Winkel a bilden und überdies so um
dieselbe geordnet sind, dass immer ihre äquatorialen Projektionen eine
Gruppe von u eutaktischen Strahlen einer (n—1)-fachen Totalität dar-
stellen, so sind alle Au Strahlen e zusammen eutaktisch für die n-fache
Totalität.

(Unter äquatorialen Projektionen "verstehe ich die Projektionen auf das zur je-
weiligen Axe normale (n — 1)-fache lineare Kontinuum, und den Winkel zwischen den
äquatorialen Projektionen zweier Strahlen werde ich ihr Azimut nennen.)

Beweis. Bezeichnet p den Winkel, den der Strahl s (von der Länge 1) mit
irgend einem festen Strahl r bildet, so ist vermöge der eutaktischen Eigenschaft aller
Strahlen r:

‚ 3 N a (rn — 1)A
Br Soon? ın — Son? — .
2cosp=(, XFcos De also Zsin’p = Ss

Bedeutet ferner y das Azimut zwischen dem Strahl s und einem Strahl oe in Beziehung
auf seine Axe v, so ist

v SEE 4 2 2 u u

Scosy=(, 2cos Ve
wenn diese Summe sich nur auf die u Strahlen og, welche zu derselben Axe gehören,
erstrecken. Ist nun w der wahre Winkel zwischen s und ge, so ist

COS w = C0S A COS P 4 sin a sin @ cos y;
folglich

u . .
3 cos w = u cosacosp, I cos’w = u cos’a cos’p—+ „_jSin’asin’g, (1)

und wenn man die Summen links auf alle Strahlen g ausdehnt, vermöge der zuerst
gesetzten Gleichungen,

. A U: n— 1)A Au
LScsw—=(, Fcostw = weosta- + sinta. MIN! = ee . (

was zu beweisen war.

Wir wollen nun zeigen, dass für jedes reguläre Polyschem die von seinem Centrum
nach seinen Ecken gehenden Strahlen eutaktisch sind, indem wir, bei der Ebene an-
fangend, nach und nach immer zu einer höheren Totalität fortgehen.

I. Zweifache Totalität. Die Formeln

i=n— in -|]

| . .
T Yın ; Iın n fr

es ie 5.0208 2 ar er > 2
P> cos (« - : ) 0 für n 2,93, 4,2455 Und — cos (« = s ) e

sind bekannt; folglich sind die Radien jedes regulären Vielecks eutaktisch.

II. Dreifache Totalität. Dass die Summe der Projektionen eines Strahl s auf
alle nach den Ecken gehenden Radien » eines regulären Polyeders verschwindet, folgt
mit Ausnahme des Tetraeders bei den vier übrigen daraus, dass je zwei Radien ein-
ander entgegengesetzt sind. Beim Tetraeder kann man es daraus schliessen, dass das
Centrum zugleich Schwerpunkt der Ecken ist.

Wenn u Ecken des regulären Polyeders ın emer durch den Polabstand «a be-
stimmten Zone liegen, so sind die äquatorialen Projektionen der entsprechenden Radien
o offenbar eutaktisch als Radien eines regulären u-Ecks. Sind dann 9, ww die Winkel,
welche ein Strahl s mit der Axe und mit einem Strahl e bildet, so ist nach (1)

B u En di ER
p=!cosw=ucosacosp, 9=Fcos’u = u cos? a cos’p-+ ‘, sin?« sin’.

Diese allgemeinen Forneln wollen wir nun auf jedes einzelne reguläre Polyeder an-
wenden und in Bezug auf alle Zonen summieren.
1. Tetraeder. Ein Radius gehe nach dem Pol; für diesen ist p = cos, q = cos?y.

Die drei übrigen Radien bilden eine Zone, deren Poldistanz a durch cosa = — En be-
i ' 1 5 4. ; ;
stimmt ist, also p= — cosy, 1 = z cos" ph sn?g. Wird die Summe aller Pro-

jektionen mit P, die Summe ihrer Quadrate mit Q bezeichnet, so ist P= 0, Q — ie

2. Oktaeder. Die 6 Radien können als positive und negative Hälften der Axen
eines rechtwinkligen Koordinatensystems aufgefasst werden. Also ist P=0, Q = 2.

3. Ikosaeder. Für den nach dem Pol gehenden Radius ist y = cos’g. Dann

kommt eine Zone, wo cos« = V:. u=5 ist, für diese also y = cos’ —+ 2 sin? g.
Die übrigen 6 Radien sind diesen entgegengesetzt; somit Q = 4.

Aus den Werten von (@ ist ersichtlich, dass die Radien eines jeden der drei an-
geführten Polyeder eutaktisch sind. Werden nun vom Centrum aus nach den
Mittelpunkten der in einem Eck zusammentreffenden Vielecke Strahlen gezogen und
das Eck selbst als Pol aufgefasst, so sind die äquatorialen Projektionen jener Strahlen
eutaktisch. Wird das Gleiche in Beziehung auf jedes Eck wiederholt, so fallen
im Mittelpunkt jedes Vielecks so viele Strahlen zusammen, als dasselbe Ecken zählt,
und da alle diese nach (2) eutaktisch sind, so wird man hieraus auch leicht auf die
Eutaxie des Systems schliessen, worin jeder nach dem Mittelpunkt eines Vielecks
gehende Strahl nur einmal gezählt wird, d. h. auf die Eutaxie der Radien des
reciproken Polyeders. Also sind auch die Radien des Hexaeders und Dodekaeders
eutaktisch, und die Eutaxie ist somit für alle regulären Polyeder bewiesen.

Durch eine ähnliche Betrachtung wird man sich auch überzeugen, dass alle
Strahlen, welche vom Centrum eines regulären Polyeders nach den Mitten seiner Kanten
gehen, eutaktisch sind.

— 137° —

II. Vierfache Totalıtät. Wird ein Eck eines regulären Polyschems als Pol
aufgefasst, so können die übrigen nach Zonen geordnet werden; und da alle zu einer
Zone gehörenden Ecken sich entweder geradezu wie Ecken eines regulären Polyeders
oder wie Kantenmitten eines solchen verhalten, so sind die äquatorialen Projektionen
der entsprechenden Radien des Polyschems eutaktisch.. Wenn daher u, a, 9, p, q eine
ähnliche Bedeutung haben wie oben, so ist

p=UC0SAaC0osp, q= ucos?acos?p+ 5 sin? a sin? gQ.

1. Pentaschem. Für das als Pol gewählte Eck ist p = cos, q = cos’ g;

1

für die 4 übrigen ist cosa = 4, daher p= —cosg, q =, cos? + 2 sin? p;
also P=0,Q= --

2. Hekkaidekaschem. Die 8 Radien können als positive und negative Hälften
der Axen eines orthogonalen Systems gefasst werden; also ist Q = 2.

Ist die Eutaxie von den Radien irgend eines regulären Polyschems bewiesen, so
folgt sie vermöge (IT) und (2) auch für das reciproke Polyschem. Sie ist also nun auch
für das Oktoschem bewiesen.

Da das Eikosikaitetraschem die Ecken des Hekkaidekaschems mit denen des
Oktoschems vereinigt, so sind auch seine Radien eutaktisch.

3. Hexakosioschem.

(a) a=0, u= 1,q=cos’p,
(b) ==, u=12,qg=12 cos? — cos? p -+ 4 sin? n sin? ,
(c) a=7,u0=20,9=5,

In ; In .
cos?p +4 sin? sin’,

() a=--, u=12, q= 12 cos’

A)
(e) a; u=30, q=10sin?’p.

Die Werte von q für die Ecken (a), (b), (ec), (d) sind doppelt zu nehmen wegen der
entgegengesetzten Radien. Da

= Be. Be eu
cos 5 + 008 „_=y, am 5; + sın eg
i i 120 i : ;
ist, so wird Q = 30 = 4: Wegen der paarweise entgegengesetzten Radien ist

ohnehin ?P=0.
Aus der Eutaxie des Hexakosioschems folgt sogleich auch diejenige des Heka-
tonkaieikosaschems.
18

— 1383 —

IV. n-fache Totalität. |
1. Reguläres (n + 1)-Schem (3, 3,...3, 3). Für das zum Pol gewählte Eck

ist 9= cos, q= cos?’9; für die n übrigen ist cos a = — , also p= — c0S 9,

= - cs’p—+ tl sin? 9; also zuletzt P= 0, Q = nn,

2. Reguläres 2n-Schem (3, 3,...3,4). Alle 2n Radien können als positive
und negative Hälften der Axen des orthogonalen Systems aufgefasst werden; also

In
Q=2=7-

Hieraus folgt die Eutaxie auch für das reciproke Polyschem, d.h. für das
2n-Schem (4,3, 3,...3,3).

Ich muss noch bemerken, dass in dem für das (n—+-1)-Schem geführten Beweise
die Richtigkeit der Formel für die (n — 1)-fache Totalität schon vorausgesetzt ward.

Wir können das Bisherige in folgenden allgemeinen Satz zusammenfassen:

Wenn in der n-fachen Totalität mehrere (mehr als zwei) von einem
gemeinschaftlichen Centrum ausgehende Strahlen, welche die Einheit zur
Länge haben, auf reguläre Art geordnet sind, und man projiziert sie auf
irgend eine Richtung, so ist 1. die Summe aller Projektionen gleich Null,

2. das arıthmetische Mittel der Quadrate dieser Projektionen gleich -

Es seien a,b,... die n Kosinus der Winkel, welche einer der A eutaktischen
Strahlen mit den orthogonalen Axen bildet, p, q, . .. dieselben Grössen für irgend einen
einzigen Strahl s, so ist

>(ap+bga+- = ee

Da aber p, q,... beliebig sind, so folgt
!a=--—, 20’ =-,ete, JFab=|I, te.
”n n
Ist nun noch ein zweiter Einzelstrahl s’ durch die Richtungskosinus p', q,... bestimmt,

und © der Winkel zwischen den Strahlen s und s, also cocs®O=pp +qay +: -, so
folgt aus dem Vorigen leicht:

I(ap-+-ba—+::-)(ay +IY +. )= £ cos ©.

Aus dieser für eutaktische Strahlen überhaupt geltenden Formel folgt im besondern der Satz:

— 139 —

Wenn in der n-fachen Totalität Radien nach allen Ecken eines regu-
lären Polyschems gehen, und man multipliziert für jeden derselben die
Kosinus der Winkel, welche er mit zwei beliebig gegebenen Richtungen
bildet, so ist das arithmetische Mittel aller so erhaltenen Produkte gleich
dem n-ten Teile des Kosinus des von den zwei gegebenen Richtungen ge-
bildeten Winkels.

Diesem Satz, der endliche Summen zum Gegenstand hat, ist ein ähnlicher an
die Seite zu setzen, welcher den Wert eines bestimmten Integrals angiebt. Da sein
Beweis von gleicher Natur mit den in $ 19 geführten Rechnungen ist, so spreche ich
hier nur den Satz selbst aus, ohne in jenen mich einzulassen.

Wird das totale n-sphärische Kontinuum in lauter unendlich kleine
Elemente geteilt, nach jedem derselben ein Radius gezogen und das Produkt
der Kosinusse der Winkel, welche dieser Radius mit zweien beliebigen
festen Richtungen bildet, mit dem entsprechenden Element selbst multi-
pliziert, so ist die Summe aller so erhaltenen Produkte gleich dem n-ten
Teile des totalen sphärischen Kontinuums, multipliziert mit dem Kosinus
des Winkels der zwei festen Richtungen.

Dritter Teil.

Verschiedene Anwendungen der Theorie der vielfachen
Kontinuität, welche das Gebiet des Linearen und Sphäri-
schen übersteigen.

$ 36. Bestimmung des Üentrums eines quadratischen Kontinuums.

Aufgabe. Es sei irgend eine Gleichung zweiten Grades mit den n Variabeln
X, Kar» - %. gegeben; man soll den Ursprung so versetzen, dass die mit den ersten
Potenzen der neuen Variabeln behafteten Glieder aus der Gleichung wegfallen.

Auflösung. Es seien &,, ,,...t, die Werte der Variabeln für den gesuchten
Ursprung, Y,, Ya --:%n die neuen Variabeln und t, ein die Einheit bezeichnendes
Symbol, durch dessen Einführung die gegebene Funktion homogen wird. Das Polynom
der gegebenen Gleichung gehe in T über, wenn darin 1, x,, &,,...x, durch to, Eyes --- En
ersetzt werden, und es sei

D=y rt Ve tet nr

so ist die transformierte Gleichung

T+DT+3DT=0,

und die Aufgabe ist erfüllt, wenn, unabhängig von den Werten der neuen Variabeln,
DT=0 ist. Diese Bedingung zerfällt in die n linearen Gleichungen

oT oT OT
I s a erst 3,7 . . . . . . . . (1)

und so viele sind im allgemeinen nötig und hinreichend, um die n Konstanten t,,t,,...t,
zu bestimmen. Da die Gleichung

197 3T 8T
Ta lnhtanht ten)

— 141 —

in identischer Weise besteht, so reduziert sich die neue Gleichung des (n — 1)-fachen
Kontinuums auf .

7, DTz . . . . R . . . . . . (2)

Ist irgend eine Lösung (Y,, %,, - - . %„) bekannt, welche dieser Gleichung genügt,
so wird nun auch die Lösung (— Yy,, — Ys, --- — Y,), worin sämtliche Werte der
Variabeln den vorigen gleich und entgegengesetzt sind, genügen. Jeder durch den
Ursprung gehende und vom Kontinuum begrenzte Strahl wird also durch den Ursprung
halbiert. Daher soll dieser Ursprung das Centrum des (n —1)-fachen Kontinuums
zweiten Grades heissen.

Können die Gleichungen (1) nur befriedigt werden, indem man {, = 0 setzt,
oder sind sie nicht alle unter sich unabhängig, so hat das Kontinuum kein wahres
Centrum.

Wenn mit dem Bestand der Gleichungen (1) zugleich auch 37 = (0) wird, so wird

die Gleichung (2) in Beziehung auf die n neuen Variabeln homogen, und das Centrum
selbst befindet sich im Kontinuum. Ist irgend eine andere Lösung (Y,, %z, - - - Y„) be-
kannt und bedeutet k einen willkürlichen Faktor, so wird auch die Lösung (ky, , key, ...KYn)
der Gleichung (2) genügen. Da somit jeder das Centrum mit irgend einer andern
Lösung des Kontinuums verbindende Strahl ganz in dasselbe hineinfällt, so möge es
strahliges Kontinuum zweiten Grades heissen. Für ein solches muss demnach
die Determinante der Koeffizienten aller n + 1 abgeleiteten linearen Polynome von’7T
verschwinden; aber dieses Merkmal ist nicht hinreichend, wenn die vorhin erwähnten
Ausnahmsfälle eintreten.

S 87. Bestimmung der Hauptaxen.

Es sei f (x, y,2,...) eine homogene Funktion zweiten Grades der r orthogo-
nalen Variabeln x, y,..., und f(x,y,...) = 1 die Gleichung eines Kontinuums zweiten
Grades, wo das Centrum als Ursprung angenommen ist. Eine orthogonale Trans-
formation der Variabeln stellt 5 n (n — 1) Elemente zur Verfügung. Die Zahl der
Glieder in zy,xz,... ist gleich gross. Daher ist es möglich, die Variabeln so ortho-
gonal zu transformieren, dass in der Gleichung des Kontinuums die Produkte der Va-
riabeln wegfallen, und nur die Quadrate bleiben.

Es si z=at+at +a’t’ +... ,„y=bt+bt!'+V’i" -+--., etc. die
gesuchte orthogonale Transformation und p? +-pt?”+pt"—+::--=1 die trans-
formierte Gleichung des Kontinuums. Es sei ferner

dfay..)=Xde+KYdy-t---,

— 12 7 —

und wenn in den linearen Polynomen X, Y,... die alten Variabeln durch a, b,...
ersetzt werden, so wollen wir sie durch A, B,.... bezeichnen, und ähnlich mit Accenten.

Dann ist

ST = Xa+Yb+. -=As+By+- = pi,

u.s. f£. mit Accenten. Diese Gleichung schliesst in sich die rn Gleichungen:

Aa +Bb +(Cc +---: =»,

Aa +BV + +... =(,

Aa’ +Bb’+Cld" +... =0,
etc.

Multipliziert man diese mit a, @',a,... und addiert sie, ebenso mit 5, D,0’,..„u.sf.,
so ergeben sich die Gleichungen

A—pa=I(0, B—-plb=I, Ü—pe=),....... 0.0.0)

Diese n Gleichungen sind in Beziehung auf a,b, c,... homogen und linear. Man kann
also die n— 1 Verhältnisse dieser Richtungskosinus eliminieren und wird eine Gleichung
n-ten Grades P= 0 erhalten, in der die einzige Unbekannte p vorkommt. Es sei p
eine Wurzel dieser Gleichung, so wird dieser im allgemeinen nur ein System von
Richtungskosinussen a,b, c,... entsprechen; und die in Beziehung auf die einzelnen
Elemente der Determinante P abgeleiteten Funktionen derselben werden mit a®, ab, ac,...;
ab, b?,be,...;ac,bc,c?,...;... proportional sein. Wenn also a, ß,y,... die in die
Diagonale fallenden abgeleiteten Funktionen der Determinante bezeichnen, so ist

I 2 ß 2

Er ee re ee,

2 un ZUPESEINUR: LEHBEERNR ’
u = a +ß+::.--

Für eine zweite von p verschiedene Wurzel p, der Gleichung P= 0 mögen a,b, c,...,
A,B,...ina,b,-...,4,, B,-. übergehen, so ist auch

4, =2, % Bo =9ds: GG =-MmMin----
Multipliziert man diese Gleichungen mit a, b,c,... und addiert sie, so ergiebt sich
?p, (ay +lb, +ca+")=A a+Bb+ = An, +Bb, + =plaa +Lbb +)
oder (p— p) (aa +bb, ca +:':)=0;

folglich au lb, +ca-+t''=0. ... 0.0.0.0. 0. (4)

— 143 —

Wäre p imaginär, so könnte p, die konjugierte Wurzel sein; dann wären auch
a,a,; b,b,;... konjugiert, und daher könnte keines der Produkte aa,, bb,,... negativ
sein, was der Gleichung (4) widerspricht. Die Gleichung P = 0 hat also lauter reelle
Wurzeln.

Die Elemente der Determinante P seien () i (:) (;) a

(:) — (1); und, abgesehen von dieser Gleichheit je zweier in Beziehung auf die Dia-

gonale gleichliegender Elemente, sei

1 5
‚ etc, wo immer
n ,

8Pp 1 9: P 1 2
=] = |, ete.

N .) 1 2 aß
(.) (.) 26;
(.) | |
Da nun 7 ae l ist, so folgt leicht, wenn P als Funktion von p aufgefasst und

P(p-+-w) nach steigenden Potenzen des Inkrements w entwickelt wird,

P(p+w=P(p) — v2]. ]+ w2] 2] — 2] + ...+(— w)".. . 06)
Hat nun die Gleichung / (p) = 0 nicht lauter ungleiche Wurzeln, und bezeichnet z. B.
p eine Wurzel, welche m mal vorkommt, so behaupte ich, dass für diesen Wert von p
alle (m —1)-ten abgeleiteten Funktionen von P(bloss formell verstanden, wie wenn sämtliche
n® Elemente der Determinante P von einander unabhängig wären) verschwinden müssen.
Zunächst ist nämlich klar, dass auf der rechten Seite der Gleichung (5) die Koeffizienten
von w, w', w”,.... ww”! verschwinden müssen; und es soll gezeigt werden, dass daraus
das Verschwinden aller (m — 1)-ten Abgeleiteten der Determinante P mit Notwendigkeit
folgt. Ist dieses für m — 1 gleiche Wurzeln schon geschehen, so kann man auch ferner
beweisen, dass es-für m gleiche Wurzeln gilt. Um nicht weıtläufig zu werden, wollen
wir m = 4 setzen; das allgemeine ist aus diesem besondern Fall leicht zu entnehmen.
Da, wenn die Behauptung für m = 3 richtig ist, die zweiten Abgeleiteten von P einzeln
verschwinden, so kann man setzen:

()=4()+2()++m():

wofern nur nicht alle dritten Abgeleiteten der Determinante P auch verschwinden (in
welchem Falle übrigens das zu Beweisende schon statt hätte). Dann ist, wenn die
Zeiger a, ß,y von 1,2, 3 verschieden sind,

— 14 —

23a«a]| _,9 123 laß] _
[23%] = 32° [123] ter [1os] =

also
2[72]= [| + mr + Rt

apy
+ 2? Hr etc. + 1A, .A,.A, eh

HU .Us- Mo
v ® v, . V.,

ul a 27

Y.d%

Diese Formeln gelten für drei gleiche Wurzeln. Sind vier gleiche vorhanden, so muss

die Summe w je wo jetzt «, 8, y beliebige Zeiger mit Einschluss von 1, 2, 3 be-

deuten, gleich Null sein. Da aber im vorigen Ausdruck für dieselbe das mit ihrem

. 123
ersten Gliede F 93

eines 1 ist, so kann dieses Aggregat nicht verschwinden; weshalb notwendig der andere
Faktor, das erste Glied Br

| multiplizierte Aggregat aus lauter Quadraten besteht, von denen

123

von jedem andern einzelnen Gliede der Summe 2 Be gezeigt werden. Aus k =) =
2

| der Summe, verschwindet. Das gleiche kann aber auch

folgt, dass man setzen darf:

()=5: +) + tel) Beh.

234
231
ausser den vier ersten Elementenreihen nicht auch noch die fünfte von den übrigen ab-
hängt (in welchem Falle alle vierten Abgeleiteten der Determinante P verschwänden,
also fünf gleiche Wurzeln vorhanden wären). Multipliziert man mit A, und summiert
nach = 4,5,...n, so erhält man

sobald nur nicht alle | | verschwinden, was man immer wird vermeiden können, wenn

ähnliche Ausdrücke für C) (;) . Die Formel (6) gilt also füri=1,2,3,45,...n.

Da somit jede der vier ersten Horizontalreihen in ihrer ganzen Ausdehnung von den

— 145 —

übrigen abhängt, so müssen alle Determinanten, welche durch Weglassung von drei
Horizontalreihen entstehen, verschwinden, d. h. alle dritten Abgeleiteten von P. Wenn
also obige Behauptung für m = 3 richtig ist, so gilt sie auch für m = 4; und es ist
leicht, diesen Beweis zu verallgemeinern.

Wenn demnach eine m-fache Wurzel p der Gleichung P= 0 im Systeme (3)
substituiert wird, so werden m seiner Gleichungen von den übrigen abhängig. Man
kann daher »n unter sich unabhängige Gruppen von Verhältnissen:

BED ee, AA esse MED IF aeg
angeben, deren jede dem System (3) genügt. Dann wird aber auch jede Gruppe
(a +: +. tn): ab 4. +enb)i::-- ’

WO &,&y, +. . &, Willkürliche Faktoren bezeichnen, genügen. So wie nun jeder einfachen
Wurzel der Gleichung P = 0 ein durch die Richtungskosinus a, b,c,... bestimmter
Strahl als Hauptaxe entspricht, so wird demnach jeder m-fachen Wurzel ein m-faches
lineares Kontinuum, bestimmt durch jene ın unter sich unabhängigen Lösungen des
Systems (3), entsprechen; und wie man auch innerhalb dieses Kontinuums m orthogonale
Axen wählen mag, so kann man sie immer als Hauptaxen des gegebenen quadratischen
Kontinuums auffassen.
Setzt man in der transformierten Gleichung

perl pt. —=l

!=t"=...=0,so erhält man t = Es als absoluten Wert der betreffenden Hauptaxe.
»

Ist p positiv, so wird die Axe der t zu beiden Seiten in gleichen Abständen vom Centrum
durch das quadratische Kontinuum reell begrenzt; die Lösungen, in denen dieses ge-
schieht, mögen Hauptscheitel des Kontinuums heissen. — Die Wurzeln der Gleichung
P= 0 sind die umgekehrten Werte der Quadrate der Hauptaxen des quadratischen
Kontinuums. Dieses hat also so viele imaginäre Hauptaxen, als die Gleichung P= 0
negative Wurzeln. Soll das quadratische Kontinuum reelle Lösungen enthalten, so
dürfen nicht sämtliche Wurzeln p negativ sein. Je nachdem nun die Zahl der negativen
Wurzeln 0,1,2,...n —1 ist, kann man n Gattungen von quadratischen Kontinuen
unterscheiden.

$ 88. Konjugierte Tlalbmesser.

Die auf Hauptaxen und Centrum bezogene Gleichung des quadratischen Konti-
nuums sei Pr ww:

: y° —_ |... =
ge ar d? 1,

— 146 —

wo die Axen a,b,...d teils reell, teils rein imaginär sind. Es sei ferner a, ß,Y,...;
@,8,Y%».:-.j... ein orthogonales System von Richtungskosinussen, und #, f,t',...
seien neue Variabeln eines schiefen Systems, in welche die alten übergehen durch die
Relationen |

x „U

ce t an 4 ° Y _ 20 ‚ 4 „ t"
Da ee eo

d

so ist die transformierte Gleichung des quadratischen Kontinuums

Alk

Ei
rem eatreml],

und h, %,4,... sind die Werte der konjugierten Halbmesser oder schiefen Axen
des neuen Systems. Sind A, u,»,...;4,w,v,...; ete. die Richtungskosinus der kon-
jugierten Halbmesser, so muss sein

z=At HN! +-N U" +... yzut+-ut tut —+---,ete.
woraus folgt
hr hu hv _WX

‘ R F ’ hu’ ,
A Ze Ey

Die einzigen Bedingungen, durch welche Richtungen und Werte der konjugierten Halb-
messer von einander abhängen, sind also folgende:

RE
a u 5.3 Al)

1 2° u? v? l Ar u?
N ga —- a Fre Bee es Zn p Hess, etc.

Da überdies nch Y+ WW" +: = 1,4’+ uw” +: - =1, ete. ist, so enthält das
System der konjugierten Halbmesser nur = n(n -— 1) freie Grössen. Es ist auch
= HN HN ., Ve W"HN W-H-M"W +: -, etc. \ (2)
Miu thliYW HM’ Vu +. —=l, ete.
| |

1 1
Tr, je

: 1 \ ! i SE 1
dem Maximum Fr enthalten. Ist ferner jenes negativ, dieses positiv, so kann z.B. -,

l 1 . . . 1
—-3 =, 0... zwischen dem Minimum -- und
h2 W:’ u?

Ist

’

‚so ıst jedes

den Nullwert passieren. Setzt man aber a°, b?,...d? sämtlich als endlich voraus, so
ist aus den Gleichungen (2) klar, dass dieses nicht geschehen kann, ohne dass zugleich

— 147 —

wenigstens noch ein reciprokes Halbmesserquadrat z. B. an durch Null geht. Bleiben

bei diesem Uebergang alle andern Halbmesserquadrate endlich, so hat man annähernd:
M#+-h?i?=0, Mu’+h?’u?=0, ete, und durch Addition dieser Gleichungen:
h®?+-h?=0; ferner K’Au+h?WwW=0, ete.; also annähernd A?=X?, u?= u?, etc.,
Au=hu, etc, woraus A:u:v:...=4W:uW:vV;:...folg. Wenn also ein reci-
prokes Halbmesserquadrat unendlich klein wird, so muss wenigstens noch eines zugleich
unendlich klein werden, und wenn dann alle übrigen endlich bleiben, so sind die un-
endlich grossen Werte dieser zwei Halbmesserquadrate gleich und entgegengesetzt, und
ihre Richtungen fallen unendlich nahe zusammen. Es scheint nun im allgemeinen
immer möglich, ein System konjugierter Halbmesser von reeller Richtung allmählich
durch eben solche Systeme hindurch in irgend ein anderes gegebenes System reeller
konjugierter Richtungen überzuführen und dabei zu vermeiden, dass je mehr als zwei
Halbmesser zugleich unendlich werden. Da nun bei jedem Durchgang bloss zweier.
Halbmesserquadrate durchs Unendliche beide vorher entgegengesetzt gewesen sind und
nachher ihre Zeichen gewechselt haben, und da sonst kein Halbmesserquadrat sein
Zeichen wechseln kann, so scheint es im allgemeinen unmöglich, dass in zwei Systemen
konjugierter Halbmesserquadrate die Anzahl der negativen Quadrate verschieden _ sei.
Um dieses noch strenger zu beweisen, schicke ich folgenden leichten Hilfssatz voran:

Sind in der n-fachen Totalität nur »ı konjugierte Halbmesser eines quadratischen
Kontinuums (oder auch nur das durch dieselben gelegte m-fache lineare Kontinuum)
gegeben, so ist dadurch das (n — m)-fache lineare Kontinuum, welches die n — m
übrigen konjugierten Halbmesser enthält, schon bestimmt; aber innerhalb desselben
können diese übrigen Halbmesser gerade mit derselben Freiheit gewählt werden, wie
wenn überhaupt nur n — ın Variabeln in der quadratischen Gleichung vorkommen.
Man kann daher sagen, in Beziehung auf ein gegebenes quadratisches Kontinuum in
der n-fachen Totalıtät sei einem diametralen ın-fachen linearen Kontinuum immer ein
bestimmtes (n — m)-faches lineares Kontinuum konjugiert.

Beweis. Ist Ax®+ By?+(Cz2?+---=1 die auf Centrum und Hauptaxen
bezogene quadratische Gleichung, und ist ein diametrales m-faches lineares Kontinuum
durch die Richtungen (A, u, »,...), (A,w,»,...), etc. bestimmt, so wird jeder dem-
selben angehörende Strahl durch die Projektionen 9A HOW + OA --...-,
9u+QwW“+0O'wW'—+--:, etc. dargestellt, wo ©, ©, ©',... ganz beliebige reelle
Faktoren bezeichnen. Sind nun /!, m, n,... die Projektionen irgend eines dem letzten
konjugierten Strahls, so muss die Bedingung

AAO LOK +. )I+ Bu + Qu + OU" +--)m-+ete—= 0

erfüllt sein. Soll aber dieses unabhängig von den m Faktoren ®, ®©,... geschehen,
so zerfällt die letzte Gleichung in m einzelne Gleichungen, welche ein diametrales

— 18 —

(n — m)-faches lineares Kontinuum darstellen, welches alle dem gegebenen m-fachen
linearen Kontinuum konjugierte Strahlen enthält.

Satz. In jedem System konjugierter Halbmesser eines Kontinuums
zweiten Grades sind immer so viele negative Halbmesserquadrate als negative
Hauptaxenquadrate. — Oder: Wenn n reelle Grössen A, B,C... gegeben sind,

und n Gruppen von je n Grössen (A, u,»,...) (A,w@,”v,...), etc. den - n (n—])
Bedingungen AAX —- Buu + CvvV --...— (0, etc. genügen, so sind unter den
n Grössen AX®—+ Bu? !-Cv?—+----, AX®+ Bu? Cv°!+---, etc. immer eben
so viele negative, wie unter den gegebenen Grössen A, B,(,...

Beweis. Zwischen das System der Hauptaxen a, b,c,... und dasjenige der
konjugierten Halbmesser h, W,h”,... kann man immer zwei Systeme konjugierter
Halbmesser einschalten, welche unter sich n — 2 Halbmesser gemein haben, und von
denen das eine mit dem Hauptaxensystem z. B. den Halbmesser a, das andere mit dem
gegebenen Systeme konjugierter Halbmesser z. B. den Halbmesser I gemein hat. Denn
a und Ah bestimmen ein zweifaches lineares Kontinuum, welchem das durch die zwei
Gleichungen & = 0, Buy-!-Crz-+---=0 dargestellte (n — 2)-fache lineare Kon-
tinuum konjugiert ist. In diesem wähle man nach Belieben die konjugierten Halb-
messer Ä,Äy,...%,_.. Im zweifachen Kontinuum seien die Halbmesser a,a und h,h
konjugierte Paare. Dann hat man folgende Reihe von 4 Systemen konjugierter Halb-
messer:

(,d0%..) alla... ne) (ydhln...uo) Wie).

Für eine Kurve zweiten Grades ist nun der Satz bekannt; also sind in den Systemen
(a, a) und (R, bh) gleich viele negative Halbmesserquadrate. Nehmen wir nun an, der
Satz sei für n — 1 Dimensionen bereits bewiesen, so enthalten auch die Systeme (2, c,...)
und (a, A, l,...%„_2) gleich viele negative Halbmesserquadrate, ebenso die Systeme
(di, ka... An_.) und (W,1,...). Also müssen auch die gegebenen Systeme (a,b, c,...)
und (Rh, W,h,...) gleich viele negative Halbmesserquadrate enthalten. Da nun der
Satz für n = 2 gilt, so gilt er auch für n = 3, deshalb auch für » = 4, u. s. f.; also
gilt er allgemein.

Wenn wir der Kürze wegen jedes durch m Hauptaxen gelegte m-fache lineare
Kontinuum einen m-fachen Hauptschnitt des gegebenen quadratischen Kontinuums
von n Dimensionen nennen, so gilt folgender

Satz. Werden alle m-fachen Paralleloscheme, welche aus den konju-
gierten Halbmessern irgend eines Systems gebildet werden können, auf
einen oder auf zwei verschiedene m-fache Hauptschnitte projiziert, so ist

— 149 —

im ersten Falle die Summe der Quadrate der Projektionen gleich dem Qua-
drate des Produkts der m Hauptaxen des betreffenden Hauptschnitts, und
im zweiten Falle ist die Summe der Produkte je zweier gleichnamiger Pro-
jektionen gleich Null.

Beweis. Nimmt man z.B. m = 3 an, so ist vermöge der Gleichungen (2) und
nach Sätzen, die aus der Theorie der Determinante bekannt sind:

ab?t— |N?2?+h?X?+..., hK’au+h’iwW—+::--, KiAvH-htiv::-
huh+hWX..., Hu+h?wu?+:.-, Muyrhtuv 4:
h’va+th?vV—+:-.-, Mvu-+h? u ..., evt + W?y? +...

= ls ER ee BAER EN ER N sa

u.w.wW.W".....|heu.Hu. hu’. Wru"....

v.vyv.vV .v"....|M#v.hKiv.Wv'.WrV"....

= I NnNh’W'?|A.X.X|2,
u.wW. u

wo die durch }' bezeichnete Summe sich auf alle Kombinationen dritter Klasse, welche
aus den n konjugierten Halbmessern h, h', h ... gebildet werden können, er-
streckt. Da nun der Ausdruck

Yu : ya
j w j w

] y ® v

hu

=

z. B. die Projektion des von den Halbmessern h, h', W' gebildeten dreifachen Parallelo-
schems auf den Hauptschnitt (abe) darstellt, so ist hiemit der erste Teil des Satzes
bewiesen.

Wird dasselbe Paralleloschem (A h’l'’) auf die Hauptschnitte (abc) und (aba)
projiziert, so ist das Produkt der Projektionen

WW |IA.N. . <huUW |...
Bu. u.w.w
v.v.v' EEE

und die auf alle Kombinationen der n Halbmesser Rh, , h’,... sich erstreckende Summe
solcher Produkte

—
—

Snh’h?|A.A,.N ) ER a

u.W.u) |B.wW.u

vv .v' u u
ENDE EN ER ae EIERN SEN EN SEN EN ih
sl Mu.h?W.h?wW’.h"?u”.....
VDE ie EEE: Nee a

NEAR -H- WEN? +. -, MultHNwV +. -, Kvrlth?vit | = |a
ru+ltiWt.., KHurhtwW?t..., hvuthtru:-- 0.
MAEHHTNE+-.-, KHust+htuf—---, IvS+htvS-... 0

Es wird kaum nötig sein, dem hier behandelten Fall, wo die zwei Hauptschnitte, auf
welche projiziert ward, zwei Hauptaxen gemein hatten, noch Beispiele der zwei übrigen
Fälle, wo die Hauptschnitte entweder nur eine oder gar keine Hauptaxe gemein haben,
beizufügen. Wir können demnach den zweiten Teil des Satzes für m = 3 als bewiesen
ansehen. Wenn wir endlich auch, um in der schriftlichen Darstellung Raum zu er-
sparen, den ganzen Satz nur für m = 3 bewiesen haben, so ist doch die Verall-
gemeinerung des gebrauchten Verfahrens klar genug.

Erste Folgerung. Die Summe der Quadrate der orthogonalen Projek-
tionen aller aus den konjugierten Halbmessern eines Systems gebildeten
m-fachen Paralleloscheme auf irgend ein gegebenes m-faches lineares Kon-
tinuum ist konstant.

Denn, wenn z.B. nm =3 ist, und (a, Pıs Yır Is - I (gr Bar Ya; I - - .)
(&g, Bgs Ya, O3, - - .) sind die Kosinus dreier unter sich an Richtungen, durch
welche das gegebene dreifache lineare Kontinuum bestimmt wird, so ist z. B. die Pro-
jektion des Paralleloschems (RA h’) auf dieses Kontinuum

Uhl -tuß +, A, +uß,+:-, a
Kat-uß +, a +uß,+, Wa,tuß +
Yatußt re, Ktußt er, Mat aß: |

—=hUM|ı. nv |. :.Pı-Yı | TRWN |A.u.5 &.ß1.0, | + ete.
Kur &2. Pe: Ya K.w.s Q;. By. 0,
ku 0. Ps. %; A.wW.5 03. ß3. 6;

Bezeichnet nun X eine Summe, welche sich auf alle Kombinationen AA, S dagegen
eine solche, die sich auf alle Kombinationen a bc der Hauptaxen oder auch auf alle
binären Verbindungen von zweien dieser Kombinationen erstreckt, so ist

—_- 11 —

3 (Quadrat der obigen Projektion des Paralleloschems)

= a. Bı-Yı ae k.u.v )\
en BR
Us. ßz- 95 K.u.v
wen Bde id EEE ee A }
| Gy. Be: a. B,. Ö, K. B. v LK. w. 3
Ag: a: Ya ag: By. 05 K.u.» V.u.g
= Sa?’l?c?| a. P,.}ı
Qg: Ba. Y5
ag. B3. Ya

Da der letzte Ausdruck von den Richtungen der konjugierten Halbmesser unabhängig
ist, so ist die Behauptung bewiesen.

Zweite Folgerung. Die Summe der Quadrate aller m-fachen aus den
konjugierten Halbmessern eines Systems gebildeten Paralleloscheme ist
gleich, wie wenn das System von den Hauptaxen gebildet wird.

Wird nämlich das Quadrat eines jeden der zuerst genannten Paralleloscheme nach
$ 12 der Summe der Quadrate seiner Projektionen auf alle m-fachen Hauptschnitte
gleich gesetzt, und kehrt man dann in der so entstandenen Doppelsumme die Ordnung
der Summationen um, so folgt die Richtigkeit der Behauptung sogleich aus dem ersten
Teil des vorhergehenden Lehrsatzes.

$ 39. Berührende Kontinua ersten (Grades.

Wenn ein lineares Kontinuum eine Lösung und die derselben entsprechende erste
Differentialgleichung mit einem höhern Kontinuum gemein hat, so ist jenes das Tan-
gentialkontinuum für diese Lösung. Ist

12 y® z3 IL
er a

die Gleichung eines quadratischen Kontinuums, so ist für die Lösung (x, y, 2,...) die
Gleichung des Tangentialkontinuums Ä

xx yy 4 _
++ te=1,

wo die Variabeln x, y',z,... dem letzten linearen Kontinuum angehören. Dem vom
Centrum nach der Lösung (x, y,...) hin gehenden Halbmesser A ist das diametrale
Kontinuum, dessen Gleichung

’ ' f
TxX yy © 0

a

ist, konjugiert. Dieses ist also mit dem Tangentialkontinuum parallel. Der von der
Lösung (x,y,...) ausgehende zum Tangentialkontinuum normale Strahl heisse die
Normale jener Lösung. Setzt man

pi A: B TC: i
so sind
x y 3
e-, =, re

die Richtungskosinus der Normale, und der Abstand des Centrums vom Tangential-
kontinuum oder das Perpendikel ist «ax + ßy-+-- = p. Man hat also auch

P=4Ad®"+-B$ß+ClCy—+:----

Hieraus erhellt, dass, wenn vom Centrum aus auf der Richtung des Perpendikels sein
reciproker Wert aufgetragen wird, die so erhaltene Lösung wiederum einem quadratischen
Kontinuum angehört, dessen Hauptaxen zwar gleich liegen wie beim ursprünglichen
quadratischen Kontinuum, aber die reciproken Werte haben, ferner, dass die Normale
mit A parallel ist, und dass das Perpendikel den Wert : hat.

Das Tangentialkontinuum schneidet das quadratische Kontinuum in einem (n—2)-
fachen Kontinuum. Die Beschaffenheit desselben wird am leichtesten erkannt, wenn
man das System der Hauptaxen in ein System konjugierter Halbmesser transformiert,
welchen A angehört. Geht dadurch die quadratische Gleichung über in

EL
Ta a

wo H=Hh, so ist t=h die Gleichung des Tangentialkontinuums für die Lösung
= ht=t"=...—=0) und das (n — 2)-fache Durchschnittskontinuum wird durch
die Gleichungen

r’3 1? er
[== hi; ir tier time > 9

dargestellt, ist also innerhalb der durch t= h bezeichneten (n — 1)-fachen Totalität
ein strahliges Kontinuum zweiten Grades. Für dessen Reellität reicht es hin, wenn
nicht alle Halbmesserquadrate 4’, ZH’, H'',... gleichartig sind. Diese Ausnahme er-
eignet sich nur in zwei Fällen: 1. wenn alle Hauptaxenquadrate A, B,... positiv sind,
2. wenn nur eines positiv, alle übrigen negativ sind. Daher der Satz:

In den zwei Gattungen von quadratischen Kontinuen, wo entweder
alle Hauptaxenquadrate oder nur eines positiv sind, hat jedes Tangential-
kontinuum mit ihm nur die Berührungslösung in reeller Weise gemein; in
den an — 2 übrigen Gattungen dagegen schneidet das Tangentialkontinuum
das quadratische Kontinuum in einem strahligen Kontinuum aweiten Grades.

Sind f, y, h,... die Werte einer beliebigen Lösung, durch welche ein Tangential-
kontinuum an das gegebene quadratische Kontinuum gelegt werden soll, so muss die
Berührungslösung (x, y, ...) der Bedingung

Erd... -1

„genügen. Diese stellt das polare lineare Kontinuum zu (f, 9,...) dar. Alle Tangential-
strahlen, welche den Pol (/, 9, ...) mit je einer Berührungslösung (x, y, ... .) verbinden,
bilden ein umschriebenes strahliges Kontinuum, dessen Gleichung

Va SEBeT u Een zen Zr

oder

= = 2 r)? +- etc, — eh zei nZE — etc. —= 0

ist. Der Beweis ist aus der Identität beider Formen dieser Gleichung zu entnehmen.

Dass jeder vom Pol (/, 9, .. .) ausgehende Strahl vom polaren Jinearen Kontinuum
in Beziehung auf die beiden Lösungen, in denen er das quadratische Kontinuum trifft,
harmonisch geschnitten wird, ist leicht einzusehen. Man braucht nur durch den Strahl
ein zweifaches lineares Kontinuum zu legen.

Wenn, wie bisher, A, B,... die Quadrate der Hauptaxen eines Kontinuums
zweiten Grades, p das auf ein Tangentialkontinuum aus dem Centrum gefällte Perpen-
dikel und «a, ß,Y,... dessen Richtungskosinus oder, wenn man will, diejenigen der ent-
sprechenden Normale bezeichnen, so war oben = Aa?’ Bß?+Cy?’+:--. Versieht
man nun in dieser Gleichung p, «, ß,... nach und nach mit den Zeigern 1,2,...n
und setzt die entsprechenden Richtungen als sämtlich unter sich orthogonal voraus, so

20

folgt sogleich aus den bekannten Eigenschaften eines orthogonalen Transformations-
systenis

BB trRtr tn SS ArB rer

Dann sind aber auch die entsprechenden Tangentialkontinua alle zu einander orthogonal;
es seien &,y,.... die Werte ihrer Durchschnittslösung. Dieselbe ist offenbar das dem
Centrum entgegengesetzte Eck eines orthogonalen Paralleloschems, dessen Kanten
Pır Pas»: + 2m Sind; folglich ist 2 + y’ + - = pi + pi +: -+ 945 also zuletzt

a? -+-y„" +2+:.:=4A+-B+Ü-+:.-

eine Gleichung, welcher jene Durchschnittslösung genügt. Wenn also ein solches
Eck, wie wir es früher als Masseinheit des n-sphärischen Kontinuums ge-
braucht haben, von lauter Tangentialkontinuen eines quadratischen Kon-
tinuums der n-fachen Totalität gebildet wird, so liegt dasselbe auf einer
konzentrischen n-Sphäre, deren Radiusquadrat gleich ist der Summe der
n Hauptaxenquadrate.

Die entsprechenden Sätze für die Ebene und den Raum sind bekannt, der letztere
trägt Monge’s Namen.

$ 40. Bestimmung der Hauptaxen eines diametralen Schnitts; Definition der

konfokalen Kontinuen.

Dem Halbmesser %, dessen Projektionen x, y,... sind, sei ein diametrales lineares
Kontinuum konjugiert; a, ß,... seien die Richtungskosinus der Normale des letzten,

IE ’1 . ’ D N ' N) ' . yo
aloa—=!’, B=- ie .... Sind nun (a, 8,9, -..) (ed, ,Y sy...) ete. die Rich-
tungskosinus der Hauptaxen dieses diametralen Schnitts, X’, R’, ete., deren Quadrate,
so müssen die Bedingungen

ed +HBßb +yYy tr —=(, aa -+- BB" yy' +. —=N, ete.

a’ B’—+ v’— wu 1, etc.

erfüllt sein; und dann ıst

Stellt man nun die Gleichungen

a“ BE; Et 0,
re yL Lissef,
etc

zusammen, multipliziert sie mit &,a@,«',... und addiert sie, so folgt, naclhdeın man
mit A — & dividiert hat:

1 « 1 [7

r ats ıze s . . & . . . . a (1)

Multipliziert man diese Gleichung mit A« und summiert sie in Beziehung auf A, B,(,...,
so ergiebt sich
A? Bi er a

IR +0 +: =,
oder, wenn für @,ß,9,... ie Werte er . BE ... substituiert werden,
a , [ Zur er Tr I sense
AA—R') 22 B(B-R) zu C(C-£R') ” io
oder, da
R' za 1 1 NE ER A N 2
A(A—R) u een =
ist, auch
a" Ya 9
rs a Er EEG)

Wird diese Gleichung von Brüchen befreit, so erscheint sie in Beziehung auf die Un-
bekannte AR’ vom n-ten Grade. Da sie aber schon durch R’ = 0 befriedigt ist, so sind
ihre 2» — 1 übrigen Wurzeln gerade die gesuchten Quadrate X, R’, K"',... der Haupt-
axen des der Lösung (x, %, .. .) konjugierten diametralen Schnitts.

Die Gleichung (1) giebt nun

a:ßiyen Sg W'BLW TOT!

Wird (2) als Gleichung eines quadratischen Kontinuums aufgefasst und das entsprechende
Perpendikel mit p bezeichnet, so sind

zugleich die Richtungskosinus der Normale dieses neuen quadratischen Kontinuums.

Wenn für zwei quadratische Kontinua die Hauptaxen der Richtung nach zu-
sammenfallen. und die Hauptaxenquadrate des einen Kontinuums alle um gleich viel
von den gleichnamigen des andern sich unterscheiden, so sollen sie konfokale Kon-
tinua heissen,

Wenn demnach in der Gleichung s + 4 + = 1 die Hauptaxenquadrate

A, B,... so varliert werden, dass immer dA=dB=dC=--- ist, so stellt dieselbe
eine Schar konfokaler Kontinua dar. Ist die reelle Lösung (x, y,...) gegeben,
so zeigt die Diskussion der Gleichung, dass sie in Beziehung auf die Unbekannte A
vom n-ten Grade ist, und dass ihre n Wurzeln immer alle reell sind; für die erste
Wurzel sind alle Hauptaxenquadrate A, B, C,... positiv, für die zweite ist eines, für
die dritte sind zwei, u. s. f., für die n-te sind deren u» — 1 negativ. Setzen wir
A>B>C>-... und lassen A von 0 bis + © wachsen, so geht das quadratische
Kontinuum n mal durch jede in der n-fachen Totalität enthaltene Lösung. Durch jede
gegebene reelle Lösung gehen also immer gerade n konfokale Kontinua, und diese ge-
hören allen n Gattungen von quadratischen Kontinuen an.

Man kann auch leicht zeigen, dass zwei konfokale Kontinua derselben Gattung

2 2
keine reelle Lösung gemein haben können. Sind nämlich T -1- j + =],
2 3 .
7 z + ++. = 1 ihre Gleichungen, und zielt man diese von einander ab und di-

vidiert durch A— A=B-B=(C-— (C=etec., so folgt

y} y

g? \ |
erere er al: Eee

Da aber hier der Voraussetzung zufolge alle Nenner positiv sind, so kann die Gleichung
für reelle Werte x, y,... nicht bestehen.

Gehören aber die beiden quadratischen Kontinua verschiedenen Gattungen an, so
wird es in der Gleichung («) auch negative Nenner geben; diese ist daher möglich, und
sie zeigt zugleich, dass die Normalen der konfokalen Kontinua in einer gemein-
schaftlichen Lösung auf einander senkrecht stehen.

Die obige Bestimmung der Hauptaxen eines diametralen Schnitts des quadratischen
Kontinuums kann nun in folgendem Satze ausgesprochen werden:

Ist ein diametraler Schnitt eines quadratischen Kontinuums gegeben,
so ziehe man aus dem Centrum O den konjugierten Halbmesser 0A, führe
durch die Lösung A die n—1 konfokalen Kontinua und errichte in A auf

— 157 —

jedes die Normale. Dann sind die Hauptaxen des Schnitts mit diesen Nor-
malen parallel, und ihre Quadrate sind gleich den Ueberschüssen eines
Hauptaxenquadrats des gegebenen quadratischen Kontinuums über das
gleichnamige Hauptaxenquadrat eines jeden konfokalen Kontinuums.

S$ 41. Fortsetzung der Lehre von den konfokalen Kontinuen.

I. Konfokale Kontinua sind orthogonal. Schon bewiesen.

I. Satz. Wenn n konfokale Kontinua, deren Centrum O, sich in einer
Lösung P schneiden, und gilt P wiederum als Centrum einer Schar konfo-
kaler Kontinua, deren Hauptaxen mit den Normalen der vorigen zusammen-
fallen; werden ferner diese Hauptaxen resp. irgend n gleichnamigen Haupt-
axen der vorigen n konfokalen Kontinua gleichgesetzt : so geht das so
bestimmte quadratische Kontinuum durch O, und seine dortige Normale hat
gleiche Richtung mit den erwähnten gleichnamigen Hauptaxen der ur-
sprünglichen Schar.

Beweis. Der Ausdruck

5 2 2?
Te ee (dA=dB=dC=---)

erhalte für A = A,, A,, A;,... A, den Wert 1, oder, wenn man will, A,, A,,... A,
seien die Wurzeln der Gleichung V = 1. Dann ist |

_4—A)(A— 4)... (A— An)

_*,%/ Be
V=7+353+''=1 ABC 1)

für jeden beliebigen Wert von A. Schafft man nämlich die Brüche weg, so sind Jinks
die höchsten Glieder vom (n — 1)-ten Grade; rechts sind die höchsten Glieder ABC...
und — 4", und es ist klar, dass bei ihrer Entwicklung die n-ten Potenzen der Variabeln
A sich aufheben. Die vorliegende Gleichung ist also höchstens vom (n — 1)-ten Grade.
Nun wird sie aber durch die n Werte A= 4,,4=4,4=4,,...4=4, befriedigt
und muss also eine identische Gleichung sein.

Multipliziert man die Gleichung (1) mit A und setzt dann A= 0, so erhält man

B A;A, As: d, Bi By... B

Dez a 2 —
Bao rear ae ee

Lässt man A — 4, verschwinden, so ergiebt sich nach vorhergegangener Differentiation

Fu y* PEN (Ad, — A,) (di 4A,) ... (4, Er A„)
4? 2. B: + u 4,B,C,

— 158 —

Wenn man also die vom Centrum auf die Tangentialkontinua der konfokalen Kontinua
gefällten Perpendikel mit 9, ,P,, » - - Pu bezeichnet, so ist

, AD O 5 ABO, u
Bea Te ser a
(4, — A,) (A — 45)... (A, — An) (As — A)) (A, ,) (As — An)

Da diese Ausdrücke denen für x°, y?,... genau entsprechen, wenn man 4,B,(,...
nit A,, A,, A,,... A, vertauscht, so ist

EROE LIES ESERNDE DE Be De a ete

A, A, A, BT," B, Zn
Denkt man sich aber die Lösung (x, y,...) als Ursprung und die Normalen als neues
Axensystem, so sind 9,, Pa, - - - ?„ die Werte der neuen Variabeln, welche dem alten
Centrum 0 zukommen. Da nun die letzten n Gleichungen ein System konfokaler Kontinua
darstellen, so ist die im Satz ausgesprochene wechselseitige Beziehung zwischen dem
Centrum O und der Lösung P bewiesen.

Ill. Satz. Wenn n konfokale Kontinua, welche eine reelle Lösung
gemein haben, auf einem beliebigen Strahle resp. die Sehnen 25, 28,2s’,...
abschneiden, wenn ferner H, H', H,... die Quadrate ihrer mit dem gegebenen
Strahle parallelen Halbmesser, p,p p',... die aus dem Centrum auf die
Tangentialkontinua der gemeinschaftlichen Lösung gefällten Perpendikel
bedeuten, so ist

sp 2 (52) (3) ER (N) -
ee a)

Beweis. Es sei (z,%,...) irgend eine dem gegebenen Strahl angehörende

r . si . . v8 N y? ;
Lösung L, und P eine Lösung, die er mit dem Kontinuum er 9 4- ++. = ] gemein
hat; dann seien rA,ru,r»,... die Projektionen von LP= r auf die n Hauptaxen.
Da A, u,»,... gegeben sind, so liefert die Gleichung

OR EN NN 2 u,

A B

zwei Werte für die Unbekannte »; ihr Unterschied ist die Sehne 2s; ferner ist

setzt man noch

— 159 —
so wird die Gleichung für r :
r} iz. uy j r__
ze, ee ee
woraus folgt, wenn man das Summenzeichen & auf die Variabeln x, y,... bezieht,
s \2 Ar\? FE \,
(nl) +r24
Betrachtet man jetzt in der Gleichung V = 0 ein Axenquadrat, z. B. A, als Unbekannte,
bezeichnet ihre Werte mit A,, As, . . . A„, die entsprechenden Perpendikel mit 9, ,9,,---P,
und die Kosinus der Winkel, welche der gegebene Strahl mit den Normalen dieser

durch Z gelegten konfokalen Kontinua bildet, durch &,&,...e, und gebraucht $ als
Summenzeichen für den untern Zeiger i=1,2,...n, so ist

\=as"f, u=ysSt, ete,,

i

Dun ehe) vg

A— 4;

E_ ‚Ar\ _o_&Pi (ya „Ar ‚ &Ppi ( Ar) &Ppi \2
7 =S,n(24,)=$ "m (27 2,)=S A, 27) v(sZ#.);
also

Ss ru v &Ppi ix
(7) 14 Se Mn)
aber z.B
ix a &
__ ,° == Ei
2 A SEP; (z A, 4) &, pP 27 Y
daher

ABC
überdies
2 ABC 3,5%
ee iya aan.
also
s\* (A—A)(A—4,)...(A— An). e?
(a.

— 160 —

Ist nun Q die gemeinschaftliche Lösung der n gegebenen konfokalen Kontinua, welche
durch die ersten Hauptaxenquadrate A, A’, A”,... bestimmt sind, und werden die
Normalen dieser Kontinua in Q als Axen der Variabeln {,t,t',... eines neuen durch
die Gleichung

r £> f. en
PT a ee er au
dargestellten Systems konfokaler Kontinua aufgefasst, werden endlich die Variabeln
t,t,tÜ,... dadurch völlig bestimmt, dass sie den Werten v=A,,u=4,...u=4,
entsprechen sollen, so giebt die Gleichung (2)
ps De ps 20 _&
(#7) = een. (dr) =t $ rg, , ele. = ae a (8)

Addiert man diese Gleichungen und bedenkt, das 5 --& +. +& = list, so er-

hält man
Var Zu us

|

a)

IV. Setzt man

3 nn
(A—4,% —+ (4' (A — AN? — Ar A j r* a
woraus z.B.
SEN MA) AA eu
UT A Le.

folgt, dividiert die Gleichungen (3) resp. durch A — A,4— 4,4 — 4,,... und

addiert sie, so erhält man
VORN)
IT II

)
aM, un |
1 =, ea ge ‚et 2 2.0.60)

7 A;

Sind die konfokalen Flächen A,4,4A',... und die Lösung L (also auch A,,4A,,... A,)

BeBE DEN, so sind Ps P » +5 Air das» Q, bekannt. Man kann nun für die Brüche
5

I je en
bestimmen die Gleichungen (5) die Richtung des von Z ausgehenden Strahls, welcher

den genannten Bedingungen hinsichtlich der auf ihm abgeschnittenen Sehnen entspricht.
V. Soll das quadratische Kontinuum, dessen erstes Axenquadrat A ist, den Strahl
berühren, so muss die halbe Sehne s verschwinden; man bekommt so die Bedingung

. beliebige Werte annehmen, welche der Relation (4) genügen, und dann

2 2 2

Stege. Bene (Ö)

— 161 —

Sie ist in Beziehung auf 4 vom (n— 1)-ten Grade. Irgend ein Strahl wird also
gerade von n—1 konfokalen Kontinuen berührt. Sind diese dieselben mit denen,
deren erste Axenquadrate vorhin mit A,4A',... 4A"" bezeichnet wurden, so ist
s=s’=-..= 0, und die Gleichung (4) giebt ps = H. Sind die Kontinua 4, 4',4",...
alle fest, aber die Richtung des Strahls veränderlich, so ist p konstant, und s daher mit
H proportional. D. h.:

Wenn durch einen beweglichen Strahl das erste von n festen konfo-
kalen Kontinuen geschnitten und die übrigen berührt werden, so ist die vom
ersten Kontinuum auf dem Strahl abgeschnittene Sehne dem Quadrat seines
mit dieser parallelen Halbmessers proportional.

VI. Denkt man sich in der Gleichung (6) nur die Kosinus &,&,, &,...&, VA-
riabel, so bewegt sich der Strahl um die Lösung ZL herum, indem er fortwährend das
quadratische Kontinuum (A) berührt; er beschreibt also um dieses ein strahliges Kon-
tinuum. Die Formel (6) liefert dann den Satz: \

Wenn aus einer beliebigen Spitze einem quadratischen Kontinuum ein
strahliges Kontinuum umschrieben wird, so sind seine Hauptaxen die Nor-
malen der durch die Spitze gelegten mit dem erstern konfokalen Kontinua,
und die unendlich kleinen Hauptaxenquadrate sind proportional mit den
Ueberschüssen eines Axenquadrats des gegebenen Kontinuums über die
gleichnamigen der konfokalen Kontinua.

V1I. Bei diesem Anlasse wollen wir auch den allgemeinen Fall untersuchen, wo
ein quadratisches Kontinuum überhaupt einem andern umschrieben ist. — Betrachten
wir zuerst zwei quadratische Kontinua, die sich schneiden, und setzen uv=(0, tr = 0
als Gleichungen derselben, so wird « --Arv = 0, wo A einen willkürlichen Faktor be-
deutet, jedes quadratische Kontinuum darstellen, welches durch das (n — 2)-fache Kon-

tinuum des Durchschnitts geht. (Durch _ n (n —- 3) Lösungen wird nämlich im all-

i 2 ; 5 j e ie 1
gemeinen ein quadratisches Kontinuum bestimmt. Wählt man nun Zn (n—+3)—1

Lösungen auf dem Durchschnittskontinuunı und eine ausserhalb desselben auf dem durch-
gelegten quadratischen Kontinuum nach Belieben, so befriedigen jene Lösungen die
Gleichung «—+ Ar = 0 schon von selbst, und diese einzige Lösung dient zur Bestinnmung
des Faktors A. Da jetzt das durch u !- Ar = 0 dargestellte Kontinuum mit dem vorigen
—n (n +3) Lösungen gemein hat, so fallen beide in ihrer ganzen Ausdehnung zu-
sammen.) Macht man nun die Polynome z, v durch Einführung einer (n — 1)-ten
Variabeln homogen und setzt die Determinante der zweiten abgeleiteten Funktionen
oder die Funktionaldeterminante Y(«— Ar) = 0, so bekommt man eine Gleichung
21

=; 69, =

(n -+ 1)-ten Grades für A, durch welche die Bedingung eines strahligen Kontinuums
ausgedrückt wird, das durch jenen Durchschnitt gehen soll. (Siehe die Bemerkung am
Ende von $ 36.) Es giebt also solche strahlige Kontinua, seien sie nun reell oder
imaginär. — Nehmen wir jetzt an, der Durchschnitt sei im Besondern eine Berührung,
d. h. für jede gemeinschaftliche Lösung der Gleichungen « = 0, v = 0 seien die n—+1
ersten abgeleiteten Funktionen von « mit den entsprechenden von v proportional, so
sind sie es auch mit denen von @«—-Ar, d.h. alle in der Gleichung « -+-Av=0 ent-
haltenen quadratischen Kontinua berühren einander in der ganzen Ausdehnung eines
(n — 2)-fachen Berührungskontinuunis. Unter diesen giebt es strahlige Kontinua. Ist
ein solches nicht schon linear, so liegt das Berührungskontinuum ganz in dem (n—1)-
fachen linearen Polarkontinuum seiner Spitze. Hieraus fliesst der Satz:

Wenn zwei quadratische Kontinua sich in einem (nu —2)-fachen Kon-
tinuun berühren, so fällt dieses Berührungskontinuum ganz in ein (n —1)-
faches lineares Kontinuum.

. Wird dieses lineare Kontinuum durch die Gleichung s = 0 dargestellt, so muss
also v die Form u —+- ks? haben, wo %k einen willkürlichen Faktor bedeutet. Setzen
wir nun

u’ ort een —l, s=uxz-Hby--'--—|1,
so wird
vw= 2 —1+k(Zaz— 1-0

die Gleichung irgend eines dem Kontinuum x = 0 umschriebenen Kontinuums_ sein.

Wir suchen zunächst die Werte f, g,h,... seines Centrums. Setzt man f, 9, h,..
anstatt z, Yy,..., so sind sie durch die Gleichungen 9 0, e =: 0, etc. bestimnit.
Also ist

K-kas=0, -kbs=0, etc.

Multipliziert man diese Gleichungen mit Aa, Bb,... und addiert sie, so erhält man

>. i 1
s--1+-ks24W=(, =: Se
__ kAa kb
Vera Ina

Hierdurch sind die Werte des Centrums bestimmt. Setzt man nn 2 =f-+x,
Yy=4Y--Y,..., so wird

r'? I:

ae R VEN EN: 5 9 5 Eur:
ee (Zur) +0 —1, wo © ERST,

— 13 —
Es seien ferner A, u, »,... die Richtungskosinus einer Hauptaxe, ww (1 — ©) das Quadrat
derselben, /=aA-+bDbu--:-:--, so hat man
ee :
a=, ete.,
also

BR: Aa .ı ‚„.Db
k=kAw—. u=kAug—,, ete,

und wenn man diese Gleichungen mit a, b,... multipliziert und addiert,

rem: Ad _, (Aa) n 3
1=-kw2ij =k(r 7, — EA),

wo A—ı
oder
Ada? _1 Peincn
Fo = 50 oder Ze OR
Es ist ferner a = eo: = Sp etc., also

2 (2

1 ° k
ZA®d= 4,26, k-0+8zf,

= :

0 — 5

u °

ee

Die Gleichung des umschriebenen Kontinuums kann jetzt unter der Form

Fe ee N ade BR) OR
ba zer, o) 0
gegeben werden. Es sind dann f,g,lı,... die Werte seines Centruns, 2 a ...

diejenigen des Pols des (n — 1)-fachen linearen Kontinuums, welches durch die Berüh-
rung gelegt ist. Wird das Centrum festgehalten, so kann also der Pol sich nur auf
dem Strahle bewegen, welcher beide Centra verbindet. Man verändere nun die linearen

. . « . . .. u Fr
Dimensionen des ersten quadratischen Kontinuums im Verhältnisse 1: ©, und lasse
dieses neue dem ersten ähnliche und konzentrische Kontinuum eine Schar konfokaler
Kontinua bestimmen, von denen n durch das zweite Centrum (f,g,...) gehen werden

j |
und durch die Gleichung &
Ta
n verschiedene Werte zu denken hat. Da aus den obigen Relationen jezt leicht

y} | h

a BE en ee ee a TS sind die ım zweiten Centrum er-
f A—w'’B-wu’C-vw gt, so d et

richteten Normalen der Richtung nach die Hauptaxen des umschriebenen zweiten Kon-
tinuums, und im Ausdruck « (1— ©) sind alle entsprechenden Axenquadrate enthalten.

— @ dargestellt sind, wo man für w naclı und nach

a A0h

Durch diese Erörterung ist die Aufgabe gelöst, einem gegebenen quadratischen
Kontinuum (dessen Centrum OÖ) ein anderes umzuschreiben, wenn sein Centrum L und
auf dem beide Centra verbindenden Strahle OL nach Belieben ein das Berührungs-

kontinuum bestimmender Pol P (0 Dr 4, O0 L) gegeben sind.

$ 42. Reduzierte Form der Differentialgleichung zweiter Ordnung eines
höhern Kontinuums.

Es sei f (x, y,...) = 0 die Gleichung eines höhern Kontinuums, $,v,... seien
die (als unendlich kleine Grössen erster Ordnung zu denkenden) Inkremente der n-
Variabeln x, y,..., und

d
EI er PR
rar

ein Ableitungssymbol, für welches &,rv,... als konstant gelten; dann ist bis zur zweiten
Ordnung der Inkremente

Jat+syt+n..)=f(an..)+Df+, DDf=0,
also
Df+,DDf=0,

und da D D/ von der zweiten Ordnung ist, so muss auch D/f von der zweiten Ordnung
sein. Sind nun A, a,... die Richtungskosinus der Normale, [= RA, 2 = Klin

also

Df= R(AS+ur+v{i+.. )J=Rkt,

so ist auch f, oder „die Entfernung der Lösung (ce + &y-H-rv,...) des gegebenen
höhern Kontinuums vom linearen Tangentialkontinuum“, eine Grösse zweiter Ordnung.
Demnach ist in der vollständigen Gleichung DDf= D. Rt-=-tDR: HR Dt rechts
das Glied DR als Grösse dritter Ordnung im Vergleich mit Dt=5 DiA-+r Du—+---
als einer Grösse zweiter Ordnung zu vernachlässigen, sodass man einfach hat:

DDf=RDt. Folglich ist

eu Dee

die Differentialgleichung zweiter Ordnung des gegebenen Kontinuunis.

= oh =

Es seien jetzt &= At + at at"... vV=eunt- BB" +: -, etc.
[22 ZB)
orthogonale Transformationsformeln, durch welche Dt in F + Zr —+ +» +» - übergeht, und

die Ableitungssymbole mögen sich nur auf A,u,»,..., aber nicht auf die übrigen bis
jetzt noch unbestimmten Richtungskosinus beziehen, ebensowenig auf t',t",.... Es
sei ferner

’ ‚9 ‚Od [A ‚od ; ZN; nr
6=a,,-tß ee = Beh öy T0 etc.; also D=-tö+td----,;

0 dr

r dt dl 5 ‚ ‚
daher —=Ööt-+D TA; aber es ee la +uß+:

(Dt)
01
was bloss formell zu verstehen ist; also D 5 =«Di+Bß'Du-+--- Nun is
ö‘Df=DöÖf, oder

d(R)= «aD De+BD + = @D(RW--RD(Ru)-+:--
oder

töER+Röt= R(@@Di+ PB Du+--)+(a@+uß-+:--)DR.
Da aber t von der zweiten Ordnung und Aa -+ uß-- --- = 0 ist, so folgt

öt= «DAB Du-----

Demnach ist endlich
9(D

"sr — 2 Ö t,

rn

2
oder, da Di= Mr + —+ + - » vorausgesetzt war,

2
0
t'

sE —-dt=FölA +-röu+---

Da diese Gleichung in Beziehung auf t’,t ,... identisch, und ohnehin wegen A’+ u‘. —=1
auch AO + udu—:.:-=0 ist, so darf mant=A,t!=«,t"=a”,... darin sub-
stituieren, wodurch © = 1,v=&=:-:.- = (0 wird, und bekommt

yet

a! r e ’ '
-, = Öd4, ebenso > =du,- =0d», etc.,
e p p

oder in expliciter Form:

== 66,

IR I\ Oi, MI ,
echter | a A
Iu ’ du 1 n Du ’ Sur
tler zu + De 0.)
etc.

Eliminiert man aus diesen n Gleichungen die n —1 Verhältnisse «': B:y:...,
so scheint sich auf den ersten Blick eine Endgleichung n-ten Grades für die Unbekannte

Fr zu ergeben. Das von derselben freie Glied ist aber die Determinante & + 2 . - ..

und muss wegen der Gleichungen

OR du Ir

terre, |
OR Yu Or | |
a Te 0,

etc.

verschwinden, da 4, u, »,... nicht alle zugleich verschwinden dürfen. Jene Endgleichung

1 . . “s . . .
hat also den Faktor ,;, den wir nicht brauchen können, und erniedrigt sich nach Ent-

N

fernung desselben auf den (n — 1)-ten Grad. Bezeichnet man ihre n — 1 Wurzeln mit

1 | 1

a etc., so geben die Gleichungen («) für jede derselben im allgemeinen nur eine

Gruppe bestimmter Verhältnisse (a: B’':y:..., (@: BP :y':...), (@:ß":y':...), etc.,
und es bleibt noch nachzuweisen, dass diese Verhältnisse wirklich den Orthogonalitäts-
bedingungen genügen. Multipliziert man die Gleichungen (a) mit A, u, »,.... und addiert
sie, so ergieht sich

SET RN
_ nn 0, oder Aatuß-+ =).

Multipliziert man sie mit Z, so erscheinen sie unter der Form:

Of

SGE-RIRHRU, 89, = uöR+RE,, ete.

Multipliziert man jetzt die Gleichungen mit «@',ß”... und addiert sie, so erhält man,
da schon A«@ — - u 3’ — --- = 0 bewiesen ist,

Ru 2 (daB), ebenso dUf = : (ea BB rer):

— 467

da aber Gd f= ööf ist, so folgt hieraus

ae
o’ 0

; 1 1 j ö i
und, wenn die Wurzeln ge ungleich sind, notwendig

) (dat BB")

|
o

ae —- En re

Hieraus kann ebenso, wie bei der Bestimmung der Hauptaxen eines quadratischen Kon-
tinuums in $ 40, geschlossen werden, dass, wenn alles übrige reell ist, immer alle ge-
suchten Grössen e,_',... und die entsprechenden Transformationselemente «', $',...
reell sein werden.

Was den Fall betrifft, wo die Endgleichung für eo. dieselbe Wurzel mehrfach ent-
hält, so weiss ich da nicht anders zu helfen, als indem ich dem System der Gleichungen
(a) eine Form gebe, wo die Vertikalzeilen der Koeffizienten mit den Horizontalzeilen
gleichen Rangs übereinstimmen, nämlich:

rer ar He =,
ur leder e r |
et et
Mu ae + Br or rnmo
etc.
Hier ist = = vW= — ö’log R. Die Form dieses Systems giebt auch sogleich zu

erkennen, dass die Endgleichung in s nur vom (n — 1)-ten Grade ist. Wendet man
auf dieses System die gleichen Schlüsse an wie in $ 40, so gewinnt man auch die Ein-
sicht, dass, wenn die Gleichung für s’ z. B. eine m-fache Wurzel hat, auch m Gleichungen
des Systems von den übrigen abhängen müssen, sodass man statt der gesuchten ein-
fachen Richtung ein m-faches lineares Kontinuum erhält.

Zu den Gleichungen (b) gelangt man unmittelbar so. Es war Df—+ _ DD/=d0;
und es sol Df=R AS+urv-+-.- )= Rt X +wW-+-:-- = |], ferner, wenn
S=At—+a«t-+at"+--., etc. orthogonale Transformationsformeln sind und t= 0

gesetzt wird, DDf=st’+s't'’+--- sein. Dann ist st!= z an DDf, und, wenn
. D:= a + ß > 4 ..2=6, etc. gesetzt wird, Sst!= Dö'f. Da diese Gleichung

ee. 68

in Bezug auf t’,t",... identisch ist, so kann man auch !=a',t"=«',... setzen,
a Bez, ee a 8 9 oo)
wodurch $ =1 ie ber Au, = Av, also Di, a (A a

wird. Setzt man nun abkürzend

RE ‚df EIN nn
Rymad lt )=R,

also "= — ö’log R, so hat man

Of

we 4 My, ee,

sa =
Or

woraus durch Entwicklung die Gleichungen (b) hervorgehen.

„

Setzen wirnuns= — wa gen (ändern also die Vorzeichen der früher
gebrauchten 0,0 ',...), so nimmt die zweite Differentialgleichung des gegebenen höhern

Kontinuunis die Gestalt

y? 2 2
2t=—-+t Tau u Tr
& 2 0

an. Denkt man sich im Tangentialkontinuum t= 0 von der Berührungslösung aus
irgend einen Strahl » gezogen, der mit den orthogonalen Axen der f,',... Winkel
bildet, deren Kosinus €, €',... seien, so ist

Da das Aggregat auf der rechten Seite dieser Gleichung nur gegebene Grössen enthält,
so ist k konstant, und man kann den Schnitt („= 2%kt) des durch die Variabeln t,

bestimmten linearen zweifachen Kontinuums (Ebene) als Kreisbogen auffassen vom Halb-
messer A; sein Centrum hätte die Werte + Ak, y-+ul,..... Wir nennen Bi die
der Richtung r entsprechende Krümmung des höhern Kontinuums, # den Krümmungs-
radıus, .. : ... die Hauptkrümmungen und die entsprechenden Richtungen

)
(d,Bsys...h (@,ß,Y ,...) etc. die Hauptkrümmungsrichtungen. Ist
so ist

unter den Hauptkrümmungsrichtungen ist also eine die Richtung der grössten, eine
andere die der kleinsten Krümmung.

— 169 —

Satz. Werden in dem (n— 1)-fachen linearen Tangentialkontinuum
aus der Berührungslösung Radien eines regulären Polyschems gezogen, so
ist das arıthmetiscehe Mittel der allen diesen Radien entsprechenden Krüm-
mungen des höhern Kontinuums gleich dem arithmetischen Mittel der n—1
Hauptkrümmungen und bleibt also konstant, wenn auch jenes reguläre
Polyschem um sein Centrum gedreht wird.

. . P- 1 €? ee? ‚ .
Beweis. Oben war die Krümmung = — +77 +» wenn e,0',... die
v =
Hauptkrümmungsradien und e’,E',... die Kosinus der Winkel bezeichnen, welche die

Richtung der Krümmung . mit den » — 1 Hauptkrümmungsrichtungen bildet. Da nun
vermöge $ 35, wenn das Symbol M ein arithmetisches Mittel anzeigt, im Sinne des

ausgesprochenen Satzes M- E’=- M-d’=..:-— — ist, so folgt
1 1 1 1
Mo = („+ 7 +), oder
Mi
U; =M:-

Da wenigstens für den Raum die Summe und das Produkt aller Hauptkrümmungen
von Bedeutung sind, so wollen wir aus der algebraischen Gleichung für e die betreffenden
Ausdrücke herleiten. Der Krümmungsradius o ist hier so zu verstehen, das x — Ag,
Yy-—u0,.... die Werte des Krümmungszentrums sind. Wir können den (n — 1)-ten
Teil der Summe aller Hauptkrümmungen auch mittlere Krümmung nennen; die al-
gebraische Gleichung, welche aus dem Systeme (a) durch Elimination der Richtungs-

kosinus «a, ß, %, - .. hervorgeht, giebt für dieselbe den Ausdruck
| | IR Ju dv Ne:
Tea )

Entwickelt man die Determinante der Koeffizienten in den Gleichungen (2), so bekommt
die höchste Potenz s"-' den Koeffizienten — (— 1)""'R’, und da s”""'= k""':0""'
ist, so erhält man für das Produkt aller Hauptkrümmungen den Ausdruck

1 af af If. ‚{I9f\ af\? . a
TE ae Ale ns e
Bf dr aa
du De Dedy dad
SLUB 2 ER: BEER
O4 Oydz MW Oyo:

. ee -— 8 8 8 [Tr Te re Tr rı —rı To oe

Am Ende dieses Paragraphen gebe ich noch einige mehr unmittelbare Ausdrücke
für die Krümmung und für ihre Variation. Oben waren die Hauptkrümmungsrichtungen
durch die Gleichungen

\}

22

— 170 —

Da En

‚os ze lisa 7 A, Fe Er etc.

bestimmt. Geht nun im Tangentialkontinuum von der Berührungslösung aus irgend eine
Richtung, welche mit den Axen der &,y,... Winkel, deren Kosinus «, ß,y,..., und

mit den Hauptkrümmungsrichtungen Winkel, deren Kosinus €, €',... sind, bildet, so ist

ne de ae a = Be+ Be + ash, etc.;
also
2 /

a'g' a €

vo u ’

OA IR 4 ’ [2 =.
Beh IT ee

'

ee ee ns.
eye u o' m 0" u etc.,
ILWRE Bud ... BR RR NE |
let t+ Hr Rleg tg, + )+ete= +7 u. =
oder, add = ads, dy=ßds,... d’= de + dy-+ --- ‚ auch

I _dedi+dydu+drdr+---

—

k de + dy’+dze’+--

dies ist der anfangs erwähnte Ausdruck für die allgemeine Krümmung.
Derselbe soll nun bloss in Beziehung auf die Differentiale dx,dy,... varliert
werden, und d sei das Symbol dieser Variation. Es ist

Zdzdayl = Edxö(Rda-tAdM—REdeddi+tddRkide;

also, da 2Adx =0 sein muss, Idxoöd n —= R2dxoöddıA. Andererseits ist

ar _ uf ef u
a en a

daher

af _ sr ff Lu BR DRBE ERRER

= dyl-das+dyl-0dy+ = EiRdr--AdR)dda= REda.öda--AR Eidda.

Da aber Zi dx = 0 ist, so folgt auch 2ZAöde =; also ist Edaxdd a. = RM :Edıi.dde.
Aus beiden Verwandlungen folgt endlich

Zdcöodi= Edı.dde.

— 171 — .

Mittelst dieser Relation ergiebt sich nun leicht

ee ne Ver
k d.ec + dy” + dz? Here

Wenn diese Variation, unabhängig von den Variationen ddx, ödy,..., ver-
schwindet, so möge das betreffende k durch o ersetzt werden; man erhält dann die Be-
dingungen

welche die Bedingung Adx+udy-vdz-----=0 schon in sich -enthalten; es ist
sogleich klar, dass sie mit den Gleichungen («) zusammenfallen; sie dienen daher eben-
falls, um die einer Hauptkrümmungsrichtung entsprechenden Verhältnisse dx:dy:dz:...
und den zugehörigen Hauptkrüämmungshalbmesser og zu bestimmen. D. h. dieselbe ana-
lytische Bedingung dk = 0, welche den grössten und kleinsten Krümmungshalbmesser
liefert, giebt zugleich alle Hauptkrümmungsrichtungen samt den zugehörigen Halb-
messern.

$ 48. Ueber orthogonale Kontinua überhaupt, und über die Hauptkrümmungen
eines quadratischen Kontinuums.

Definition. Wenn n Funktionen f, f,f ‚... der n Variabeln x, y,... so be-
® ® 1 \ .
schaffen sind, dass die — n (n — 1) Gleichungen von der Form

apafı drop, Ardr

Tu

alle in identischer Weise bestehen, so bilden die n durch die Gleichungen f = const.,
f' = const., f= const., etc. dargestellten Scharen (n — 1)-facher höherer Kontinua ein
System orthogonaler Kontinua.

Dass solche Systeme auch für eine beliebige Dimensionszahl existieren, ist durch
die konfokalen Kontinua zweiten Grades bewiesen.

Satz. Orthogonale Kontinua schneiden einander in den Haupt-
krümmungsrichtungen.
If’

BER If _ af _ | ; > _ ee
Beweis. Es sei 0 “--wW- =], I: = R4,
L = Ru,..„ Mut... =1, etc, so sind A,u,...; A,w,...; etc. orthogonale

Transformationselemente.

Wenn man also die Gleichungen

Fe rda-t andy: . = Aldca+wWdy--:-»vetec.

mit 4,A',... multipliziert und addiert, so folgt

dz=1. +4 Er A e0 dy=n u ur — +... 9,cetc.

Daher ist, wenn man jetzt f, f,f ‚... als die unabhängigen Variabeln ansieht,

_p9r _p9y ‚v_p' dr
— A .— R af’ u —— R If’ . ’ A — R df' yeroy etc. =
Wir wollen nun die Summe
y [Z Ö ). : „ 6) u [7 Ö A
G=4 öf' ; u df' ee — 24 df'

betrachten. Zuerst folgt aus der Gleichung AA’—-uu”’—+---=0, wenn sie in Be-
ziehung auf f differentiiert wird, sogleich

9
G=— Zipper.

Zweitens folgt aus den Gleichungen A = R 57 ..., dass

R Or
‚ ' Bo If [7 0:r IR »öOx
G=EN—,, U =REN pt ap Zi,
ist. Da aber Z4 7 = 22 —0 ist, und der Ausdruck N4” yror durch Ver-

tauschung von f und f’ nicht geändert wird, so folgt

) ’ r [2 0? LE ’ » ’‚ Ö ). BR [2 OR
RR df df' — = RR ZA of’ R SA of" . . . . . (2)
Wegen der Relation (1) ist
sn OÖ ‚X

und wegen (2) sind

’ IX [2 91' ‚9% ’ ’ IR
xv —— ELSE _—— Leg
RS>S4 If =R 21 ap iz za dp
Da nun jeder der beiden Ausdrücke links = — R’@ ist, so folgt
9% u‘
21 df” —= Zi 8,” 2
Nach (1) ist aber auch
8X u
v Se n ER
24 d77 4 34 7 0.
. Ir
Also ist 24 gr 0, oder @ =.
Betrachten wir ferner die Summe H = 54 dr ,‚ so ist
Ir r 1
9-RT d- —
__L n df RN Ay 0° nr D I’ EZ R'
Differentiiert man endlich die Gleichung A?-+ u®+--- =1 nach f‘, so hat man
|

Nach dieser Vorbereitung stellen wir die n Gleichungen

‚N pet et Peaeh

Etage —H,

B ALE 200 Ale

KH = 0,
etc.

a, = uhH, IF = vH, ete.

ist. Da wir aber = R' de etc. hatten, so bekommen wir nun die Proportionen

I N art. ne.
af "dr "9Hf Er af "9Hfr "df'"

— 174 —

oder, wenn f ,f ,‚f ,... als konstant angenommen werden,

’ AA du _ dv ,,,._41
R H= dx en dy =. dz za en Q oe. . . . . . . (3)
f ö f 5 : i d’ du
Betrachten wir weiter nichts als diese an —1 Differentialgleichungen ee

so ist klar, dass ihre vollständige Integration n — 1 finite Gleichungen mit n — 1 arbi-
trären Konstanten erfordert. Nehmen wir alle früheren Voraussetzungen hinzu, so kennen
wir wirklich das vollständige System Integralgleichungen für (3), nämlich / = const.,
f' = const., f "= const., ete.; denn dieses enthält n — 1 arbiträre Konstanten.

Die Gleichungen (3) sind uns aber auch sonst schon aus $ 42 bekannt als Be-
dingungen für eine Hauptkrümmungsrichtung des Kontinuuns f = const. Wenn also in
der n-fachen Totalität ein System orthogonaler Kontinua existiert, so wird jedes einzelne
Kontinuum von je n— 2 der übrigen in einer Hauptkrümmungsrichtung geschnitten.
Wir wollen dieses noch strenger begründen.

Durch das System der Gleichungen (3) sind die Verhältnisse dx: dy:dz:...
in algebraischer Weise bestimmt. Nach der obigen Herleitung von (3) würden die-
selben den Verhältnissen A: w: v':... gleich sein. Da man aber nur die Funktion f
zu kennen braucht, um die Gleichungen (3) bilden zu können, so ist klar, dass auch die

Verhältnisse A’: w':v":..., oder die Verhältnisse A”: u”: v’':...., oder u.s. f., für
dx:dy:dz:... gesetzt, dem System (3) genügen. Dieses hat also wenigstens
n — 1 algebraische Lösungen (dx:dy:dz:...). Wir wissen nun schon, dass es gerade

» — 1 solche Lösungen hat; es sind die Hauptkrümmungsrichtungen. Wenn wir also
die n arbiträren Konstanten durch die Substitution einer bestimmten Lösung (x, y,...),
von der die Hauptkrümmungsrichtungen des Kontinuums f= const. ausgehen sollen,
fixieren und dann der Gleichung dieses Kontinuums je n — 2 der Gleichungen f = const.,
f' > const., etc. beifügen, so bestimmt jede der so erhaltenen n — 1 Gruppen von
finiten Gleichungen je eine Hauptkrümmungsrichtung des ersten Kontinuums.

1 ‚ Zr e . n
— = RH (siehe (3)) für H seinen früher gefundenen

Wert setzt, so erhält man als Hauptkrümmung des Kontinuums f = const. in der Rich-
tung der Normale des Kontinuums "= const.

Wenn man in der Gleichung

Die allgemeinen Betrachtungen sollen jetzt auf die konfokalen Kontinua arn-
gewandt werden. Da eine vollständige Schar derselben alle n Gattungen reeller Kontinua
zweiten Grades enthält, und jedes Kontinuum aus einer Gattung von allen Kontinuen
der übrigen Gattungen reell und orthogonal, aber von keinem derselben Gattung

— 175 —

geschnitten wird, so zerfällt jene vollständige Schar in n besondere Scharen, die ein voll-
ständiges System orthogonaler Kontinua darstellen. Wenn daher in der n-fachen
Totalität irgend ein reelles quadratisches Kontinuum und auf demselben eine Lösung
gegeben ist, und man legt durch diese die » — 1 konfokalen Kontinua, so wird jenes
erste von irgend n — 2 aus diesen in einer Hauptkrümmungsrichtung geschnitten. Oder
kürzer ausgedrückt:

Konfokale Kontinua schneiden einander in den Hauptkrümmungs-
richtungen.

Sind nun, wie früher, A,, A,,... A, die ersten Axenquadrate konfokaler Kontinua

aus n verschiedenen Gattungen, so treten diese Grössen an die Stelle von ,f ,/ s---

und wir wollen die Hauptkrümmung des Kontinuums (A,) suchen, deren Richtung in

die Normale des Kontinuums (4A,) fällt. Zunächst haben wir A! = (4) + (5) ee ...
x 9y

zu berechnen. Wenn wir die Gleichung “ _- 2 4 ...—= 1 nach x differentiieren, so

x? y° , dA, _ 0. od d t hende P
Fr Bi “*) 9, = 0, oder wenn p, das entsprechende Perpen-

dikel und A,, &,,-.. die Richtungskosinus der Normale bezeichnen

. 9:
erhalten wir — — (
4A,

dA, ? dA,
ae 2 = 29,,4,, ebenso u 297, 4, U. S. f.;
also R=2p,, R;,=2p.. Bedeutet Pr die gesuchte Hauptkrümmung, so haben wir

nach der obigen allgemeinen Formel

1 log R, __ dlogp,
EB A,.Bi Ca + 1, dloe(a—A) _ mM _
oder, da p= 4 aa 0. and dA, re
oder endlich po= A, — 4.:

D.h. für jede auf einem quadratischen Kontinuum gegebene Lösung L ist das Produkt
des zugehörigen Perpendikels mit einem der n — 1 Hauptkrümmungsradien gleich dem
Ueberschuss eines der Axenquadrate des gegebenen Kontinuums über das gleichnamige
Axenquadrat desjenigen durch L gelegten konfokalen Kontinuums, dessen Normale in
die gewählte Hauptkrümmungsrichtung fällt. Oder nach dem aın Ende von $ 40 aus-
gesprochenen Satz: Die n — 1 von der Lösung L ausgehenden Hauptkrümmungs-
richtungen sind parallel mit den Axen des zu L konjugierten diametralen Schnitts, und
die Quadrate dieser Axen sind resp. gleich den Produkten des zu L gehörenden

Perpendikels mit den entsprechenden Hauptkrümmungsradien. Hieraus folgt leicht, dass
überhaupt das Quadrat irgend eines Halbmessers des diametralen Schnitts gleich ist
dem Produkt des Perpendikels mit dem Radius der Krümmung von paralleler Richtung:
— ein Satz, der auch unmittelbar bewiesen werden kann.

S 44. Allgemeine Betrachtungen über die Existenz orthogonaler Kontinua;

Konstruktion eines ganz beliebigen Systems orthogonaler Flächen im Raume.

I. Während für den Raum die Untersuchung über die Bedingungen der Existenz
eines beliebigen Systems orthogonaler Kontinua völlig erledigt werden kann, unterliegt
sie für eine mehr als dreifache Totalität ° bedeutenden Schwierigkeiten. Man erwarte
daher hier keine Entscheidung der Frage, ob z.B. in der vierfachen Totalität noch
andere Systeme orthogonaler Kontinuen existieren ausser den konfokalen; sondern der
Zweck dieses Paragraphen ist nur, die erwähnten Schwierigkeiten in den einfachsten
Ausdrücken darzulegen. Für den Raum hingegen werde ich am Schluss dieses Para-
graphen als Anwendung der allgemeinen Formeln die Konstruktion eines Systems ortho-
gonaler Flächen zeigen, wenn eine einzige derselben beliebig gegeben ist. Ob diese
Konstruktion neu ist, weiss ich nicht, da mir die Originalabhandlungen, worin der Be-
griff der ortliogonalen Flächen zuerst erörtert ward, nicht zugänglich gewesen sind.

Wenn die n Funktionen f, ff ,... ein orthogonales System in der n-fachen

Totalität darstellen, so muss, da nach der Bezeichnungsweise des vorigen Paragraphen
df=R(Xde+wWdy-----) ist, die Differentialgleichung

Adz-:-Wdy--rde+ =0. . 0.0.0.2...

integrabel sein. Die Zahl der hierdurch geforderten Bedingungen ist

, (an —D)(n—2) en. nn — 1) —- n—])

und stimmt daher mit der Zahl der in der Natur der Aufgabe liegenden Bedingungen

für die Funktion f überein; denn wir hatten ursprünglich -, n (n — 1) Gleichungen,
worin die n— 1 Funktionen f’, f",... zu eliminieren sind. Da ferner A,w,... die
Rtichtungskosinus einer Hauptkrümmung des Kontinuums f= const. und daher aus $ 42
uns als irrationale Funktionen der partiellen Differentialkocffizienten erster und zweiter
Ordnung von f bekannt sind, deren Verhältnisse sämtlich in rationalen Funktionen einer
und derselben Wurzel einer algebraischen Gleichung (n — 1)-ten Grades ausgedrückt

werden können, so muss auch jede der erwähnten Integrabilitätsbedingungen, von der

— 17 —

Irrationalität befreit, als partielle Differentialgleichung dritter Ordnung in Bezug auf
die unbekannte Funktion / sich darstellen lassen; und man wird sich aus der Form
der Gleichungen (a) $ 42 leicht davon überzeugen, dass sie in Beziehung auf die
Differentialkoeffizienten dritter Ordnung höchstens auf den (n— 1)-ten Grad steigen
wird. Haben wir aber einmal die > (n — 1) (n— 2) Integrabilitätsbedingungen der
Differentialgleichung (4) in rationaler Form, so ist sofort klar, dass in denselben auch
diejenigen für die übrigen Gleichungen A'’dx+u”’dy-+-:-=(, etc. schon mitbegriffen
sind. Wir hätten demnach für die gesuchte Funktion f wirklich nur dieselbe Zahl
> (n — 1) (n — 2) von Bedingungen zu erfüllen, welche die Natur der Aufgabe auf den
ersten Blick zu erfordern scheint. Wir sollten es aber im allgemeinen für unmöglich
halten, dass eine einzige Funktion mehrern partiellen Differentialgleichungen dritter
Ordnung zugleich genügen könnte, wenn nicht die Existenz der orthogonalen Kontinuen
uns faktisch von der Möglichkeit überzeugte. Es wäre daher höchst interessant, wenn
es gelänge, a priori von den partiellen Differentialgleichungen aus zu entscheiden, ob
ausser den konfokalen Kontinuen noch andere orthogonale Systeme existieren oder nicht,
und im letzten Falle aus den Bedingungen mit Notwendigkeit auf die konfokalen Kon-
tinuen zu schliessen. Das Wenige, was nun folgen wird, steht freilich weit hinter
diesem Ziele zurück.

Wir wollen sämtliche Integrabilitätsbedingungen der Gleichung (4) in einer ein-
zigen Formel zusammenfassen, und um für diesen Zweck die Bezeichnung möglichst
abzukürzen, setzen wir

6) 0) 0) d
erg, =D,
wo A,&,... die zugleich mit der Funktion f gegebenen Richtungskosinus der Normale

sind; und, um auch für das Auge die in irrationaler Weise bestimmten Haupt-
krümmungsrichtungskosinus von jenen scharf zu unterscheiden und unsre gänzliche
Unbekanntschaft mit den Funktionen f', f ,... anzuzeigen, bezeichnen wir diese n —1
Kosinusreihen mit (a,ß, 7, ...), (@,ß ,%,...), etc. und setzen ferner

8 8 8. _ er; BR
a AT Pa et, rm, eii,
so dass, wenn 0,0,_ ,‚... die entsprechenden Hauptkrümmungsradien bedeuten,
a u.a... LU... 1 cd
a By ar a Zu ae

wird; endlich gebrauchen wir n — 3 unter sich unabhängige Reihen von je n beliebigen
23

— 1718 —

Grössen q,, dis Cr» = +5 Ags Da, - . 5 etc; u_» &._s...- Wird nun über die Zeichen
der Variabeln, auf welche die Operationen D,d,d',... einzig ausgeübt werden sollen,
ein horizontaler Strich gesetzt, so sind sämtliche Integrabilitätsbedingungen der Gleichung
edz-+-ßdy-+---=0 in der Formel

velB 2:8 0 rel: e)
a DB Yo rein
ee DD EV
u bb C
lg. bb (, Er
ER EL IE REN

vereinigt. Denn man würde z. B. die Integrabilitätsbedingung

93 dy Iy da Ir 93 Be
rer)
aus (5) erhalten, wenn man == --=q4,,=0, b=b,=:.--=b,_,=0,
=Uu=*':':—= („_;3= 0 setzte. Wir können nun der Determinante U eine andere Gestalt

geben, wenn wir die nicht überstrichenen Variabeln a, ß,Y,... durch Determinanten
(2 — 1)-ter Ordnung ersetzen. Wenn nämlich

d=EHtrByöe"...

die Determinante aller orthogonalen Transformationselemente A, u,...;a,ß....;@,B,...;@,

ß...; ete. bezeichnet, deren Wert bekanntlich + 1 oder — 1 sein kann, und wir uns für

die Annahme des positiven Werts entscheiden, so ist, wenn die Differentialkoeffizienten rein
9.4 94

formell verstanden werden, & = ga p= 05’ etc.; daher
U-=19,.0,. 0%, h EB area D. ad. d sel;
Bis Pe u en (Aa) . (da) . (ae) ....
Me: Ds Le BE a ee Aa). (@a). (@ a). -..
del R u e Ar). (aa). (ea). ...

wo abkürzend z.B. (aa) =Aa+ub--vc-H---- gesetzt ward. Im ersten durch einen
einfachen mittlern Vertikalstrich in zwei Hälften geschiedenen Schema enthält jede
Hälfte a» —-1 Horizontalzeilen mit je n Elementen. Das Schema bedeutet, dass man in

— 179 —

beiden Hälften je zwei gleichnamige Vertikalzeilen weglassen, die zwei Determinanten
der übrigen Elemente miteinander multiplizieren und die Summe der so entstandenen
n Produkte nehmen solle. Diese Summe wird nun bekanntlich auch erhalten, wenn
man die Elemente irgend einer Horizontalzeile der ersten Hälfte des Schemas mit den
in irgend einer Horizontalzeile der zweiten Hälfte enthaltenen gleichnamigen Elementen
multipliziert, die Produkte addiert und aus allen solchen Produktsummen die Deter-
minante bildet. In der zweiten Horizontalzeile dieser Determinante steht (A «) als erstes
Element; da es mit dem Öperationszeichen D in der gleichen Vertikalzeile liegt, so
können auf dasselbe nur die übrigen mit d’,d,... bezeichneten Operationen ausgeübt
werden. Nun ist A@a+uß---=(, also

0=d'(Aa) =d (Aa) +d'(ie), oder d’(Ae)= — Fad'ı;

aber di = z’ ...; also d’(Ae) = — ern — 0, ebenso d’(Ae)=0, u. = f.
Man kann also in der letzten mit U äquivalenten Determinante das Element (A«) ge-
radezu durch 0 ersetzen. Da man ferner die n (n — 3) freien Grössen a, b, c,... immer
so wählen kann, dass in der betrachteten Determinante (n — 1)-ter Ordnung jedes in
den n— 3 letzten Horizontalzeilen vorkommende Element einen willkürlich gegebenen
Wert erhält, dass z. B. alle in irgend zweien Vertikalzeilen vorkommenden Elemente
gleich Null werden, so folgt aus U= 0, dass alle im Schema
D.d .d .d” ..... Bi Die. Au ai a 2a 200)
0..(da). (da) .(d’a).....
enthaltenen Determinanten zweiter Ordnung einzeln verschwinden; und umgekehrt, aus

(6) folgt (5) oder die Integrabilität der Differentialgleichung ad x + ßBdy-----—=(.
Wir bekommen also n— 2 Gleichungen

«Da+ßDB+--:-=0, «"Da+ß"DB+--=0,etee ... MN
und > (n —2) (n— 3) Gleichungen
a da+B’dB + =ad’a+4-Bd’B+---‚,ete. . 22...)

In der Absicht, diesen Gleichungen eine Form zu geben, worin die dritten Diffe-
rentialkoeffizienten der Funktion f sichtbar hervortreten, führen wir zuvor einige Ab-
kürzungen ein. Wenn z.B. die Polynome «& c+ßy-H-yz+--- undAc+uy-+vz-t---
mit einander multipliziert und im entwickelten Produkt Glieder wie x°,& y resp. durch
sn: 3er ersetzt werden, so soll die entsprechende zusammengesetzte Operation durch

— 180° —

(d._D) oder (D..d) bezeichnet werden; die Elemente der operativen Polynome D, d
werden dann wie Konstanten behandelt, und bei ihrer Multiplikation wird den Opera-
tionen selbst kein gegenseitiger Einfluss verstattet. Bezieht sich hingegen z. B. die
Operation D nur auf die Elemente des operativen Polynoms d, so soll die daraus her-
vorgehende neue Operation durch Dd bezeichnet sein. Es wäre demnach, wenn 9
irgend eine Funktion der Variabeln x, 7, ... bezeichnet,

er 4 — B) 8
Ddyo= 5 Da+gEDß+---, aber aDp= „,dA-t y,du+---

Dieses vorausgesetzt, ist z. B.
D(d9)=(D.d)y+Ddp,
D ((d.d’)p) = (D.d.d)p+(d.Dd)p-+(d.Dd') 9,

u.8.f. Die zusammengesetztern Anwendungen dieser Bezeichnungsart werden sich nun
leicht von selbst verstehen.

Mit Rücksicht auf

R= (+ + gl RA, % Ra ehrt

L

erhält man leicht

Df=R, df=0, df=0, d'f=!0, ete.

Wenn nun d irgend ein lincares operatives Polynom bedeutet, so ist

oDf=E DT örR= REidr=0 wegen A3-l- u?--- - =],

wu Of

ddf=2,,Je=hZidba=— RKSadlt.

IX

Man hat daher, weil d (Df)=(D.6)/f--6Df, u. s. f.,

(DI) FSUR,rn &- 8 9) (d.)f=REadH, ete.. . (10)

. . . . 164
Setzt man in der zweiten Formel dö—= d’ und erinnert sich, dass dA = etc., sO er-

hält man

d.d)f=0. .:.:..:..2.2.2.0.0. (1)

— 131 —

Es ist ferner

(.dd)f- da. =Zia.AdR+RAM-AR.Lidd+ E Eada),

oder, da (d .$J)f=RZ«edA=— RLrödu, auch

ade Fa) rn "de.
Wendet man aber die Operation d auf die Gleichung (11) an, so bekommt man

(d.d.ö)f +ld.dÄA)f+ (d.dA)f—=0.
Daher ist

ads Has Fa. pri: ade. .. (12)

Setzt man hier zuerst d=_D, dann dö=d’, und berücksichtigt die Gleichungen (9) und
(11), so erhält man

Das) fear B+R(l — Br: .220..(08)

(d.d’.d)f= R(, ‚) ad’. 22... (4)

oe €

Da in (14) links die Symbole d, d’, d’ permutiert werden dürfen, so ergeben sich rechts
sechs verschiedene Ausdrücke; unter anderm hat man

1 1 ' [2 DER 1 =. 1 [2 '
(—-z)2ed’a=(, or) Fa’ d'a. 22.2.0. (1)
Die Formel (13) kann auf folgende Weise vereinfacht werden. Es ist

(d.d)R=(d.d)(Df)= ld. a) (25 5%)
u nn. df ‚df . .0f
- za.a)a. + zar.a ler zar.age+Eia.d)f
— REI(d.U)A-4-Ldr.@dR+ Rd) -+Nda.GAR+RAN-+(D.d.dyf.
Da nun überhaupt 24654 —=0 und daher ZA(d.0)A+-2654.0 = 0, so ist

Ziı(d.)A= — Ndi.di= — (Laad):ooe= 0;
folglich
(d.d)R=(D.d.d)f.

— 12 —

Nun ist ferner (d.d') n Be, ee L +2 ne, Wenn man also die Gleichung (13)
durch AR’ dividiert, so ergiebt sich
| 1 /1 lI\o,

Wenden wir jetzt diese allgemeinen Formeln auf die transformierten Integrabilitäts-
bedingungen (7) und (8) an, so ergiebt sich namentlich aus der Vergleichung von (8)
mit (15), da im allgemeinen eo’ und eg’ verschieden sein werden, offenbar Fa da = 0.

Daher haben wir jetzt

I=0,6e ... (17) (n — 2 Gleichungen)

’ 1 [2
d.N)Z=0, (4.4)

(d.d’.d")f=0, (d.d’.d’")f= 0, ete., (d.d’.d'”)f=0, ete. (18) ("5") Gleichungen)

als Bedingungen der Integrabilität der Gleichung ed + ßdy—+---=0. Da z.B.
(d.d’.d") face + Btac'p + ««'ß") + etc.

ist, so sind die Gleichungen (18) in Beziehung auf die dritten Differentialkoeffizienten

von f linear und homogen, aber in Beziehung auf die ersten und zweiten irrational.

Will man auch in den Gleichungen (17) die dritten Differentialkoeffizienten sichtbar

machen, so bringe man sie unter die Form

Da.)

Da auch die übrigen Differentialgleichungen «dx + ßdy—+:--=0, etc. inte-
grabel sein müssen, so bekommen wir im ganzen so viele Bedingungsgleichungen von
der Form (d.d') - — 0, als de n— 1 Symbole d, d',d”,d’”,... zu zweien, und so viele
von der Form (d.d'.d’)f= 0, als dieselben Symbole zu dreien kombiniert werden

.. . KW —— 1 Zu; 1 . . . . . D
können, im ganzen also (" R ) +- e g ) — () Bedingungen. Es liegt also die schwierige

Aufgabe vor, nachzuweisen, dass alle diese (} ') Bedingungen schon in den s) Glei-
chungen (17) und (18) enthalten seien, eine Aufgabe, für deren Lösung ich durchaus
keinen Rat weiss.

Wir wollen nun annehmen, die Form der Funktion f, welche der Aufgabe voll-
kommen genügt, sei verloren gegangen; aber aus der ganzen Schar der durch /f = const.

— 13 —

dargestellten Kontinua sei ein einziges für unsre Anschauung zurückgeblieben und durch
die Gleichung V = 0 dargestellt, welche explicite nur die n Variabeln x, y,2,... ent-
hält. Wir müssen uns dann V auch implicite als Funktion von / denken, in der aber
durch die Annahme eines konstanten Werts für f und Verschmelzung desselben mit
allen andern Konstanten jede Spur der Funktionsweise in Beziehung auf f ausgelöscht
ist. Welchen Bedingungen wird die Funktion V genügen müssen, damit das ent-
sprechende einzelne Kontinuum einer Schar angehören könne, welche fähig ist, einem
orthogonalen Systeme sich einzureihen?

Wird V nicht nur explicite, sondern auch implicite vermittelst / als Funktion von
X%,Y,... aufgefasst, so ist Y mit Null identisch; daher wird auch jede ableitende Operation
ein mit Null identisches Resultat liefern. Wird V so aufgefasst, so soll es durch V be-
zeichnet werden; sonst aber mögen alle ableitenden Operationen nur explicite verstanden
werden und unter sich unabhängig sein. Werden sie mit d, d', d bezeichnet, so ist

8V=(#-+3f- 5) v0,
99 V-(6+8f- 3) (&+ 8: 0 V+Hööf- = — 0,
ze (+öf- pr) (+ 6f- ») (#’+ d"f- 7) V

+08: (6+5,F- LALLANGT 7 (+ 0f- 5 .) BT (+8) Gr r +0.

Setzt man in der ersten Gleichung d = D, so erhält man

DV+ Ru = on... (19)

Werden in der dritten Gleichung 6, ö', 6’ durch d, d’, d” ersetzt, so ergiebt sich ver-
möge der von speziellen Voraussetzungen unabhängigen Gleichung (11)

(d.d'.d”) v+(d.d.d)f = 0: 222.2.20)

Da ? or " unbekannt ist, so reicht die Gleichung (19) zur Bestimmung der Funktion R

nicht hin; die Gleichung (20) hingegen verglichen mit (18) giebt (d.d’.d’) V=0.
Wenn also das einzelne Kontinuum V/=0 einem orthogonalen System

(n — 1) (n — 2) (mn — 3)
GE u

soll angehören können, so müssen erstens alle ın der Form

(d.d.d”)V= 0 begriffenen Bedingungen erfüllt sein, und zweitens dürfen

— 184 —

die n (n — 1) (n — 2) partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung von

der Form (d.d') = 0, durch welche die unbekannte Funktiön R der n Va-

riabeln &,y,... bestimmt wird, einander nicht widersprechen.

Obgleich nach $ 42 die Elemente A, u... ,ß,..., @,ß,... der operativen
Polynome D,d,d',... als Richtungskosinus der Normale und der Hauptkrümmungen
des Kontinuums Y= 0 ihren Werten nach bekannt sind, so sind uns doch ihre Funktions-
weisen wegen des Verlusts der Funktion f gänzlich unbekannt; und wenn wir auch
die genannten Elemente durch Funktionen aller n Variabeln x, y,... ausdrücken, ohne
irgend eine Substitution oder Elimination mittelst der Gleichung Y = 0 anzuwenden,
so haben wir doch lauter unechte Funktionsweisen, welche sich ändern, so oft wir
dasselbe Kontinuum durch eine von g(V) = 9 (0) verschiedene Gleichungsform dar-
stellen, wie z.B. x —-v (y,z,...)= 0. Daher sind alle Variationen willkürlich, welche
Richtungen entsprechen, die vom gegebenen Kontinuum V= 0 sich entfernen; und
ihren Werten nach bestimmt sind nur diejenigen Variationen, welche tangierenden
Richtungen entsprechen; zu diesen gehören nun allerdings die mit d, d',... bezeichneten
Variationen, zu jenen unbestimmten hingegen die Variation D. Diese Betrachtungen

mögen anschaulich zeigen, dass man allerdings, wenn die Werte einer Funktion ra W

nur für jede dem Kontinuum Y= 0 angehörende Lösung bekannt sind, die Differential-
gleichung (d.d’)W=- 0 in der ganzen Ausdehnung dieses Kontinuums verifizieren kann,
wenn anders W derselben genügt. Denn da d’ einer tangierenden Richtung entspricht,
so ist d’ W überall auf dem Kontinuum bekannt, daher auch d (d’ W). Da ferner «', f',...

überall auf dem Kontinuum bekannt sind, so sind es auch d«,df',.... Die diesen
1

Elementen entsprechende Richtung tangiert aber, wel Mdd = — Fa l)= — Fr «=.
Daher ist auch dd’ W überall auf dem Kontinuum bekannt; also ist es endlich auch
(d.d)W=d(d'W) — dd'W. Da ferner leicht gezeigt werden kann, dass überhaupt
(d. da”) V= DV. (55) Fade‘,
g E

so sicht man sogleich ein, dass auch die Gleichung (d.d’.d’)V= 0 auf dem ganzen
gegebenen Kontinuum verifiziert werden kann, indem man sie durch Fa d «= 0 ersetzt.

Die partielle Differentialgleichung (d. d’)W= 0 z.B. enthält eigentlich eine un-
abhängige Variable zu viele Will man dieselbe nicht bloss gleichsam graphisch
verifizieren, sondern sie auf eine echte analytische Form bringen, so kann man, um mög-
lichst allgemein zu verfahren, jede der n Variabeln &, y,... so in Funktion von n neuen
Variabeln &, t,...t, ausdrücken, dass l„= const. dasselbe Kontinuum, wie V= 0, dar-
stellte. Es ist dann möglich, alle nach &, y,... genommenen partiellen Differential-
koeffizienten durch solche, die nach t, t.,...t, genommen sind, auszudrücken; und

— 15 —

zuletzt wird man anstatt (d.d)W== 0 eine Gleichung erhalten, worin nur die nach
den n — 1 Variabeln ti, i,...„_, genommenen partiellen Differentialkoeffizienten erster
und zweiter Ordnung von x, %, ... ., W vorkommen.

Um dieses Verfahren durch ein leichtes Beispiel zu erläutern, legen wir den
Raum mit den drei orthogonalen Koordinaten x, y, z zu Grunde, und denken uns diese
als solche Funktionen der drei neuen Variabeln t, u, v, dass 9 = const. eine krumme
Fläche, und überdies, was angeht und zur Vereinfachung beiträgt, « = const. die der
Richtung («, ß, y) entsprechende, t =: const. die andere Krümmungslinie darstellt. Es

sei dann nn =»o, 2 —= pP, pp . —=g«, I — uf, 2 —=qy'; (A, u, »v) die
Richtung der Normale. Da nun n = = von u = = +80 Ist leicht nachzuweisen,
dass

Ay + Red +9 ana = ©
ist, d. h., dass die den Elementen Bud » ++» entsprechende Richtung die Fläche tangiert.

Man darf daher setzen

rt _ mdx 9x Hy my Oy Oz _ md: UF;
in Tr ln Tr Inn Tntr Im

indem von diesen drei Gleichungen immer eine die notwendige Folge der zwei übrigen
ist; und 7, U sind als bekannte Funktionen von t, « anzusehen. Nun ist

1 .
ge
rt yOROW 1 „Ay dr OW_ 1? TOW, 1 „ dx dW
Ra — »“" 8 3: et ET du dx
i 1
9.
a TOW , 1 (mW , „OW
un talattz):

man erhält also zuletzt

Nur 0?W dw oW _

eine partielle Differentialgleichung mit bloss 2 unabhängigen Variabeln.

Um den Gang der folgenden auf den Raum bezüglichen speziellen Erörterung
nicht zu unterbrechen, wollen wir hier noch eine allgemeine Relation voranschicken.
Setzt man in (10) d = d, so ergiebt sich

24

— 156 —

R
e’

(d.)f= RFadi=
thut man das Gleiche in (12), so bekommt man mit Rücksicht auf (11)
’ AR 1 1 ’
d.da.d)f= "HR (.-,) Fade

Wendet man aber die Operation d’ auf die vorletzte Gleichung an, so hat man

a’ = — (d.d.d)f+20.0Nf.

Hier ıst
z

(d.da)f=Lda.dyl = ZdadR+RdAN=—dR.Fadi+ 2 Fada=0;

also (a.a.d)f=-E— nde.
Durch Vergleichung der zwei Ausdrücke für (d.d.d’)f ergiebt sich demnach

De LM

i e—e@
folglich auch
Za’dia = RR, ee Eee en a2)

ein Ausdruck, den man als Wert einer Hauptkrümmung des Kontinuums mit der Normale
(«, ß,...), und zwar nach der Richtung («, ß',...) hin, auffassen kann.

II. Anwendung auf den Raum. Für n=3 giebt es nur die einzige Bedingung

(d.d) I, — (0. Da nun überhaupt
' [2 0? y ’ ’ 0°

ist, so muss für 2» = 3 die Irrationalität wegfallen. Es sei ad = 4, $ßß=B,yy=C,
By+Pßy=D yd+ya=k,aß+aß=F, so gelten die Gleichungen

2,4A+ uF+ vE=(,
‚F+-2uB+ vD=(,
A\E+ uD-- 2 v0 =(,

— 187 —
aus denen sich leicht |
uvD= V”A—wB—v’C,
YAE=—-NWA+WB—vCh)).. 20.20.20... (22)
Auf =—-WA— wW"B-+vC

ergiebt. Wenn man ferner die zwei Gleichungen

OR Or OR a ‚04 ‚04 ‚Hd 0
rar rer an, rPß ra

resp. mit «, @ multipliziert und addiert, so erhält man

O1 91 94 1 1 1 1 IR du dv.
19 et ee En m Are ze Sr Bu ee a ds 2 ae er
2A, +tFfy,+Ey,=-1G | „;)» oder, da a a ey
dA Ou: dv OR O1
eE- 5 WitrnetnF 0.

Multipliziert man diese Gleichung mit Aw», eliminiert E und F mittelst (22), setzt
9 du 9 Bu 91 vr dv 91 du

at ar tt, 099 au tr,
und führt die abkürzenden Bezeichnungen

ba men, Dee
#5 dy’ 0% O2’ a, #5
ein, wo dann I+-m-+n = 0 als Bedingung für die Integrabilität der Gleichung
de + udy-+ vdz= 0 schon erfüllt ist, so erhält man (— um +v’n) A+W#l!B— v’lIl=0,
und wenn ınan A mittelst der Gleichung A+ B+C=0 eliminiert, (u’+-»*) (m C—nB)=0.
Also ist A:B:CÜ =1!:m:n. Setzt man deshalb
Auv

A=- en — y, a (23)

so folgt |
D= 7 (l— u’m— v'n), E= F (— Al +-u’m — v’n), F= 7 (— Al — u’m+v’'n). (24)

Da ferner A=ßy— By, A=aa, D=ßy — ß’yist, so hat man AA D= au (B’y’— PB ’y’), ete.,

NAD-LuBE+vCF=lad.BB.yy|=jled+ßß+rYy.BR.vyl=|0.BR.yY
a? . ß° .y’ a? + ß? A y’ . ß? .y' 1. ß? ap?
a .B° .y’ PB + "+ y? Be .y° 1.” .y’

= — Br+PBr) By—Ey) =Auv,

— 1383 —

und, wenn man in dieser letzten Gleichung die vorigen Ausdrücke für A, B,... sub-
stituiert,
T’=Xl+ wm’ + vVn— 2 wWmvn — 2v’nAl— 2Mlum. . . (25)

Durch die Gleichungen (23), (24) und (25) sind uns die Elemente des quadratischen
operativen Polynoms (4. d') vollständig bekannt, und die einzige Bedingung, von der

oben die Rede war, ist nun, wenn = W gesetzt wird,
ae 9?W 0°
T.(d.d)W=Rur(l5 tm ai

HAN m) te Pl-+um — v" DraM ih Alm) =

Setzt man endlich hier W = (5) -1- (3) + (3 I) : : 2 --; ; 4 ‚etc. und mul-

tipliziert mit R'”, so wird die Gleichung in Bezichung auf alle partiellen Differential-
koeffizienten der gesuchten Funktion f ganz und rational.

Ich führe bloss noch an, dass die partielle Differentialgleichung dritter Ordnung
für eine Funktion f, welche eine zu einem orthogonalen Systeme gehörende Flächen-
schar darstellt, auch unter folgende Form gebracht werden kann:

TEE BZ?) = Auv2a (m Eng") + ERLRT — um — rn) (3; 35) = 0.

Trägt man auf jeder Normale des Kontinuums f = const. ein unendlich kleines
Stück auf, so liegen die Endpunkte aller dieser Stücke in dem successiven Kontinuum

derselben Schar, für welches f (z,y,...) = const. + öf ist. Wenn man also eine
Funktion W kennt, welche der Bedingung (d.d)W= 0 genügt, und trägt dann auf
jeder Normale der Fläche F= 0 em Stück Wo auf, wo wo einen sehr kleinen kon-
stanten Faktor bedeutet, so liegen die Endpunkte in einer neuen Fläche, welche fähig
ist, zugleich mit der vorigen einem orthogonalen System anzugehören. Diese Bemerkung
führt uns zu einer graphischen Konstruktion eines beliebigen orthogonalen Flächen-
systems.

Da Zida=0, Fada=0 ist, so folgt d’a: d’B:d’y= «:Pß':y und hieraus
de—=«.! «da, etc. Daher ist das operative Polynom d’d=X'd'a« ar "dad,

und es wird dadurch (d. d)W = d(dW) — Lada xXd W. Wenn also die Funktion
W der Bedingung (d.d’)W= 0 genügt, so ist mit Rücksicht auf die Formel (21)
überall auf der Fläche

(dA) = eabee, Won... (07)

— 189 —

Man wähle nun eine ganz beliebige Fläche, ziehe alle ihre Krümmungslinien, nehme von
diesen zwei sich im Punkt A kreuzende |, !' heraus und verfüge nach Belieben über
die Werte der Funktion W, welche diesen Krümmungslinien entlang stattfinden sollen.
Entspricht die Krümmungslinie ? der Richtung («, £, y), so kennen wir derselben entlang
die Werte von dW. Auf der andern !' liege A, unendlich nahe bei A, und es gehe
durch A, die auf ! folgende Krümmungslinie . Da Wlängs !’ bekannt ist, so ist auch

d'’W in A bekannt; der Faktor er ist auf der ganzen Fläche bekannt; folglich ist

d’(AW) in A bekannt. Aber dWin A, ist gleich 4W in A plus 4A A, X d’(dW) in 4;
also ist dW in A, bekannt; und da W in A, bekannt ist, so kennen wir, wenn A, B, ein
Element der Krümmungslinie /, ist, auch Win B, (=Win 4,—+ 4,B,xdWin A,).
Die zwei successiven Krümmungslinien !, !, mögen von den aufeinander folgenden
Krümmungslinien !,m,n,... in die entsprechenden Elemente AB, 4,B,; BC, B,C;;
CD,C,D,;... geteilt werden. Da Win B und in B, bekannt ist, so kennt man d’W
in B, also vermöge jener Relation (27) auch d’(dW) ın B. Aber dW in B ist bekannt;
man kennt also auch dW ın B,, und, da W in B, bekannt ist, auch W in C,. Folglich
kennt man d Win C, u.s.f. Man lernt so W längs der ganzen Krümmunsgslinie |,
kennen. Ist /, eine unmittelbar folgende Krümmungslinie, welche }’ in A, schneidet, so
wird man ebenso, vom Werte der W in A, willkürlich beigelegt ward ausgehend, die
Werte der Funktion W längs der ganzen Krümmungslinie !, bestimmen können. Wird
dieses Verfahren fortgesetzt, so ist klar, dass die Werte der Funktion W für alle
Punkte der Fläche durch die, welche wir längs der Kriimmungslinien ? und ! will-
kührlich angenommen haben, bestimmt sind.

Ist jetzt » eine unendlich kleine Grösse, und wird Ww in jedem Punkte der
Fläche auf die Normale aufgetragen, so bilden die Endpunkte eine neue Fläche. Da
die Bedingung (d. d’)W== 0 erfüllt ist, so werden die Endpunkte der auf den Normalen
der ersten Fläche aufgetragenen Stücke, längs einer Krümmungslinie derselben verfolgt,
immer eine Krümmungslinie der zweiten Fläche bilden.

Die zweite Fläche kann man wieder wie die erste behandeln und unter anderm
die beiden Krümmungslinien, längs denen über die Funktion W von neuem frei verfügt
wird, den mit ! und !' bezeichneten der ersten Fläche entsprechen lassen. Nun ist

IR I (pyy=- DU +EES=D,=RDAHIDE,
und zugleich
OR _, DEREN
a DR-+oadR-«dlR;

folglich
Di=adloegR-+adlogR, et. . . . 2 .2..2..(28)

— 19% —

Man kennt also DA, Du, Dv für jeden Punkt der ersten Fläche (indem W= $); also

auch A, u, » für jeden Punkt der zweiten. Wir sehen so durch die Bedingungen (28)
die entsprechenden Krümmungslinien der ersten, zweiten, dritten, etc. Fläche sich an
einander reihen, und dadurch die zwei andern Flächenscharen entstehen, welche mit
jener ersten Schar ein orthogonales System bilden.

Ich behaupte nun, dass, wenn drei im übrigen beliebige Flächen gegeben sind,
welche sich in drei je zweien gemeinschaftliche Krümmungslinien orthogonal schneiden,
diese Flächen, ohne einer ferneren Bedingung zu genügen, immer einem orthogonalen
System angehören und dasselbe vollständig bestimmen.

Vom Punkte A aus, in welchem die drei gegebenen Flächen sich schneiden,
gehen auf der ersten die Krümmungslinien /, ! und die der zweiten und dritten Fläche
gemeinschaftliche Krümmungslinie. Auf dieser schneide man von A an ein unendlich
kleines Stück s ab und ziehe durch dessen Endpunkt die zu /, !' successiven Krümmungs-
linien der zwei letzten Flächen; man kennt dann beiden ! und !’ entlang die Abstände

w . ” RL i 1 :
s=-z der genannten successiven Krümmungslinien, wobei der Wert von ;=-WnA4

beliebig angenommen und so die unendlich kleine Konstante w bestimmt werden kann.
Da somit die Funktion W längs zweien sich kreuzenden Krümmungslinien der ersten
Fläche bekannt ist, so ist sie auch nach dem, was wir vorhin gesehen haben, auf der
ganzen ersten Fläche bekannt. Man kennt daher auch die unmittelbar auf diese folgende
Fläche der ersten Schar. Für das Gelingen der Fortsetzung dieser Konstruktion braucht
bloss noch nachgewiesen zu werden, dass die Bedingungen (28) durch die zweite und
dritte der ursprünglichen Flächen schon erfüllt ist.

Führt man statt des dortigen A das unendlich kleine normale Element s = nn
ein, so werden jene Bedingungen:

DA= -— oadlogs— adlogs, etc.; also — dlgs=«DA+ßDu-+yD»,

oder |
dlegs=ADa+uDß+»Dy . . ... . (28 bis)

Es handelt sich also darum, die Variation des unendlich kleinen Abstandes zweier
successiver Krümmungslinien /, !, einer Fläche auszudrücken, welche längs 2 stattfindet.
Dieser Abstand, als Element der kreuzenden Krümmungslinie 7’ sei 6’, das Element von
U hingegen sei 6. Vom Durchschnittspunkt A der Linien /, 2’ aus schneide man auf
diesen die unendlich kleinen Stücke 6= AB, = AA, ab; die durch A, und B gehenden
Krümmungslinien !, und m’ bilden dann mit I,’ das Viereck ABB, 4,, und es ist
BB -AA=AB.do=06do. Von der Variation der Richtung von BB, im Ver-
gleich mit 4 A, darf man absehen, weil sie wegen der orthogonalen Stellung dieser

— 191 —

Viereckseiten zu der Basis A B in der Länge dieser Linienelemente nur eine Variation
zweiter Ordnung hervorbringt; deshalb darf man in obiger Differenz das Element 3 B,
durch seine Projektion auf A A, oder auf die Richtung («', $’,y) ersetzen. Man kann
also auch die Differenzen der Projektionen von BB, und AA, auf die Axen der x, y, 2,:
oder die ihnen resp. gleichen Differenzen der Projektionen von 4,B, und ABmit «', ß',y
multiplizieren und addieren; die Summe wird od 6 sein. Da man aber nach der vorigen
Bemerkung von der Richtungsveränderung von B B, absehen darf, so braucht man bei
4A, B, nur die Richtungsveränderung (weil bewirkt durch eine Längenvariation von BB,)
zu berücksichtigen und kann hingegen die Längenvariation (weil sie keine solche für
BB, bedingt) vernachlässigen. Die Variationen der Richtungskosinus von AB sind
od’a, a’d'’ß, 0d’y; als Länge kann man diejenige von AB oder o behalten. Demnach
dürfen statt der Differenzen der Projektionen von A,B, und AB auf die Koordinaten-
axen die Grössen o0d'u, 00d'ß, o0’d’y gesetzt werden. Multipliziertt man nun mit
«,ß,y, addiert und lässt den Faktor 6 weg, so erhält man

do en 6 (dd’a ai. ß'd’ß SR yd'y).

Vertauscht man hier «@,ß',y,6,d' mit A, u,»,s, D, so erhält man gerade die zu be-
weisende Gleichung (28 bis).

Da die partielle Differentialgleichung (26) in Beziehung auf die Funktion f von
der dritten Ordnung ist, so muss ihre vollständige Lösung drei arbiträre Funktionen
enthalten. Diese Forderung ist durch die vorige graphische Konstruktion insofern er-
füllt, als die drei ursprünglichen Flächen mit Ausnahme der Bedingung, sich in Krüm-
mungslinien und orthogonal zu schneiden, ganz willkührlich sind.

$ 45. Anwendung der konfokalen Kontinua auf die Bestimmung des Masses
der durch ein Kontinuum zweiten Grades (mit lauter reellen Axen) begrenzten
Totalität und des begrenzenden Kontinuums selbst. Relationen zwischen voll-

ständigen Abelschen Integralen.

Wir wollen das Element der n-fachen Totalität mittelst der Variationen der
Axenquadrate eines Systems konfokaler Kontinua zu bestimmen suchen. Es seien
A,B,C,...J die n Axenquadrate irgend eines Kontinuums des Systems, und wenn
n Kontinua die Lösung (x, y,...) gemein haben, so mögen die Axenquadrate eines
jeden mit demselben untern Zeiger versehen werden, sodass die Zeiger 1,2,...n der
Reihe nach allen durchgehenden Kontinuen entsprechen. Ist jetzt ds, das lineare Element,
welches der Variation d A, entspricht, während A,, A,,... A, sich nicht ändern, sind

— 192 —

En, B, = ns - +. die Richtungskosinus der Normale des Kontinuums A4,,
ı i

so hat man de = ads, dy= ßds,..., und durch Differentiation der Gleichung

ferner &, =

x? ER SE
Fe
ergiebt sich

rar an hre)aame

woraus

folgt, wobei man sıch an den Ausdruck

p= 4,B.:0;3% ed
(4— 4,)(4,— 435)... (A — An)

zu erinnern hat. Bedeutet nun dV das Element der Totalität, so kann man dieses als
orthogonales Paralleloschem auffassen, dessen Seiten ds,,ds,... ds, sind. Es ist also

Die Integration dieser Formel kann auf unter sich unabhängige Quadraturen zurück-
geführt werden, da die Variabeln A,, Aa, ... A„ sich trennen lassen. Wir müssen aber
vorher einige Abkürzungen einführen.

Wenn A>B>C>--->H>J angenommen wird, so sei auch A, >A,>--->A,.
Dann ist J,>0, 3 >0>J,, 0, >0 > AH,,u.s.f. Die Quadratwurzeln R, = YA,BC... Jı»
Bey AB. Js Reale Ir IB Ihe DD 22 23,
sind also alle reell, und wir wollen sie überdies noch als positiv annehmen; jede der-
selben enthält nur eine Variable. Wenn wir ferner die alternierende Funktion

(4, — d,) ei 4,) (A, — A,) a (A: u A,-ı) (di _. 4,)
de) essen): ef)
x (4,— 4)... A) (4-4)
x ete.
ld, As) (As)
x (A,_ı—A,)

mit (2 bezeichnen, so ist

_ 193 —

WO &,&, . .. &, irgend eine Permutation der Exponenten n — 1,n— 2, n—3,...2,1,0
sein, und das obere oder untere Vorzeichen des Produkts gelten soll, je nachdem die
Permutation eine positive oder negative ist. (Der Beweis steht in Jacobis Abhandlung
De functionibus alternantibus im Crelleschen Journal.) Wird 2 durch

(A4— A) (Ah — 4)...(4;_-1ı— 4A) (A — Ayrı)-.-- (4, — A4,)

dividiert, so soll ®,der Quotient sein; man kann also auch sagen, (— 1)'"' &, sei das
Aggregat aller in der Entwicklung von 42 vorkommenden und durch A} "' teilbaren
Glieder, wenn sie von diesem Faktor befreit sind. Es ıst klar, dass ®, wiederum eine
alternierende Funktion ist. Es versteht sich übrigens, dass die Ausdrücke für 2 und 9,
sich nicht ändern, wenn auch sämtliche Axenquadrate A um eine und dieselbe Konstante
vermindert werden. Wir erhalten nun zunächst

FE 1\” dA,dA , d An
= (5) 2 R, R u

also für das Mass einer von n Paaren zu derselben Gattung gehörender konfokaler
Kontinua begrenzten Totalität den Ausdruck

IN" yı ı dA, n „aA,

V=(,) F+ u Aka... (Ardke.
Wird das erste Integral zwischen den Grenzen J, = 0 und J,= J, das zweite zwischen
H,= 0 und J,= (0, etc., das letzte zwischen A,„= 0 und B„= 0 genommen, so erhält
man das Mass Y der von einem Kontinuum (4) erster Gattung begrenzten Totalität,
dividiert durch 2”. Das ganze Mass ist aber offenbar R mal so gross als dasjenige

einer Polysphäre vom Radius 1; folglich ist in diesem speziellen Fall

1 >

V= (5) rer)
:

der finite Wert eines Aggregats von Produkten von je n Abelschen Integralen, welche
immer alle bis auf eines vollständig sind. Man kann aber überhaupt die Zahl der
Faktoren solcher Produkte um 1 vermindern, wie wir jetzt zeigen wollen.

R

i=n
Da 2 A? (— 1)" ®,=0 00der = 2 ist, je nachdem Oo <m <n—loderm=n—1
i=!1
ist, so ist überhaupt

EI - 00-2,

dV =

— 194 —

wenn f eine ganze Funktion (n — 1)-ten Grades bezeichnet, wo 1 der Koeffizient der
höchsten Potenz ist. Nun ist

OR;

I 9A;

= 5 (— 1y=1[BG...I4 AG... Jd4+ + ABiCi... H;\

eine ganze Funktion (n — 1)-ten Grades von A,, worin die höchste Potenz den Koeffizienten
(— 1)'=' 5 hat; folglich ist

OR;
Zr 4, N.

Man erhält demnach

dA, dA; ‚cd

A n
-. ldR..o d A o,“ ‚dA; dA

Re dR,.®

u dA, dA, .. aa)
"R, RB, In

“RR, RB |,

tdin.®

wo z.B. 5 a dA, durch d.R, ersetzt ward, weil ZA, nur die Variable A, und ®, diese

nicht enthält. Integriert man, so ist

dad. 4. An %
ı 7, RB +ete.

wo die Klammern, in die man z.B. R, gesetzt hat, bedeuten, dass diese Funktion
zwischen den auf A, bezüglichen Integrationsgrenzen zu nehmen sei. Da ®; eine alter-
nierende Funktion ist, so zerfällt das (n — 1)-fache Integral in ein Aggregat von Pro-
dukten von je n — 1 Abelschen Integralen.

"—

FE
ng

Nimmt man die auf A,, A, ... A, bezüglichen Integrationsgrenzen und die untere
für A, so weit, als es die Bedingung der Realität der Funktionen I, Ru... R, nur
erlaubt, so wird

(R)=(R)= = (R)=0, (R)=R
und man erhält
"1 ddl du =
i J en; Fe Fer -
(3)

eine Relation Be (n — 1)? vollständigen Abelschen Integralen, deren jedes in der
Formel | (4 — I)” i2 ‚[n=0,1,2,...n — 2] enthalten ist.

( num erst attung : n assen wir in
Indem wir uns das Kontinuum erster Gattung als fest denken, lassen in den
Zeichen seiner Axenquadrate den Zeiger 1 weg und setzen uns vor, das Mass $ eines

— 195 —

von n — 1 Paaren konfokaler Kontinua begrenzten Stücks des Kontinuums A erg |
Gattung zu bestimmen. Man hat

1\"r-1 dA, dA dAn _ pı (A AN TA A TAT as dA, ,, dAn,
18- (5) nr ea A), rd

Setzt man ,—k=K, A—k=K,,..., work eine beliebige Konstante bedeutet,
‚so ist

= (R—KR)(K-K)...(KR—-K,)X(RB—K,)...(K—K,)xX--xX(K,_ı—K,)

En RK, , Kr: f Ki: EN Kr” =I+K, K,... K“,
Kr j Kr: e Kr Bra Kr:
K, r K, . ri eu K.
K Re BET.
1 | 1 et

wo (&, &, .. . €) eine Permutation der Exponenten n — 2, n —1,...2,1,0 bezeichnet.
Man hat also

= (I) 2 ER RENATE R ga,

ein Aggregat von Produkten von je an — 1 Abelschen Integralen.. Nimmt man jedes
Integral vollständig und multipliziert die rechte Seite mit 2”, so erhält man das Mass
des ganzen Kontinuums (A).

„4A-B

Setzt mann = 3, 6 MI k®, so dass k?+ k°?= 1, ferner

e dr Fıufegere re
k)= a __— k) = ey = .* a ,
F (1) J en Ei J YI-TFsin?e de
so verwandelt sich die Gleichung (1) in

FÜ)Ek) HEN FR)—- FWFR)=-5:
die bekannte von Legendre gefundene Relation zwischen vollständigen elliptischen

Integralen der ersten und zweiten Art mit komplementären Moduln. Die Gleichung
(2) giebt für n = 3 die Oberfläche des Ellipsoids.

== 196 =

Was in diesem und dem folgenden Paragraphen vorkommt, ist eine Ausführung
von sehr interessanten Andeutungen, welche Jacobi in jener Abhandlung (Crelle’s
Journal B. XIX) gegeben hat, wo er zuerst die Gleichung und Rektifikation der geo-
dätischen Linie auf dem Ellipsoid durch einfache Integrale darstellte. Ich habe diese
Gegenstände hier aufgenommen, weil sie in einer Tlieorie der vielfachen Kontinuität
nicht fehlen dürfen.

S 46. Bestimmung des kürzesten Weges sowohl in der Totalität als auch auf
einem quadratischen Kontinuum oder dem Durchschnitte mehrerer konfokaler
Kontinua.

Wenn die Werte x, y,... einer Lösung als Funktionen der ersten Axenquadrate
A, A, ... A, der n durchgehenden konfokalen Kontinuen gedacht werden, so sind

aA, As, ne ‚„IAn
2» '92p 2m

die Projektionen des Wegelements ds = Ydx°?-1- dy*-!-- - - auf die Normalen der kon-
fokalen Kontinuen. Da diese ein System von orthogonalen Richtungen bilden, so ist

ds? (=) en ie )' Bene Er

oder auch, wenn A,,A,,...4, die Kosinus der Winkel bedeuten, welche das Wegelement
ds mit den Normalen bildet,

dAn

ee det teen a

Sn HescH

;

Wenn aber A, 4, ...4, überhaupt Grössen bezeichnen, welche der Bedingung Z%#° —=1
genügen, so ist

2 2 4 dA; z
ae (zZ) Hz (0:0:
Gelingt es nun für A,,A,,...A, solche Funktionen der Variabeln A,, A.,... A, anzu-

1

2 a2 se
geben, dass z, Pur du: >. nur A,, u.s. f. enthält, und setzt man dann
2

s- + Bl nern Oö

ı

— 197° —

so hängt, da hier die Variabeln getrennt sind, der Wert von S nur von beiden Grenz-
lösungen ab, aber nicht von dem Wege, der sie verbindet. Es wird daher vermöge
(1) im allgemeinen für irgend einen aus reellen Elementen zusammengesetzten Weg
immer sein f[ ds > $, und nur dann f ds = $, wenn

dA, ,dA,,, ,,. dAn 7 I A
2Pı . 2p, : > 2 Pn 20 . n . . . . . . . (3)

ist. Also ist dann der Weg, der diese Proportionen zu seinen Differentialgleichungen
hat, der kürzeste zwischen den zwei gegebenen Grenzlösungen.

Der kürzeste Weg muss ein Strahl sein. Ein solcher wird von n—1 konfokalen
Kontinuen des gegebenen Systems berührt; ihre ersten Axenquadrate seien W,, As, - .. Ur.
Dann gelten, wie wir bereits aus $ 41, V, Gl. (6) wissen, n — 1 Gleichungen von der
Form

2 LE _
ge ae a wer nee Se . . . . . . (4)

wo zu X nach und nach die Zeiger 2,3,...n zu setzen sind. Die Realität des Strahls
erfordert übrigens
A>A,> L> >... ->A-ı > U>A,.

Vermöge der Proportionen (3) sind die Gleichungen (4) als System von Differential-
gleichungen erster Ordnung, hervorgegangen aus einmaliger Integration der n—1
Gleichungen zweiter Ordnung, welche die gewöhnliche Variationsrechnung liefert, auf-
zufassen; und da sie » — 1 arbiträre Konstanten enthalten, so ist diese Integration die
allgemeine.

. . . 4 A . . .
Um nun untersuchen zu können, ob wirklich Pi ee Funktionen von je einer
ı

Variabeln sind, müssen wir zuerst A, 4,,... in Funktion der konfokalen Variabeln an-
geben. Wenn wir das System aller „ Gleichungen, durch welche die Grössen A bestimmt
sind, so schreiben

w(A,— Ü 2; A) .r. .; A A) =

wo zu W die Zeiger 2,3,...n hingehören, und ® einen verschwindenden Faktor be-
deutet, so können wir auf das System (5) die aus $ 41, II bekannten Relationen zwischen
orthogonalen und konfokalen Variabeln anwenden, und bekommen:

A-+ A) ( (Ai WAR). en

Mi = (44— 4,) (4 — 4;). . (4; — Ai_ ı) Grey . (Ari — An (Ai — An)’ U u 1, 2. n]

— 198 —

wo noch w = 0 zu setzen ist. Da der Ausdruck für 9; denselben Nenner und 4,B,C,...J;
zum Zähler hat, so sieht man sogleich, dass der Ausdruck für nur die Variable 4;

Pi
a
1= (4— A.) (A;:—X,) ...(A— Un)

enthält. Wenn wir fortan der Kürze wegen q,; = — setzen, so ist

(Da unter den Faktoren des Zählers die © — 1 letzten, und unter denen des Nenners
die 2— 1 ersten negativ sind, so ist positiv.) Die Form dieses Ausdrucks giebt g;
als Abstand des Centrums vom linearen Tangentialkontinuum des quadratischen Kon-
tinuums (A,), welches durch seinen (imaginären oder reellen) Durchschnitt mit den n—1
festen konfokalen Kontinuen (M) gelegt ist, zu erkennen. Da nicht einmal alle Kon-
tinuen (W) zu n — 1 verschiedenen Gattungen zu gehören brauchen, so kann sehr wohl
das einfache Kontinuum, in dem sie sich schneiden, imaginär sein; und wenn auch alle
(A) n — 1 verschiedene Gattungen repräsentieren, so muss erst noch das variable Kon-
tinuum (A,) der letzten noch übrigen Gattung (es kann nur ö=1 oder i=n sein)
angehören, wenn das Perpendikel g, einer reellen Lösung entsprechen soll. In diesem

einzigen Falle stellt das Integral i ar die Länge eines reell begrenzten Stücks der den
n — 1 festen Kontinuen ({) gemeinsamen Krümmungslinie dar. Nichtsdestoweniger hat
das Integral = , in allen Fällen, die hier in Betracht kommen werden, einen reellen

Wert und kann analytisch immerhin als zwischen zweien Kontinuen (4) derselben
Gattung befindliches Stück der reellen oder imaginären Krümmungslinie (U, A, . . . U.)
gefasst werden. Wenn uns erlaubt wird, von zweien Wegen, welche durch dasselbe
Paar konfokaler Kontinuen gleicher Gattung begrenzt werden, den einen Projektion
des andern zu nennen, und wenn alle auf die einzelnen Variabeln A,, A... . A, bezüg-
lichen Paare von Integrationsgrenzen von den zwei Grenzlösungen des Weges [ds
hergenommen sind, so ist der kürzeste Weg

— je A, dA, "dA
S Yı dı — Er a S m . . . . . . . (6)
gleich der Summe seiner Projektionen auf die feste Krümmungslinie (W,, U, . - . U.)

welche von allen » durch die Grenzlösungen gelegten Paaren konfokaler Kontinuen je
einer und derselben Gattung gebildet werden.

Da p = q4, so geben die Proportionen (3) für den kürzesten Weg die Bedingungen
—- — Ads, wo A,q,4 mit den untern Zeigern 1,2,...n zu verschen sind. Die
Gleichungen (4) werden demnach

2), ) (22)

AL—A —- —ı —- » .— An EI — 0, .. . . . .. (7)

— 19 —

wo X nach und nach mit den untern Zeigern 2, 3,...n zu versehen ist. In diesen
n — 1 Differentialgleichungen erster Ordnung sind die Variabeln getrennt; sie können
also mittelst blosser Quadraturen integriert werden. Dadurch werden n — 1 Integrations-
konstanten hereingebracht, sodass nunmehr die n — 1 finiten Gleichungen des kürzesten
Wegs 2 (n — 1) verfügbare Konstanten enthalten, was gerade nötig ist und hinreicht,
um die zwei Gruppen von je n — 1 Bedingungen, damit der Weg durch die zwei ge-
gebenen Grenzlösungen gehe, zu befriedigen.

Wird der Anfangswert einer Variabeln z. B. A, beliebig gesetzt, so ist dadurch
der Weg noch nicht im geringsten näher bestimmt; denn dieser Weg muss im Verlaufe
jedes Weges, dessen W, kleiner ist, zweimal vorkommen. Wenn daher die Anfangswerte
der n Variabeln A,, A... . A, so angenommen werden, wie es die gegebene Anfangs-
lösung verlangt, so zählt dieses nur für n — 1 Bestimmungsstücke des Wegs. . Wenn
nun alle Integrale mit diesen Anfangswerten beginnen, so sind durch die n—1 Weges-
gleichungen

I da, (1 dh 1 dan _
AU 2" A,— Tr Eee 2 Un et)

fortan immer n — 1 der Variabeln A, A, ... A, in Funktion einer einzigen unter ihnen
und der n — 1 Konstanten X gegeben, und diese letzten sind durch die Bedingung, dass
der Weg durch die Endlösung gehen soll, gerade bestimmt.

Es ist noch zu bemerken, dass wegen er — Nds für ein positives Wegelement

immer auch seine Projektion . positiv zu nehmen ist. Das Vorzeichen der Quadrat-

2
wurzel q muss also immer mit dem des Differentials d A übereinstimmen. Wenn also
ein g durch Null oder Unendlich hindurchgeht und infolgedessen einen Zwischenwechsel
erfährt, so muss auch das entsprechende dA diesen Zwischenwechsel mitmachen. Hiermit

ist nun auch der Verlauf der einzelnen Integrale in (8) AareIeNend unnt DENN
Fortschreiten des Weges nämlich ist im Ausdruck i

nehmen. Ein Durchgang des Faktors von d A durch Unendlich stört die dliche Be-
schaffenheit des Integrales nicht. Denn entweder rührt derselbe her vom Durchgang

einer der Grössen A,B,...J durch Null; geht z. B. J durch Null, so sind ausser
cs — d.yYJ alle übrigen Faktoren oder Divisoren endlich, und die Form d.YJ zeigt
einen mit Zeichenwechsel des Inkrements, endlicher Faktor X YJ, begleiteten ununter-
brochenen Fortgang (z. B. Wachstum, wenn A— W positiv ist) des Integrales an. Oder

jener Durchgang rührt vom Verschwinden des rationalen Nenners A — W her; dann

findet sich aber auch Y A — Wim Nenner von q, und da alles übrige endlich bleibt,

dA ee ; u 2
hat man nur Fee — IYA— X zu beachten, was ebenso wie vorhin einen ununter-

brochenen re des Integrals anzeigt. Im letzten Falle ward vor dem betrachteten

— 200 —

Durchgang A>NX vorausgesetzt, und es ist aus dem Gesagten klar, dass auch nach dem
Durchgang wieder A>XM sein wird. Ganz ähnlich verhält sich die Sache, wenn anfangs

A<NM ist; man hat nur d YA — A zu beachten. Aus diesen Bemerkungen folgt, 1. dass
jede Variable A die ihr, sei es durch ihre Gattung selbst oder durch Konstanten X der-
selben Gattung, gesetzten Grenzen niemals überschreitet, sondern zwischen denselben
oscilliert, 2. dass bei keinem der in den Gleichungen (8) vorkommenden Integrale je
ein Uebergang vom Wachstum zur Abnahme oder umgekehrt eintritt, sondern jedes
fortwährend wächst oder abnimmt, je nachdem die entsprechende Differenz A — X von
Anfang an positiv oder negativ war.

Da. man n — 1 algebraische Gleichungen zwischen den Variabeln A, A... 4A,
angeben kann, welche denselben Weg darstellen, wie die aus transcendenten Funktionen
zusammengesetzten Gleichungen (8), so sind jene mit diesen äquivalönt. Werden die
Abelschen Integrale, welche im System (8) vorkommen, wie Argumente, und die ur-
sprünglichen Variabeln A,, A,... 4A, als Funktionen derselben aufgefasst, so kennen
wir also n — 1 algebraische Relationen zwischen diesen Funktionen. Die Gleichung
(6) endlich lehrt uns die Summe von n andern Abelschen Integralen, welche mit den
vorigen in engem Zusammenhang stehen, in algebraischer Form kennen. Für n = 2
enthält die alsdann einzige Gleichung (8) das Additionstheorem für elliptische Integrale
der ersten Art, die Gleichung (6) für solche der zweiten Art.

Wenn einige der konfokalen Kontinuen (X) verschwindende Axenquadrate haben,
so sind sie als lineare durch die n — 1 übrigen Axen der Lage nach bestimmte Kontinua
aufzufassen, begränzt von einem in denselben befindlichen (n — 2)-fachen quadratischen
Kontinuum ((n — 2)-faches Fokalkontinuum), dem die übrigen Axenquadrate auch
dem Werte nach zukommen. Der Strahl oder kürzeste Weg muss alsdann das (n—2)-
fache Fokalkontinuum in einer Lösung treffen. Der Ausdruck für q vereinfacht sich
desto mehr, je mehr Kontinua W diese Eigenschaft haben. Ist z. B.

=0,8,=0 B=V(,...E_,=0, B=0,

so wird g— YA, die den Kontinuen (X) gemeinschaftliche Krümmungslinie ist die Axe
der x, und die Gleichungen (6) und (8) erhalten die Formen:

per faya ze IK ++ fay. ’

IYA, day An

rg En ee a

dyA, [ZEN as fahdn =
art C, 2 + co 9

oA + fer. | 4 [are —

— 201 —

Die erste dieser Gleichungen zeigt uns die Länge eines Stücks des Strahls gleich der
Summe seiner reellen Projektionen auf die Axe der x, welche von je einem Paare
durch die Enden jenes Stückes gelegten konfokalen Kontinuen derselben Gattung ab-
geschnitten werden; es ist aber wohl zu merken, dass die Elemente dieser Projektionen
immer mit dem Elemente des Strahles selbst zugleich positiv zu nehmen sind, wenn sie
auch auf der Axe der x bald in dieser, bald in jener Richtung auf einander folgen.
Die n — 1 folgenden Gleichungen haben Integrale, wie

YAı -YA-B VA —YVA—B, yAn — YA—B

yAt+ya-B yatYyA-B YamtYVaA-B

= const.,

u.s. f,, wenn man B durch (C, D,...J ersetzt. Dies ist übrigens der einzige Fall, wo
alle jene sogenannten Projektionen auch der Lage nach reell sind.

Indem wir wieder zum allgemeinen Fall zurückkehren, bemerken wir, dass die
Gleichungen (8) unter die Form

98 98
=W, ——- —=l, ... FE)

0

zu bringen sind. Daraus ergiebt sich folgende Vorschrift für die Bestimmung des
kürzesten Weges zwischen zweien gegebenen Endlösungen. Man lege durch diese die
n Paare konfokaler Kontinuen der gleichen Gattung, nelıme die Summe der Projektionen,
welche jedes Paar auf einer und derselben Krümmungslinie des Systems abschneidet,
wiederhole das Verfahren so lange in Beziehung auf successive Krümmungslinien, bis
man endlich eine gefunden hat, in deren nächster Umgebung die Variation jener Summe
sogenannter Projektionen verschwindet. Die Summe selbst ist dann die Länge des
kürzesten Weges, und jedes zum Strahl verlängerte Element wird die n — 1 festen
Kontinuen des Systenis, die in jener Krümmungslinie sich schneiden, berühren, wodurch
die Richtung jedes Elements, also auch der Verlauf des ganzen Weges hinreichend
bestimmt sind. — Es versteht sich freilich von selbst, dass diese Elemente sich alle zu
einem einzigen Strahle zusammensetzen; aber um der Uebereinstimmung mit dem Folgenden
willen haben wir dem Satze diese Fassung gegeben.

Wir können das Gesagte durch eine einzige identische Formel für das Wegelement
ds ausdrücken.

Wenn in den Gleichungen (5) die Grössen A,, A,,...A, gewöhnlichen Variabeln
%, %, .. . entsprechen, so mögen m, 1,0, 15 @,...&„w den sonst mit Pı, Par - - » Pu be-
zeichneten Perpendikeln entsprechen. Es ist dann

E AROHER.. DERER SUEE.- VIERTE EENREIER UPREE._ IRB
er AU (A W (AU

26

wo 4, u immer mit demselben Zeiger zu versehen sind;

»_ A+eA)li+tonA,)... tod) _4_ on
Wer). He I re@A—-EN +ete,
Die Gleichung
m? (1, o)* (u, 0)?

zo 5, nt (uno?
1+04, = o(A— U,) ' o(A,— 2;) zo .

oh)

verwandelt sich dadurch ın

2
hai 2

2
al Su ee ee re

u.s. f., indem für A, nach und nach A,, A, ... 4A, gesetzt wird. Zieht man die zweite
der n so erhaltenen Gleichungen von der ersten ab und dividiert durch A, — A,, so folgt

x 122 EEE REN
re re
Vertauscht man hier A, mit A, und zieht beide Gleichungen von einander ab, so folgt
leicht

Se Di in en

S Ua VA Del: 0 a a ee)
Es ist ferner

m? (u 0)? 1

ER DER eg, 0 ee
(L-to4,)® l»-Wü 8’
oder, wenn w = 0) gesetzt wird,
u u

1
1-+ 2 Aw = vr etc.

IUU
D [

AEWIAZN) — () subtrahiert,

und, wenn man 1-+ &

: u \ 1
ars (A1—4;) 2 AZ = 1’ etc. Eu u a ee (10)

Diese Vorbereitungen sollen uns zur Verwandlung der identischen Formel (1)
dienen. Setzen wir p = qA, so wird das dortige

.eA__ AA __1 dA _ 1_dA

1,.2Pı 1.29 Ah 2yı AA, 2
== dA, x ei Ay |
== (A, 4.) | > Ida = (A ArA,—WN

2 A -WR- N

— 203 —

vermöge der Gleichungen (10), und wenn man die Gleichungen (9) hinzunimmt:

--AMNEuamantraeet tr
Wird nun
AS- SE +5: +57
gesetzt, so ist der eingeklammerte Ausdruck = — 2 d a also
ss en pp 98

- = 2 (A 4)8 4: d

4.29 M2m A-WWA-MOHA

und zuletzt

ds = Va S+4L [AA (A—4,) 2 Ama d 55 ... M)

Bis jetzt haben wir den kürzesten Weg in der Totalität betrachtet, von dem

wir zum voraus wussten, dass er ein Strahl ist. Die letzte identische Formel (11)

kann nun aber auch unmittelbar zur Bestimmung des kürzesten Weges auf einem

quadratischen Kontinuum oder auf dem Durchschnitt mehrerer konfokaler

Kontinuen benutzt werden. — Wenn z.B. der kürzeste Weg auf dem Durchschnitte

der & konfokalen Kontinuen A,, Az... Aa verlangt wird, so sind ihre Axenquadrate
konstant; es wird daher

dA,
—;

dAa+ı dAa-+g
dS—= ne en Aıniek
Igatı _ Ydars BBET7

wo in den Ausdrücken für y die frühern Axenquadrate W,, As, .. - Way nunmehr durch
die ebenfalls konstanten A, As... Au ersetzt sind. Die Grössen A, Ay ...Aa ver-
schwinden, und für die übrigen ist

Kar tie te hl,

ne BR AB. BIENEN URRRSL. DERRSEIR ee ee n]
Ast - U Aare -Ü AU, ’ a

le: 22 ei) ) ne (4°):
Frl U wer need

Nach dieser Verminderung der Gliederzahl fährt die identische Formel (11) zu bestehen
fort, und es ist klar, dass auf dem gegebenen (n — «)-fachen Kontinuum zwischen irgend
zweien gegebenen Grenzlösungen immer S von ihrem Verbindungswege unabhängig ist,

und daher im allgemeinen [ds>S sein wird. Nun reichen aber die n — « — 1 Be-

be Ö S ® . . .. » .
dingungen R — — (0) gerade hin, um die n — @« — l arbiträren Konstanten W zu bestimmen,

A
und dann zeigt wiederum die Formel (11), dass, wenn der Verbindungsweg durch die

n — a — 1 Differentialgleichungen d ) . = (0) bestimmt wird, [ds = $S wird. Der so

bestimmte Verbindungsweg ist also unter allen der kürzeste.

Wır wollen noch einen ganz speziellen Fall erwähnen, wo elliptische Integrale
hinreichen, um einen kürzesten Weg auf dem allgemeinen quadratischen Kontinuum in
der n-fachen Totalität darzustellen. Es sei «a =1, (A,) das feste Kontinuum, 9; = 0,
&,=0,...,&,-ı=0, B,=0. Sind », w die letzten Variabeln, so ist die den Kon-
tinuen A,, N, W,... U, gemeinsame Krümmungslinie durch die Gleichungen

y-02=0,...,=-054+5 =

bestimmt, also eine Ellipse. Diese wird von allen Kontinuen, welche nicht zur ersten
Gattung gehören, geschnitten. Alle n — 1 Projektionen eines Stückes des kürzesten
Weges sind also Bogen der genannten Ellipse und reell vorhanden; es ist ?=AJ:(A—A,),

EVER aa Va

und die n — 2 Wegesgleichungen sind

V; 2— 4, SS A, — A, 2. 1.— 4A, dAn __
iE A,d, "+ 145% J; 3" 44 Vi 7 ze

etc.

AA d: Be P f- iz AıdAs ee dAn _
J i Aydı I, " A; sd NH, 1. 3 ArIn- Ha 0.

Die Formel (11), aus der wir bei der allgemeinen Aufgabe die Minimums-
bedingungen, in Forın von Differentialgleichungen erster Ordnung mit getrennten Va-
riabeln, unmittelbar ablesen konnten, ersparte uns den für solche Zwecke gewöhnlichen
Gebrauch der Variationsrechnung, welche zunächst auf Differentialgleichungen zweiter
Ordnung führt, deren erste Integration schon schr schwierig erscheint. Wir wollen
nun zeigen, wie auch diese ziemlich leicht ausgeführt werden kann.

Sind A, A,... Aa die ersten Axenquadrate der festen konfokalen Kontinuen,
auf deren Durchschnitt ein kürzester Weg angegeben werden soll, so giebt die Variations-
rechnung folgende Bedingungen zweiter Ordnung:

— 205 —

iu arzt au) 245, | (12)

ce
alt re) de |
etc.,

wo A, hs... a zu eliminierende Konstanten bedeuten. Da eine der Gleichungen (12)
eine vollständige Folge der übrigen ist, so ist nach geschehener Elimination die Zahl
der wesentlichen Gleichungen n — @« — 1. Die erste Integration wird also nur dann
vollständig sein, wenn sie eben so viele arbiträre Konstanten einführt.

Es seien nun X, ®B,€,...% die konstanten Axenquadrate irgend eines mit den
gegebenen konfokalen Ban man multipliziere die Gleichungen (12) erstens mit

LAN. IRRE SER... B0
‚9 °*+ zweitens mit ds’ Bds

18 --‚ und addiere; man erhält so die zwei Gleichungen

x dx X h N, ha
x 15-8 -1)G a ae
y dx „de _ _ yadı
d - 27. x natur ta)

Als ds

und hieraus durch Elimination des die Faktoren A enthaltenden Aggregats und nach
gehöriger Reduktion:
xda\? x da) __

dU=d (23) (25 -1)2404=%::::: (9
Wir haben also ein erstes Integral U = const. gefunden. Es muss aber auffallen, dass
für die Darstellung eines und desselben Weges alle beliebigen Werte der Konstanten A
gebraucht werden können. Man kann nichts anderes daraus schliessen, als dass‘ die
Integralgleichung in Beziehung auf W identisch sein müsse, sobald x, %,... in Funktion
einer einzigen Variabeln, wie es der gesuchte Weg verlangt, ausgedrückt sind. Be-

. . . .
trachtet man nun die Grössen &, 9... ee welche irgend einem Wegeselement

entsprechen, als gegeben, so findet man U, mit Weglassung der sich aufhebenden Glieder,
als ein Aggregat von Brüchen, deren Nenner teils einfach U, ®,..., teils Produkte,
wie WB, sind, während in den Zählern X gar nicht vorkomnit; setzt man W unendlich
gross, in welchem Falle die Verhältnisse W:3:@:... unendlich wenig von der Einheit
abweichen, so reduziert sich U auf x: Daher ist U=PE(MW:ABE...Y, wo Q eine
ganze Funktion (n — 1)-ten Grades bezeichnet, deren höchstes Glied den Koeffizienten
1 hat. Setzt man = A,A.,...: 4a, so wird & 1 —1=(, 23 —=(, also U=0

Wir kennen also schon « Wurzeln der en p (AM) = 0, die n — 1 — « übrigen

— 206 —

seien Var, Yarsı - - - Yu. Demnach haben wir endlich das Integral der Gleichung (13)
in seiner wahren Form, nämlich:

2) -FE- 1):

Ads A Ads?
_ A-A) AA). (UA) A-Aar) A-Uarr)... (UA) (14)
ABE...99 ee

Da diese Integralgleichung wegen ihrer identischen Beschaffenheit in Beziehung auf die
Unbestinımte V ein ganzes System von Gleichungen in sich schliesst und die geforderte
Zahl n — @« — 1 arbiträrer Konstanten Wars, Wars - - . X. enthält, so ist diese erste
Integration des Systems (12) vollständig.

Um das Zusammenfallen der Gleichungen (4) und (14) nachzuweisen, bezeichnen
wir die Kosinus der Winkel, welche das Wegelement ds mit den Normalen der n — «
Varıabeln konfokalen Kontinuen bildet, mit

kazyı, Aayay.. A, dann st dA = 2A4,pds, | = a +1, +2,...n],

und wenn das Summenzeichen S sich nur auf diese letzten Zeiger erstreckt,

—=ı sp, Y=y. SP, ete.,
2 2413
(2) =, nr +2 a” „starr ‚ etc.,
dx? y x° .
za SE (ET) H2SARpY (Ey);
aber.
ad. (3 :-:3 _At sy
AA: (A— U) pl 4) A--A 4
un (00, RR Ben
— Aa: A TO pAaA—-M'
N _ 1 v3 __4\,
- AR T a-ZWaü (= A 1);
daher

el) DENE ee A.
ET (!% 1 (542,) are

Wenn man ferner die identische Gleichung

—ıq de ar

— 207 —

logarithmisch differentiiert, so erhält man

ri) Sr

Mittelst dieser Formeln verwandelt sich endlich die Gleichung (14) in

S 1? ne (A— Au+e) Ar). AU)
AA 2 M— Aarı) A — Aut)... (U — An)
woraus
Aa+ı Aa+2 42 _ Kent.
Aarı Wi a 7, 0 u "TA u 0, [? un zu 2, ” Tr 3, nz n]

als System der n — « —- 1 Differentialgleichungen erster Ordnung des kürzesten Weges
folgt, welches mit (4) zusammenfällt, indem man A,= A,= : - - Aa= 0 setzt, wie es die
Konstanz der Axenquadrate A,, A,, . . . Aa erfordert.

Es ist bekannt, mit welchem Erfolg in der Statik die Begriffe des Differential-
parameters und des Potentials von Gauss, Lame, Liouville und andern eingeführt und
angewandt worden sind. Die meisten hier einschlagenden Sätze sind aber durchaus nicht
auf den Raum beschränkt, sondern gelten für jede beliebige Totalität. Dieses nachzuweisen,
ist der Zweck der folgenden Paragraphen. Wenn darin auch das meiste dem Leser bloss
als generalisierende Nachahmung der genialen Arbeiten der erwähnten Analysten er-
scheinen muss, so wird er doch am Ende dieses Abschnitts eine sehr allgemeine Form
der Entwicklung arbiträrer Funktionen von beliebig vielen Variabeln in Reihen von
periodischer Natur finden, die vielleicht einiges Interesse darbietet; überdies glaubte ich,
Dinge, die mit der Theorie der vielfachen Kontinuität in so engem Zusammenhang stehen,
hier nicht übergehen zu sollen.

S 47. Ueber die Verwandlung des Differentialparameters mittelst orthogonaler
Funktionen.

Werden auf die n unabhängigen Variabeln x, y,... einer Funktion V die linearen
und orthogonalen Transformationen

-

z=et+tat Hat, y=ßt+Brt- Bit’: -, ete.

angewandt, so ist

woraus sogleich erhellt, dass dasselbe Rechnungsverfahren, welches

ty et tt’ Hl
giebt, auch zu

3 V 9 V
tat at - tantomt

führen wird. Die Operation 2 + 35 —+ +» ändert also ihre symbolische Form nicht,

wenn die Variabeln ortlıogonal transformiert werden. D.h., wenn x, y,... als ortlo-
gonale Variabeln betrachtet werden, so ist jene Operation zweiter Ordnung von der
Wahl des orthogonalen Systems unabhängig. Das Resultat derselben möge der Diffe-
rentialparameter der gegebenen Funktion YV heissen.

Wir stellen uns nun die Aufgabe, wenn n Funktionen f,f,/ ,... der n Va-

i 1 SER »
riabeln x, 9, ... den gan (n — 1) Orthogonalitätsbedingungen von der Form

9:7 IT
9% = I y: er

gemäss der Forderung, dass f, f',f ‚... als unabhängige Variabeln erscheinen sollen,
umzugestalten.

Zu diesem Zwecke denken wir uns das n-fache Integral N = "MWdazdy...
durch ein beliebiges einfach geschlossenes Kontinuum begränzt. Die Richtungskosinus

einer Normale dieses Kontinuums seien A, u, »,...; und wenn die Werte der Variabeln

einer Lösung desselben zukommen, so sei A en Fr pn + =D. Jenes Integral $

"22
nun zerfällt in x Teile, wie | nz dxzdydz... Bei diesem z. B. kann die auf x be-
n—|
zügliche Integration ausgeführt werden; sie giebt | ( (5) dydz..., wo die Klammer

r

r i
anzeigt, dass man vom Endwerte von Hr den Anfangswert zu subtrahieren hat. Be-

zeichnet nun dw ein Element des Grenzkontinuuns, und wird überall die Richtung der
Normale im gleichen Sinne verstanden, nämlich nach aussen, so ist beim Endwert
dydz...=Adw, beim Anfangswert hingegen — A dw (wo A, dw andere Werte haben

— 209 —

'mögen als beim Endwert); die Subtraktion wird also durch dieses letzte Minuszeichen
wieder aufgehoben, so dass man hat

7 (Sr)avaz... = (1 Y au

wo das letzte Integral sich ohne Unterbrechung über alle Elemente des Grenzkontinuums
erstreckt. Da Aehnliches für die übrigen Teile des Integrals S gilt, so folgt

S= /f[ DV.du.

Die Operation D ist von der Wahl des orthogonalen Axensystems unabhängig.
Man kann daher an der Stelle eines jeden Elements dw auch die Normalen der durch-
gehenden Kontinuen des orthogonalen Systems (f,f,f ‚...) als Axen gebrauchen.
In Beziehung auf diese seien ©, @',©",... die Richtungskosinus der Normale des
Elements dw, so ist, wenn, wie früher,

ne (5) - w ..., etc.
gesetzt wird,

dr
= 0©- | | j .

also

D=®©R OR get

Da die Form des Elements dw frei steht, so kann man seine Projektion auf das lineare
Tangentialkontinuum ‚f — const. als orthogonales Paralleloschem auffassen, dessen Seiten

°F ‚ I ‚... sind und daher O dw = EB ET setzen. Dadurch wird
n—|
R „ 1.
fordlau - [| (er ar) U df «
Dem Durchschnitt der Kontinuen f', f”,... entlang zielt sich ein Element der zugleich

mit S begrenzten Totalität "dx dydz..., welches nur eine endliche Ausdehnung hat
und an welchem Anfang und Ende zu unterscheiden ist, gerade wie bei der Anwendung
der ursprünglichen Variabeln x, y,... Es ist also auch

9V
f OR! g7 il _ (wa K We = af) dfaSaL UF 225

27

_ 210 —

also, wenn man wieder alle Teile zusammenfasst:

ON ee I nen dl
„(er ER'R”... m R”..öf, 3 4 mir ee + fafartaf”

Da aber das Element der Totalität als Paralleloschem aufgefasst werden kann, dessen

Seiten ur . ee .. sind, so ist

I u W ! 9.2 [ZE
S= | Wazdyda...=| ppm AS afaf df

Die begrenzte Totalität, über welche sich das Integral $ erstreckt, kann so klein an-
genommen werden, als man nur will; folglich muss der Differentialparameter
WZRER'R”.. Aha R 9V

öf\RER"’R”... ar)tor (Km R 98V

R” 9V
RR'R”... .Hf + (m

RER”... ap) ee
sein.

Wir wollen noch im Besondern diese Formel auf konfokale und auf polysphärische
Koordinaten anwenden.

Werden die Bezeichnungen von $ 45 gebraucht, so sind bei Einführung konfokaler
Variabeln , ff »:-„R,R,R”,...durch A, A, Ay... Au 2 pP, 2 Pa - - . 2 P. zu er-
setzen, und man hat

= 9( a9 _\...ı. 2 (_#_ IN
N= 4 pı P: ia P- y (- Pı-- -Pn Ber ze = An (5; Pa. -Pn 32,))

,RR...B.(0 [ »R 09V ke BR 9 a)

-. = ze a ee 57 R,R,... In-ı HA,

d.R, ee 0.R

4 ru. St 9A, n In

nn a ra er 9A. ’
weil z.B. ®,, R,, R,,.... R, die Variable A, nicht enthalten.

Wenn die polysphärischen Transformationen
&ı=rc08SQp, M=rSingp C0SPp, = rsing, Sin 9 COSQPp,....
., u;-ı =’SNMY SINP;...SINP„_,2 COS, 1, o» = rSINQ, SINPY,...SIN@P,_.SIN P,- ı

; 1 1 1 i
sind, so muss man f,/ »S » 5 ee durch », 9, @1,...9,._-ı: 1,r, 7 sin Q,,

FSMQ SM pn: 2 neueren. ‚rsingp Sin@...sing,_, ersetzen und erhält:

— 2]1l —

4 dr 1 N 2 leulrı. 97
= wa Or 7 z 7? sin? y, sin? gy... sin? _ı sinn —'-1 y di (sin y I)
Eine spezielle Folgerung aus dieser Formel hat für das folgende Bedeutung;

en ie « i
wenn nämlich V = =; Ist, 80 wird W=0.

S 48. Ueber das Potential.

Wenn %k eine gegebene Funktion der n Variabeln x, y,... bezeichnet,
welche ausserhalb eines begrenzten Teiles der Totalität verschwindet, und ferner
r=Yla— a)" +(b—y)®”-+-... der Abstand der zwei Lösungen (a, b,c,...) und
(x, Y,...) ist, so ist

v-( k_dxdyde....,

yr —?
als Funktion der Variabeln a, db, c,.... betrachtet, das Potential der Masse
f’kdxdydz... für die Lösung (a, b,...), und die gegebene Funktion % ist die jeder
Lösung (x, y, ...) zukommende Dichtigkeit. Ist k innerhalb der Begrenzung konstant,

so heisse die Masse homogen.

Bestimmung des Potentials einer homogenen Polysphäre.
Wir setzen uns vor, den Wert des Integrals

ga = sin"g dy s
°o (a —2acosp + 1)?

zu ermitteln, wenn m eine ganze positive Zahl ist. Ist erstens a > 1, so setze man
sin ıı = a sin (W — p), so wächst w gleichzeitig mit @ von O bis r, und man hat

cos ıp sing sin w
dp — (1 my; — et) d D, Be we = =: .
Ya? — sin? ya — 2ucosy +1

Demnach ist

Ya? — sin?

5. | (sinn y — HELEN) ap,
0
und wenn man die Elemente vereinigt, welche supplementären Werten von ı entsprechen,

(5)

r(5 +1):ar

a”,

gs "sin" vdv=

Ist zweitens « < 1, so ist
Ss,= 22 N" gdy

.
my

1\2 2 ;
(() ar ')

5. = |” sin” vdw.
0

also

do

n—?‘

Nach dieser Vorbereitung gehen wir an die Bestimmung des Potentials V = [

«

eines totalen polysphärischen Kontinuums vom Radius 1, wenn das Massenelement mit
dem Element dw des Kontinuuns identisch und a der Abstand der Lösung, für welche
das Potential gesucht wird, vom Zentrum der Polysphäre ist. Bedeutet g den Winkel,
‘welchen der nach d® gehende Radius mit dem genannten Abstand «, den wir als erste
Axe der polysphärischen Variabeln ansehen wollen, bildet, so ist = « — 2ucospg-+H1.
Das Element do kann als Paralleloschem von n — 1 orthogonalen Seiten, welche den
Variationen der polysphärischen Variabeln entsprechen, aufgefasst werden; seine erste
Seite ist dp, und das Produkt der übrigen mit sin””"”@ proportional; wenn ınan
do = sin"""pdgp-dw setzt, so ist das äquatoriale Element dw von p unabhängig.
Die Masse ist

Das Potential ıst also nach dem Vorigen

en "sin’vdv- (dvW =

ATERT

a" —.

je nachdem «a >1 oder a <1 ist; d. h.

Das Potential eines homogenen polysphärischen Kontinuunis ist für
eine äussere Lösung (oder auch für eine auf dem Kontinuum selbst befindliche)
gerade so, wie wenn die Masse im Zentrum vereinigt wäre; für eine
innere Lösung dagegen gleich, wie auf dem Kontinuum selbst, also inwen-
dig konstant.

Das Potential einer homogenen Polysphäre von der Dichtigkeit 1 und dem
Radius ” ist für eine äussere Lösung, welche um «a vom Zentrum absteht,

1? y
RZ n ar?
A

für eine innere Lösung dagegen

Da die Funktion V nur die Variable a enthält, so ist der Differentialparameter
oV
I. ar! ——
Ww- 1 da

ar! du

und verschwindet für eine äussere Lösung; für eine innere dagegen ist

”
1?

Weise fe 2

(2-1)

Differentialparameter des Potentials. Wir betrachten wieder eine beliebig
verteilte endliche Masse und bezeichnen mit r den Abstand der variabeln Lösung, auf
welche sich das Potential als Funktion bezieht, von irgend einem Element dın der ge-

gebenen Masse; das Potential dieses Elements ist ; da nun für ein endliches r

die unendlich kleinen Dimensionen von dm nicht in Betracht kommen, so enthält dieser
Ausdruck nur die Variable », und sein Differentialparameter ist daher

1
8: —;
dm- ni v2) = 0.

rr-1 Or

Nun ist das Potential V der totalen Masse gleich der Summe der Potentiale ihrer
Elemente; also auch der Differentialparameter W von V gleich der Summe der Differential-
parameter der Potentiale aller einzelnen Elemente. Daher muss W für jede ausserhalb
der Masse befindliche Lösung verschwinden.

Um nun auch für eine der Masse angehörende Lösung den Wert von W zu
finden, beschreiben wir um dieselbe eine Polysphäre von unendlich kleinem Radius, so
dass mit Vernachlässigung von Grössen erster Ordnung die Dichtigkeit % innerhalb
dieser Polysphäre als konstant angenommen werden darf. Dann teilen wir Win einen
dieser Polysphäre und einen der ganzen übrigen Masse entsprechenden Teil. Jener ist

‚nach dem Obigen — 4% 7°: T(% — 1), dieser ist Null. Also ist überhaupt:

—— —-. 1.1. 0. 08 © —

vv BvV eo,
9x Oy! 9: z 4 r($ -1) k

— 214 —

D.h. Der Differentialparameter des Potentials einer gegebenen Masse für
irgend eine Lösung ist — (n— 2) mal das Produkt des totalen Masses des
polysphärischen Kontinuums vom Radius 1 und der für die Lösung statt-
findenden Dichtigkeit.

$ 49. Bestimmung des Potentials der von einem quadratischen Kontinuum

erster Gattung umschlossenen homogenen Totalttät.

Es sei “ --%,-- +. =1 die Gleichung des Grenzkontinuums, («, b,...) die

Lösung, für ee Fe Potential V gesucht werden soll, "= (e — a)’ + (y—b)’+ ---,

"dedydz... x»
‚-feug, [++ <il,
dAY=Xda+Ydb-+-Zdc-+--»;
dann Ist
l

IE
xX=-(n-2| TIEZG@-)-—|' et drdyde |" ( ==) dydz..,

wo die Klammer den Unterschied zwischen dem End- und Anfangswert anzeigt. Es
seien nın A,B',... die Axenquadrate des durch die Lösung (a, b,...) gehenden kon-

2 ai
fokalen Kontinuums erster Gattung, also FT Zu 1, femer z=Y4A-«,

y=YB-y,....: a=})4-a, b=}B-b,....; dann wird

X=-1B0... | (a)dy dr...,

n
wo das Integral sich über das ganze durch die Gleichung &° -- y’—+- +» = 1 bestimmte
polysphärische Kontinuum erstreckt. Wird das Element dieses Kontinuums mit do be-
zeichnet, so kann dy dz.... durch x do ersetzt werden, und man hat

yo?

Yselpe, "de

Wenn wir nun den Wert von r näher betrachten, so ergiebt sich eine merkwürdige
Transformation des vorliegenden Integrals. Es ist nämlich

"= 4X By’ —2(Aadl de +1BB-Vy+:)tAad’+BV’+----

— 215 —

Da aber in der ganzen Ausdehnung des letzten Integrals «’+ y’-+- -=1=a’+l’+---,
und überdies A— A = B—DB=-.- ist, so hat man auch
(A—A)X"+(B— B)y’+ = (A—A)a’+(B—-B)V’+---,
oder
AX”’+ By’... - + Au” - BV’+.. =Ax"+ By’. -+Aad”’+ BV’+---;

folglich auch
"= 4x:'’+By’+---—2 (YAM aa +YBB-by-+--)+ Aa’--BV’+---;
d. h. wenn die polysphärischen Variabeln sich gleich bleiben, so darf man beide kon-

fokale Kontinua mit einander vertauschen, ohne dass der Wert von » sich ändert. Es
sel nun

= yBo...(zas,

yn—!

also X:X, = YBC...:YyBC'...; und ferner si = Yd-ad, b=YB-b,...,
dV, = X, da, + Yıdb, zZ de, +:--; dann ist V, das Potential der vom zweiten kon-
fokalen Kontinuum (4°) umschlossenen Totalität für eine auf dem ersten Kontinuum (4)
befindliche Lösung (a,, bi, ...). Dadurch sind die zwei Fälle, wo die Lösung, für welche
das Potential gesucht wird, innerhalb, und wo sie ausserhalb des quadratischen Grenz-
kontinuums liegt, in gegenseitige Beziehung gebracht.

Wir behandeln nun zuerst den Fall, wo die Lösung innerhalb liegt, indem wir
von der Formel

an (n — 2) f (2 — a) urlyır

ausgehen und polysphärische Variabeln einführen, welche die Lösung («,b,...) zum
Zentrum haben. Es sei z=a-—+rA, y=b-+ru...., also #+u’—+.---—=]1; und
das Element des polysphärischen Kontinuums vom Radius sei do; dann wird das Ele-
ment der Totalität r""'dr do, und wir haben demnach X = (n —2) ([fAdrdo =
—=(n—2)([Ardo, wo r stets positiv zu nehmen, und das Integral über das ganze
polysphärische Kontinuum auszudehnen ist. Da die Werte von r im letzten Integral

2
sich auf das Grenzkontinuum nr —- ” —:..—1 beziehen, so hat man vr’ —+ 2 ur =h,

wenn

eh RE ed = 58
a a al h=1-(7+2+ )

— 216 —
gesetzt wird; nach der Voraussetzung ist A positiv, und es folgt

—u+Ye+hv
er eng
®

wo die Wurzelgrösse als positiv gelten soll. Vergleicht man nun zweı Elemente des
Integrals X, für welche die polysphärischen Variabeln A, «,... sämtlich gleich und
entgegengesetzt sind, so sind die entsprechenden Werte von — Au:v einander gleich,
hingegen die Werte von Aw Av:v gleich und entgegengesetzt. Dadurch ist die
Wurzelgrösse beseitigt. Vergleicht man jetzt auch zwei Elemente, für welche u, v,...
gleich, aber A gleich und entgegengesetzt ist, so ersieht man leicht, dass das Integral
sich auf

N)
X nn (n er 2) T 22 RR,

n)
uU”

A =. B + ae
reduziert. Der Wert von X ändert sich also nicht, wenn man auch alle linearen Dimen-
sionen der Masse proportional verändert, wofern dann nur die Lösung (a, b,...) immer
noch innerhalb bleibt.
Um nun für diesen Fall einer innern Lösung auch den Wert des Potentials F
zu bestimmen, wollen wir denselben zuerst für das Zentrum suchen. Es ist für dieses

(++ —1, V=ifrdrde—= | [vr de
u ya! .) = ; = Il ra0—,.)1 ;

also

Diese Formel giebt uns die Konstante, wenn wir die Gleichung XV = X da --Ydb + --
integrieren. Wiır bekommen für irgend eine innere Lösung

2° D? u?
B 1 la n— 2 A an
I Eee a ed, ae)
2 Aue ur L 2 2? u r
ATRB Fe

Es wird sich in der Folge zeigen, dass diese (n — 1)-fachen Integrale sich in einfache
verwandeln lassen.

Wir wenden uns nun zur Behandlung des schwierigern Falls einer äussern Lösung.
Aus dem früher Gesagten folgt leicht

1 _._YABC...J a 2: do
n-—2° 0 yABC..JAIM, Mt, vw
A’ + B + Ce +

Wenn wir aber die Gleichung dV/ = X da -+Ydb-+--:- integrieren wollen, so dürfen

2 2 $.
wir nicht vergessen, dass vermöge der Bedingung T + EG + Gr — +. -=]1 nunmehr
A eine Funktion von a, b,c,... ist. Wären A, B',... konstant, so bekäme man bei

der Integration die Funktion

a??? D? u?

ı YAB...J A '—B 1

OO eyam. Jg) R,e z
atpt

EIRRRERRE zer
AU av | 1 YAB...J | ie

n-3 ta Yan. y A x
A'
a? 2? 2 a? ı?
dA’ YAB...J 2 7 dA YAB...J 2452
—- P) . SF FE do == eS , mar a Zu CA HE do.
VaBt...J YA'B'...d (27)

: .. .. a2 . r
Wir müssen suchen, für das letzte Integral, wo das Quadrat von 2-7 im Nenner

steht, wegzuschaffen. Es ist

a? ‚© a? 1? a? i? 4? a? )?
U Ka a ee 6
A 2» IT 8 22 FERN
TR er. = (27)
1 „dr zer zer > 13 zer |
ar gr ar Tu ar A
a un a ee en ee)
a Pie A FE FE Pru
A A 4' ( A'
Auf der linken Seite ist der Faktor von do in Beziehung auf A, u,... homogen und

vom nullten Grade. Wenn man also mit f n»"""dr =1 multipliziert und dann das

Element »"=' dr do der Totalität durch dx dy... ersetzt, so kann man auch im Faktor
desselben A, u,... durch x, y,.... ersetzen. Man erhält
28

Dr a? x? n-ı / X a? ı? 2 a? 2?
"9 [A 2 Fe, AU A
| N re ne 9 dedydz---=n Fuzeg dydz- =n ae. do.
u 3 — P2 er > Gr
A 4A 4A

Also ist jene Summe auf der linken Seite

d 2 3

(X +y-+--- =])

2 2
nf do=n (FIRdo+gledo+.),

oder, da offenbar [A’do= f[udo= etc. — n S@A-H-u'--..)do= r f de ist, auch

= (54% +. )fdo=fde=2

n

gr:

Durch diese Vorbereitung in den Stand gesetzt, jenes Integral, wo im Nenner das
Quadrat einer Summe steht, zu entfernen, bekommen wir

und hieraus endlich

n
q?2

ter er
v-— E aB0.T |
n_ YaB'...J'
(#1)

A'

YABC...J

ee u,

a? ı?

ea a eg
2 YA’ B’C'...J' a,
4'

wo die Integrationskonstante so bestimmt ward, dass V für eine unendlich weit entfernte

Lösung (r, b...) verschwindet.

Liegt die Lösung («, b...) auf dem Grenzkontinuum (4), so muss dieser Aus-
druck mit dem früher für eine innere Lösung gefundenen übereinstimmen. Man hat also

2 abe... Jg’

P

wodurch ein (n — 1)-faches Integral in ein einfaches Abelsches Integral verwandelt ist.
Hiedurch zu der Vermutung geführt, dass auch das andere (n — 1)-fache Integral,
welches in (1) und (3) vorkommt, in ein einfaches sich verwandeln lasse, untersuchen

a u

— 219 —

wir in dieser Absicht die oben gefundene Reduktionsgleichung (2), welche, indem wir

. sense | ie 43
die Accente weglassen, a,b,... als unabhängig annehmen und abkürzend v= 3%,

A
v=& E u YABc.. BC...J setzen, folgende Form erhält:
1
1 „a? _ OlogR ] , v
DEP ELLE y, Zd — 1, da — Swag ds
—R, „ 15 je Fr
wo die Differentialkoeffizienten im Sinne von dA=dB=dC=-:--—=d.J zu verstehen

sind. Integriert man so, dass beide Seiten der Gleichung für ein unendlich grosses A
übereinstimmen, so wird

a5 ® a? dA
BR BenN N
el 00 r(' AR

Beide Fälle, einer innern und einer äussern Lösung in einem Ausdruck vereinigend,
können wir nun das Endergebnis dieses $, wie folgt, aussprechen:

It = (2 — a’ + 2 — -, und das n-fache Integral V
— (me®dedydz... durch I + r em -<]1 begrenzt, wofür alle A, B, (C\...

positiv sein müssen, so ist

: ie et u en
RE = A+u B+u C+u
‚= = ABU... Teen ET N. ; 4
e-)' J YA+u) (B+W)(C-+u.. gu (4)

wo als untere Grenze des Integrals «—=0 zu nehmen ist, wenn dadurch der
Zähler des unter dem Integrationszeichen befindlichen Bruchs nicht nega-
tiv gemacht wird, sonst aber der positive Wert von «a, für welchen dieser
Zähler verschwindet.

Die folgende allgemeine Betrachtung wird uns einen noch kürzern Weg kennen
lehren, auf dem man zu diesem Satze gelangen kann, welcher für n = 3 den, wenn ich
nicht irre, zuerst von Ivory gefundenen Ausdruck für die Attraktion eines homogenen
Ellipsoids in sich schliesst,

$ 50. Ueber eine Verteilung von Masse auf einem quadratischen Kontinuum
erster Gattung, welche zugleich mit ihrem Potential bekannt ist.
Gelten die Bezeichnungen des $ 45 und setzt man abkürzend

dA,
IR,’

dA, dAn

do, = IR’ dp, = 37: .

de: —

so kennen wir aus $ 47 folgenden Ausdruck des Differentialparameters mittelst kon-
fokaler Variabeln:

1 0?V 9? 9? V
Diffpar. ‚= 177 (®. Ip: 4 oO, dp? — nu re _ OD, 508) '
2
Wäre nun (— 1)'"' Dr für ©=1,2,3,...n immer einer und derselben ganzen Funk-
tion (n — 2)-ten oder niedrigeren Grades der einzigen Variabeln 4A, proportional, so

müsste nach einer in $ 45 gemachten Bemerkung Diffpar. V verschwinden. Es sei M,;
eine solche ganze Funktion von A,, und man soll bewirken, dass

147 =MV

wird. Dieses wird erreicht, wenn man

V=PBP..D, (VTIA=MP

setzt, wo für ©=1,2,...n ımmer P; eine und dieselbe Funktion von A, bedeutet. Ist
diese Funktion P algebraisch und nicht gebrochen, d. h. wird sie für keinen endlichen
Wert von A unendlich gross, so vermehrt die Operation vr ihren Grad um n — 2;
also muss die Funktion M vom (n — 2)-ten Grade sein. Da die Differentiation nach 9

Wurzelgrössen hineinbringt, so sehen wir uns bewogen, von vornherein die Funktion P
als Produkt einiger Axen YA, YB,... mit einer ganzen Funktion des Axenquadrates A
vorauszusetzen ; das Produkt jener Axen sei } X, diese Funktion f (4A), also P= YK.f(4).
Ferner sei = ADBC....= KL, und », 9 seien die Grade von K und f in Beziehung
auf A (was wir unter der Voraussetzung d4A=4B= --- als einzige Variable ansehen).
Werden nun die nachı A abgeleiteten Funktionen durch Accente bezeichnet, so ver-

wandelt sich die Bedingung a =MPın

4KLf'HBB@KL+KL)F+@K"L+KL)f=Mf ... U

2 —

Da es auf einen konstanten Faktor in f nicht ankommt, so wollen wir 1 als Koeffizient
von A® annehmen. Dann wird der Koeffizient der höchsten. Potenz A*-? in der Ent-
wicklung von M gleich

498 — 1) +2 (37a +n — )9-+2nm —- Y)+yn—n)
—=409"+2 2 nr +n—- D9+,(n+n—2)
= (29 +n)2?d9 +n+n—2).

Ist m der Grad von Pin Beziehung auf die Axe YA, so ist m — 2 6+- 1: und mn (mn — 2)
der Koeffizient von A”=* in der Entwicklung von M. Es bleiben in den ganzen Funk-
tionen f und M noch n — 2-+ 9 Koeffizienten zu bestimmen übrig. Die Gleichung (1),
die wir identisch zu machen haben, ist aber vom (n — 2-+-Ö)-ten Grade, und da wir
die höchsten Potenzen schon berücksichtigt haben, so bleiben noch n — 2 +9 Beding-
ungen übrig, welche wenigstens ihrer Zahl nach gerade hinreichen, das Verlangte zu
leisten. Die nähere Erörterung dieser Aufgabe werden wir erst später in $ 52 vor-
nehmen.

Es ist klar, dass die algebraische Funktion P nicht das allgemeine Integral der
Gleichung an — MY ist, weil nur der arbiträre Faktor, den sie haben kann, als

Integrationskonstante zählt. Es sei @ ein von P wesentlich verschiedenes Integral der-
selben Gleichung, so folgt, wenn man aus den Gleichungen .

PP, 90 __
da MP, De MQ
das Polynom M eliminiert,
| ER
—Q dp: 0,

und durch Integration dieser Gleichung

90 öPp
Pe -Qg = 2.222000.

wo wir —1 für die arbiträre Konstante gesetzt haben, da irgend eine andere Konstante
nur der Multiplikation von Q mit einem konstanten Faktor entspricht. Da wir beab-
sichtigen, Q@ für ein unendlich wachsendes A verschwinden zu lassen, so setzen wir

Q=P("% a ;

222 —

als Integral der Gleichung (2). Für ein unendlich grosses A verschwindet der Einfluss

. . 10
der Unterschiede zwischen den Axenquadraten A, B,C,..., und wenn man 14 =a
setzt und 1 als Koeffizient der höchsten Potenz in P annıimnit, so wird

De N 1
oo n+2m—2 artr=:

und verschwindet daher für ein unendlich wachsendes a, sobald n > 2 ist, was wir
fortan voraussetzen wollen.

Es ist jetzt leicht, das allgemeine Integral der vorliegenden Differentialgleichung
zweiter Ordnung anzugeben; es ist « P-+ß@, wo «a, ß die arbiträren Integrationskon-
stanten bedeuten.

Da nur die erste Gattung quadratischer Kontinuen ein unendliches Wachstum der
Axenquadrate verträgt, so können wir Q nur auf solche Kontinua beziehen und daher
nur den Zeiger 1 bei dieser Funktion anbringen.

Aus dem gleichen Grunde, warum Diffpar. (PP... P,) = 0 war, ist nun auch
Diffpar. (Q, PP... P,) = 0, wofern nur die Funktion P für keinen zwischen A, und
+- 00 liegenden Wert von 4 verschwindet. Man kann nun immer das Axenquadrat A

i ae x y? .
eines Kontinuums , + Gh = | erster Gattung gross genug annehmen, dass die

Funktion P weder für diesen, noch für irgend einen grössern Wert von A verschwindet.
Dann ist klar, dass nicht nur, wie sich von selbst versteht, das Produkt U=PRP:ı...P,
für keine innerhalb des gegebenen quadratischen Kontinuums liegende, sondern auch das
Produkt I[=Q, PP...P, für keine äussere Lösung unendlich gross wird.

Wir wollen nun die zwei Integrale

n 8 1 9 1
I fon ra on m ey
pi ne (90 Zee ay Zn dxdydz..., 15 + De <il

” 0) 1 ) 1
0) Ir gen a 2) IT yr _— 2 ‚r? y®
w u = — — iz Ss — — -t- 010.380 06° ' = .- en oo.»

näher betrachten. Ersetzt man für ein schr grosses A das Element dx dydz... der
Totalität durch »""'dr do, wo wir auch ” uns als schr gross denken, so sind die

Differentialkoeffizienten von jun; Von keiner niedrigern Ordnung des Unendlichkleinen

n —
1 . . 1 . .
als ——; , und da Q, wie wir oben geschen haben, von der Ordnung -—..-,; Ist, so sind
PUT y" ”

auch II’ und dessen Differentialkoeffizienten wenigstens von keiner niedrigern Ordnung;

2 2 j ß Bud : ’* dr IE
daher ist endlich Q wenigstens von keiner niedrigern Ordnung als FE also für eın
‘

2 93,

unendlich wachsendes r von einer verschwindenden Ordnung, sobald n + m >3 ist. Für

m=0 ist P=1, und (für ein sehr grosses A) nahezu Q = r nn I,Q = - 1 ( do.

9) yr—? yr—!.
Also hat überhaupt für n>2 das Integral O einen endlichen Wert, wenn nur A gross
genug ist, dass P für A, > 4 nicht verschwinden kann; hiebei ist freilich der Einfluss,
den das Hineinfallen der Gegend, wo r = 0 ist, in die Totalität des Integrals auf dessen
Wert haben kann, nicht berücksichtigt. Umschreibt man mit dem unendlich kleinen

Radius e um das Zentrum (a, b,...) eine Polysphäre, so kann man innerhalb derselben

II, IT, , etc. als konstant ansehen. Dann ist z. B.

ie 1
(’® 2 2 2 Pr
—, Andy da... [ey <el=| ( )aydz-.-=0,

yr-?

1 1 j : 3 .
)= —— — —;=0 ist, oder auch, wenn man will, weil das vorliegende

weil (

Q E
Integral =e fAdo=0 ist. Wenn wir also auch die um die Lösung (a, b,....) mit dem
unendlich kleinen Radius eg beschriebenen Polysphäre, mag sie in die Totalität des Inte-
grals B oder die des Q) hineinfallen, davon ausschliessen, so wird dadurch der Wert des
betreffenden Integrals nicht geändert. Wir können nun diese Integrale auf zwei Arten
verwandeln.

1. Es ıst

1
91 9 Be zu dm fa 9 i
JOc 9x dı= (== a) ) FrEs Bar: Ver BR)

wo die Klammern den Unterschied zwischen dem End- und Anfangswert anzeigen. Da
nun das (n — 1)-fache Element dy dz... durch A dw ersetzt werden kann, wenn es einer
Stelle des gegebenen quadratischen Kontinuums (A) entspricht, wo dw das Element
dieses Grenzkontinuums, und A, u, ... die Richtungskosinus der entsprechenden Normale

‚L

Diffpar. [7 = 0, Diffpar. I2’= 0, berücksichtigt werden,

bezeichnen, so ist, wenn abkürzend D=4 3: + u 3, -> ++» gesetzt, und die Gleichungen:

BP | nde, = — an dw.
r

un — 2
‘3

m letz usdruck ist das auf die unendlich weit entfern ügli 1
Im letzten Ausdruck ist d f die unendlich weit entfernte Grenze bezügliche mit
positivem Vorzeichen zu versehende Integral von derselben Gestalt weggelassen wor-
den. Dann für m>0 ist DIT wenigstens von derselben Ordnung mit II oder Q,

1 .— .
also von der Ordnung en und da dw = r""' do gesetzt werden kann, so ist das

— 224 —

. . 1 . eee ®
fragliche Integral wenigstens von der Ordnung —_—., und verschwindet, wenn n > 3 Ist.
r

Für m = 0 ist II von der Panne daher DII’ von der Ordnung u also das frag-

yn—2?

liche Integral von der Ordnun alls für n > 3.

Die Operation D et die Variation einer Funktion längs der Normale des
Elements dw, dividiert durch das betreffende Element der Normale. Sie ist daher gleich

2 Par wo » den Abstand des Zentrums vom linearen Tangentialkontinuum in dw

bezeichnet, und von den Axenquadraten A;, A;,... A, der übrigen konfokalen Konti-
nuen unabhängig; also DI = ADP):BBR=» 2 und DI = ID)»: BR 2

Ferner ist p= R:Y(A— A)(A— 4)... (4 — A,); folglich, wenn wir abkürzend
q=Y(A— 4A)(A— 4)... (A — A,) setzen, D= 7 35 Da nun in den vorliegen-
den Integralen A als konstant gilt, so haben wir

dp [Palı...?

_ n - P,P.
Pa) erden nz al gi du,
und vermöge der Gleichung (2)
PO+HQOP = St de....0 2... . (9)
Man kann do durch °F = m — 2 ee! dydz... ersetzen. Verwandelt man
px Rr

ea : ES: ri au: . . . .. ®
durch 2 = YA .£, y=YB.y, ete. das quadratische Kontinuum in ein polysphärisches
vom Radius 1, dessen Element wir gewöhnlich mit do bezeichnen, so wird dy dz---=xdo,

und C" = de.

2. Die andere Verwandlung ist

1 | =
8 — 8° —,
9 yı-2 yn-?2

!0r 98: 1. [n? 5 = | =

Bevor wir nun diese Gleichung mit dy dz... multiplizieren und in Beziehung auf x, y, 2,...

summieren, wollen wir die Folgen der Ausschliessung der Polysphäre e um (a,b,...)
3 he 9, 9 1

beurteilen. Iın letzten Gliede rechts ist immer er ey +. ) („. 3) — 0, so lange

» nicht verschwindet. Wenn also die Polysphäre o ausgeschlossen wird, so ist auf der

rechten Seite in der Summe das zweite Glied wegzulassen. Hinsichtlich des ersten

Gliedes rechts kann die durch Wegnahme der Polysphäre oe entstandene Lücke durch

— 2235 —

n (De do=n |, (5) de=— m HN [do= — in |
r(2-1)

ausgedrückt werden, wenn für II der der Lösung (a, b, ...) entsprechende Wert gesetzt
wird. Steht II’ an der Stelle von II, so ist das der unendlich weit entfernten Grenze

entsprechende Integral von der Ordnung f IT'do, verschwindet also. Durch das Gesagte
wird die Richtigkeit der folgenden Gleichungen hinreichend begründet sein.

Wenn ++. <i ist, so ist

p-p[aho a do + = \ PD];
eu
a Bl 2

Po Ren
=; I RR 2° er
PP Do do,
1 a
r}

= - — do + Eee

wo die in Klammern geschlossenen Produkte sich auf die Lösung (a, b,...) beziehen.
Diese Gleichungen geben im ersten Falle |

FRA20I 2 m DB BRe:2];
r 1

im zweiten

3

— —#_pfQBB...D.

(=)

Hält man damit die Formel (4) zusammen, so findet man

S

—— 26 —

Mei Fa LER
2 2

je nachdem die Lösung (a, b,...) innerhalb oder ausserhalb des quadratischen Konti-
nuums (4) liegt. Beide Formeln fallen zusammen, indem A =P, Q =Q wird, wenn
die Lösung dem Kontinuum selbst angehört.

Die linke Seite dieser Formel (5) stellt das Potential einer auf dem Kontinuum (4)
verteilten Masse dar, wenn überall die Dichtigket k= PR PR...P,:q ist.

Sind P, P’ zwei sich nicht nur durch einen konstanten Faktor unterscheidende
Funktionen, welche die im Eingang dieses $ erwähnten Bedingungen erfüllen, und wendet
man das soeben gebrauchte Verfahren auf das Integral

Ox ox

fe m Ned ete) dedydz... ++ <1]

an, so findet man
(PIE — pP) (BB...2.BPR..B@=0.
Op pp). q
Der vorgesetzte Faktor kann nicht verschwinden, wenn nicht P’: P konstant ist;
daher muss

feR..Pp.BP..BF@=0 ......: 0

scin. — Da auch P=1 zu dieser Klasse der Funktionen gehört, so ist für eine Funk-
tion P, deren Grad die Null übersteigt,

[PR..n=0 5. 5 A, dagegen [ "= —_. ce 8)

Hätte eine Funktion P imaginäre Koeffizienten, so gäbe es auch eine Funktion ?
mit den konjugierten Koeffizienten; und wenn BP... P,=u-+vy-— 1 gesetzt würde,
wo u,v reell sein sollen, so wäre PP}... P,=u—tr 1, und man hätte + u do =.
Diess ıst nicht möglich, weil qg immer positiv ist. Die Funktionen P sind also
alle reell.

Die obigen Ausdrücke für das Potential eines quadratischen Kontinuums (A) sind
unter der Voraussetzung bewiesen worden, dass P, für A, > A nicht verschwinde. Könnte

(5)

— 27 —

P, für ein kleineres A,, das immer noch einem Kontinuum erster Gattung angehörte,
verschwinden, so denke man sich das quadratische Kontinuum, welches dieses zunächst
umschliesst; für dieses müsste dann Q einen sehr grossen Wert haben ; eine innere
Lösung (a, b,...) wird immer anzugeben sein, für welche keine der Funktionen P,, P:,
...P, einen sehr kleinen Wert annımnt, so dass das Produkt Q P, P,... P, immer noch
sehr gross wird; dann haben wir aber für das Potential einen sehr grossen Wert, was
nicht sein kann, da die Dichtigkeit auf dem ganzen quadratischen Kontinuum nirgends
sehr gross werden kann. Wir schliessen hieraus, dass die Funktion P, nie verschwindet,
dass also Q, nie unendlich gross wird. Die Formeln (5) sind daher allgemein gültig.

$ 51. Anwendung des Vorigen auf die Bestimmung des Fotentials der
von einem quadratischen Kontinuum erster Gattung umschlossenen homogenen
Totalität.

Die Funktion P vom niedrigsten Grade ist P=1;; für diese geben die Gleichungen
(5) und (3) des vorigen $:

al u n 2R
r(3-')

wo rechts als untere Grenze des Integrals A, = A oder der der Lösung (a, b,....) ent-
sprechende Wert von A, zu nehmen ist, je nachdem diese Lösung innerhalb oder ausser-
halb des quadratischen Kontinuums (A) liegt.

Bedeutet Ah eine unendlich kleine Zahl, und werden alle linearen Dimensionen des
gegebenen quadratischen Kontinuums (A) im Verhältnisse 1 A vergrössert, so dass ein
mit jenem konzentrisches und ähnlich liegendes Kontinuunı entsteht, so ist ph die Dicke

der zwischen beiden Kontinuen entlialtenen Schicht, und wenn man diese sich homogen
und von der Dichtigkeit 1 denkt, /.pdw=hR- T das Massenelement. Das Potential

dieser Schicht ist also

BERN. 0 ‚(TA
n I,

Er 1)

“ du

YA+u)(B- u) (It

n
92

u nen >; nYABC...T. |

wo das Integral entweder bei dem positiven Werte von «, welcher der Gleichung
a? 2

A+u

2 Paar +... = 1 genügt, oder, wenn es keinen solchen giebt, bei « = 0 anfängt.

—_— 22383 —,
Verkleinern wir die linearen Dimensionen des gegebenen quadratischen Konti-
nuums in den Verhältnissen # und 9% -+-d® und suchen das Potential dV der zwischen

den entsprechenden Kontinuen enthaltenen Schicht, so ist k = 2, die Axenquadrate

A, B,... und die Variable « sind durch 0°A, @®’B,..., O’u zu ersetzen, und wir be-
kommen

“ie

dv= — U 049.YABÜ...

r(3-1)

wo als untere Integrationsgrenze entweder der positive Wert A von «, für welchen
a? b?

A+u Brut
Ist 9= 0, so muss h positiv unendlich gross sein. Wie 9 wächst, wird h immer kleiner;
endlich erreicht 9 einen Wert e, für den A Null wird. In diesem Intervall isö das
Integral I er

‘ VMYA+W)(B+u....
h=0 sei E. So wie aber 9 über e hinaus wächst, muss man dem Integral den kon-
stanten Wert E geben. Es ist aber

= 7% du
J Te Re re ey Ir re ee er ae Fee
S VaroEru..d+w

...— 0? ist, oder, wenn kein solcher existiert, «= 0 zu nehmen ist.

— © eine Funktion von 9; ihr Wert für 9d9=e oder

On
da _ dad _ 6,
86 Sn 80 YAtW(B+HM....
daher
0=0 Il
0? —— dO'
II <E ' ıh=» 2 77"
peter] ENT inte ne __
Be 0=0 YA+A)(B-+HW).... - oh yA+W)(B+HR)....
"REEL, EISERREE RER
se aM Ben di
a YA+W(B+WÜ...... —

Ist die obere Integrationsgrenze ein Wert von ®, welcher &e übertrifft, so hat man

u= 8 a = a?
WW=E » a ren 2 __,2 PUuU=2
| OUd9-H PP | ee I ff ls
zo Be 2 v_, yıkd+to) 2 uU Yı(d+ u)

um u?
0° —- I- in
1 £ u
= —- [ —— du.
2 YIrLÄA+ u)

— 229 —

Erstreckt sich die Integration von d= 0 bis # =], so hat man endlich

n dx dy .os. do i 2 y? | 3
_ De ee rn, A — + +... +-_ <]
} [a - + WB + + @- 7" ab 7<1]

ne en y

| ; = a? AR NR RR SIER

= r(3 - VA+W)(B+W....J+%)
2
wo als untere Integrationsgrenze der Wert von «, für welchen der Zähler des Bruchs
verschwindet, wenn jener positiv ist, sonst aber der Nullwert zu nehmen ist. — Dieses

Resultat stimmt mit $ 49 (4) überein.

$ 52. Ueber die algebraischen Lösungen der Gleichung a =MP.

Es scheint etwas schwer, mit Sicherheit die Zahl der verschiedenen Formen der
ganzen Funktion f anzugeben, welche der identischen Gleichung (1) in $ 50 genügt,
wenn ihr Grad # und die n Axenquadrate, aus denen das Produkt X besteht, gegeben
sind. Da die Koeffizienten der höchsten Potenzen in /f und M bekannt sind, so gehen,
wie wir schon gesehen haben, aus (1) nur d-+n— 2 algebraische Gleichungen zweiten
Grades zwischen den an Zahl gleichkommenden übrigen Koeffizienten hervor. Das System

derselben hat also höchstens 2° +"? Lösungen. Da aber die Gleichungen eine sehr
spezielle Beschaffenheit haben, so kann man wohl vermuten, dass diese Zahl zu hoch
sei, und braucht nur für die ersten ganzen Werte von ®, n die Rechnung auszuführen,
um diese Vermutung bestätigt zu finden.

Um dem wahren Sachverhalt näher auf die Spur zu kommen, wollen wir die un-
bekannte Funktion M dadurch eliminieren, dass wir für die Variable nach und nach alle
ihre Werte substituieren, durch welche /= 0 wird und deren Zahl offenbar # ist. Sie
treten als die Unbekannten des Systems an die Stelle der an Zahl gleichen unbekannten
Koeffizienten der Funktion f; und da die Zahl der Gleichungen, die wir so erhalten,
ebenfalls 8 ist, so reichen sie zur Bestimmung der Funktion f gerade hin, und dann
ergiebt sich die andere unbekannte Funktion M aus der ursprünglichen Gleichung (1)
von selbst.

Es sei also dAA=dB= dl =... = du f(wW) = (u—a) uv—P)... w—d),
R'’=KL=H(), 3KL+KL-=4J(uw, wo H, J resp. als Zeichen von ganzen
Funktionen n-ten und (n — 1)-ten Grades gelten mögen. Dann ist

Ha fe +2Ja.fa=0, ete. (9 Gleichungen. . . . . . (9

— 2330 —

Diese Gleichungen sind in Beziehung auf die Unbekannten a, ß,...C vom Grade 9-1-n — 2.
Wenn wir aber von der ersten Gleichung des Systems nach und nach alle übrigen sub-
trahieren, so können wir resp. mit & — ß, «a —y,..., «— dividieren, wodurch der
Grad um eine Einheit hinuntergeht; subtrahieren wir dann wieder von der ersten dieser
Gleichungen nach und nach alle übrigen, so können wir mitt P? — y,ß —6,... dividieren,
u. 8. f.; und zuletzt haben wir eine Reihe von 9 Gleichungen, deren Grade resp.
d-+n--23,0+n—3,...n,n —1 sind. Die Endgleichung für eine einzige Unbekannte
ist also höchstens vom Grade (A + n — 2) (d-+n—3)...n(n— 1). Da aber hiebei
alle durch Permutation einer und derselben Gruppe von Werten der Unbekannten a, ß,y...
entstandenen Lösungen des Systems als unter sich verschiedene aufgezählt sind, obgleich
sie nur eine und dieselbe Funktion f liefern, so reduziert sich die Zahl der Funktionen /,
n+0— 2
0

welche dem Systeme (1) genügen, auf höchstens ( )- Dass dieses wirklich die wahre

Zahl sei, geht zwar aus dieser Betrachtung nicht mit Sicherheit hervor ; aber die für
bestimmte Werte von 7 und 6 angestellten Versuche bringen es zur höchsten Wahr-
scheinlichkeit.

Um die Form der Gleichungen, welche das soeben beschriebene Verfahren liefert,
zu erkennen, setzen wir zuerst [u=(w—.a)gpu. Dadurch verwandelt sich die erste
Gleichung des Systems (9) in

Ha.ga+Jae.ga=(.

et t tn und 9gß=(0,py=0, etc. ist, so kann diese

erste Gleichung (9) auch so geschrieben werden:

‚Ha.pg«— HB
. w— ß

ILS Ju.ga=0,

wo die letzte Summe sich auf alle 9 unbekannten Wurzeln der Gleichung f = 0 und die
erste auf deren Kombinationen zu zweien erstreckt. Ist nun

Su=u Hu! Kulm dt... + Ig-ıutkyn

so ist
pua=u !hajuf rar | 3... a
-FÄ + ke RN u:
ER hg —- li, a! 2

.oer >» 12.2 0 oo

— 23 —
daher wird, wenn man abkürzend
g, = ze +LaJo
setzt, die erste Gleichung (9)

SG_-ıt+(e+K)Sg_,t (e+katk) Sy_st' + (Ir, a? L.. +kg_ı) S= 9

und die übrigen Gleichungen des Systems (9) entstehen aus dieser, indem man nach und
nach «@ durch ß, Y,...& ersetzt. Das System (9) ist also zu einem Systeme von 8
linearen Gleichungen in Beziehung auf die d — 1 unbekannten Verhältnisse der Grössen S
geworden. Wenn also diese Grössen nicht verschwinden, so muss die Determinante ihrer
Koeffizienten es thun. Diese reduziert sich aber auf die Determinante £+ «0! 80 2,03, ,,.1g
= II(@— ß). Man hat also nur die Wahl, entweder alle Grössen $ als verschwindend,
oder in der Gleichung f=0 gleiche Wurzeln anzunehmen Das letztere als etwas
Spezielles setzen wir einstweilen bei Seite und entscheiden uns für das Erstere, dem
allgemeinen Fall Entsprechende. Wir haben dann die # Gleichungen S,, S,, 59, .--9_-ı=0;
und wenn diese Statt haben, so ist auch das System (9) erfüllt. Man bemerke, dass

diese Gleichungen, deren Grade resp. n —1,n,n+1,...,n+9-—.2 sind, in Beziehung
alle Wurzeln «, ß,...& symmetrisch sind und daher rational und ganz mittelst der
Koeffizienten k,, ka, ... kg ausgedrückt werden können.

Das Produkt K kann auf (”) verschiedene Arten aus den Axenquadraten 4, B,...

zusammengesetzt werden. Wenn also wiederum der Grad der ganzen und rationalen
Funktion PP in Beziehung auf A mit m =29-+-n bezeichnet wird, so ist

2 Ina) ) mt eo)

die Zahl der einem gegebenen Grade entsprechenden Funktionen P. Sie ist also der
Koeffizient von x” in der Entwicklung von (1 — =°?)"*+'(1-+ x)" nach steigenden Potenzen
von x. Dieser Ausdruck reduziert sich auf (14x) (l—xz)""*'. Die fragliche Zahl
ist also gleich

—n-+1 > —n-+i1 Ze m+n—2 mens

| m )=n + m—1 )-» -( n—2 )+( n—2 )

$ 53. Darstellung gewisser arbiträrer Funktionen von n — 1 unabhängigen
Variabeln.

Es sei p eine beliebige Funktion, deren Werte für alle auf dem quadratischen
2
Kontinuum pi + A + =1 befindlichen Lösungen bekannt sind, also, wenn man will,

— 232 —

eine bekannte Funktion der n — 1 konfokalen Variabeln A,, A,,...A,.. Man bestimme
nach dem im vorigen $ beschriebenen Verfahren nach und nach für m =0,1,2,3...

alle algebraischen Funktionen P, welche der Gleichung 5 = MP genügen. Denkt man

sich p von der Form Zk BR P;... P,, wo k einen konstanten Koeffizienten bezeichnet, und
die Summe sich über alle Formen der Funktion P erstreckt, wobei wir ferner annehmen,
dass für n=0,1,2,.... die Koeffizienten k eine abnehmende Reihe bilden, welche
schneller fällt als eine geometrische: so kann man jeden Koeffizienten k durch ein über
das ganze quadratische Kontinuum (4) sich erstreckendes Integral ausdrücken. Vermöge
der Gleichung (6) in $ 50 ist nämlich

du _ ‚de
[9-PR..pTF=rk[(BB...P) -

Da das Integral rechts lauter positive Elemente enthält, in denjenigen links hingegen
das Vorzeichen von P, P,... P, desto häufiger wechseln wird, je höher der Grad m von
P in Beziehung auf YA ist, so wird im allgemeinen höchst wahrscheinlich der häufigste
Fall der sein, dass das Integral links ungefähr :nach geometrischer Progression immer
kleiner wird, je höher m steigt. Ist %, das konstante Glied der angenommenen Ent-
wicklung von 9, so hat man

n
ni

Kr e
2

Ich halte es für sehr wahrscheinlich, dass jede Funktion, deren Werte überall
auf dem quadratischen Kontinuum (A) nach Belieben gegeben sind, unter die Form
EkP,P...P, gebracht werden kann; allein die Schwierigkeit des Beweises erscheint
mir fast unübersteiglich. Ä

$ 54. Reduktion einiger vielfachen Integrale auf einfache.

Bei der Bestimmung des Potentials der von einem quadratischen Kontinuum um-
schlossenen homogenen Totalität in $ 49 kam die Reduktion eines gewissen (n — 1)-
fachen Integrals auf ein einfaches vor. Hier sollen nun einige vielfache Integrale von
allgemeinerer Beschaffenheit, welche jenes als speziellen Fall enthalten, reduziert werden.

I. Aus der Theorie der Eulerschen Integrale folgt

aan ya amt. urmtdydz...dum [OTTO
| z>0, y>0d,...w>0

c+y+2+:+w=]l

_ 233) —

Um die, wenn ıch nicht irre, von Catalan gegebene Formel zu beweisen, kann man mit

„R .o ...- = ng * s
Keetnretenyatßtee te Ide=T(a-+ßB-+----+e) multiplizieren, aux, uy,... uw

v0

in x, y,...w umsetzen, und endlich, da 2 +y-+---- !w=u sein muss, du durch dx
ersetzen; das Integral zerfällt dann in ein Produkt von n einfachen Integralen.

Setzen wir in der vorliegenden Formel 2 =4’, y= uw’,...w=w*, so stellt die
Bedingung A’-H- uw’-+----— 0’= 1 ein polysphärisches Kontinuum dar ; das (n — 1)-fache
Element du dv...d« ist daher eine Projektion des Elements do dieses Kontinuums und
hat den Wert Ado. Wir bekommen so:

u u = a 1\%r-17l(a) S(B).... Te)
2a -1 „2B-1,2>7—1 2E--1 EN ER EEE
IE u y2? ee do (z)} ee} (1)
ee ee ;
F?+-0W4+. +0-1
II. Wird der Kürze wegen 1 = . - r er +- y gesetzt und bedeutet % eine

beliebige Funktion von n Variabeln, so soll das Integral

| u (9) do
Bi L 27 2 4 SIT s
YA YA Y-1 P

ve

verwandelt werden. Setzen wir für diesen Zweck oe’ -17=1, so kann das Integral auch
unter der Form

yo! Ör

FEIr ‚rop(ra,ru,...va
P= | (J en een ”'dr) Jo
‘o

”- 1.9. mwir, ee
— WEM) dydz...diw

yazı Or

= 24 Y-l--— ur, 2=rl, etc
7° y° 2: w
ae se

dargestellt werden. Bedeuten %,, %,,...%, die ersten abgeleiteten Funktionen von %,
so Ist

E; d.r" ıb
p=i ür

= np +ry +yY. + wb,,

und, wenn = x YA, y=yYB,.., #=rX, y=rw,... angenommen wird,

1 2. rip
1" dr

— U -+-r (ya. Yv,-—+- wWYB. vv, :: .) = A ae

yo Ir’
30

_ 9194 —
Man erhält also

da dy...dw,

ABC... I |" 1 9. rap (7' ya, Y A, sy. 'YB,. de)

yin-ı Ir

(= a’+y’+...+w”<1)

w— YABC..

oder, mit Weglassung der Accente und Ersetzung von dx dy dz...dw durch »*"'dr do,

F—=YABC.. se au are 142) q,) ao:

also endlich

[v > Sc A = YAB...ISvYA,uYB,...oyN)do, . 2)

wo 1= i nn Heat e und beide Integrale sich nur über den Teil des poly-

sphärischen Kontinunms A’-H-u’+-----4 w’= 1 erstrecken, wo sämtliche Variabeln A,
u,...@ positiv sind.
Setzt man Y = 1 und lässt Er Er ...in1-- 2, 1—+ 5 ‚... übergehen, so ver-

wandelt sich (2) in

SD u in nen en einen
ir +u.n3 7(5) Y: +7 )(1+3,)° (14 )

A B

wenn das Integral links sich über das ganze polysphärische Kontinuum erstreckt. Je
nachdem man auf beiden Seiten nach den steigenden oder nach den fallenden Potenzen
von ıı entwickelt, enthält man finite Ausdrücke für .@ do, [ A’do, [ -T'do, etc., oder für

IF ee [58 a. »rr 58. ‚etc. Den Wert für (5 ji, wenn i irgend eine zwischen 0 und

5 liegende Grösse bezeichnet, werden wir bald auf ein einfaches Integral zurückführen.

III. Um das auf alle Lösungen mit positiven Werten A, u,... eines polysphärischen
Kontinuums vom Radius 1 sich erstreckende Integral

da

s-| f (5 7) % ("A,ru,...vo)ı" dr ei

.Ii-pr =;
zu verwandeln, setzen wir au also r=(1--u_7) ” und erhalten

— 2395 0 —

1 A u do
S=y [er Yıtua in Pr 7) a

Durch Anwendung der Gleichung (2) ergiebt sich hieraus

ee a nn een. ee a zn
SUFERFE) NH

IV. Gehen wir zu speziellen Umwendungen dieser Formel über und setzen
v(x, y,...w) = arety?Pl,..w?®=!, so bekommen wir vermöge (1) die Gleichung

1—r 9 en do
__ 1 z,2a@+ß°'-+e)- 3 2a-1,2ß-—-1 2Ee—1
(Sr ) dr.‘4 u a 1)
[?}

y?
ER (5) T(«) T(8)...Tfe) f(W du
Ger) ae

Die Funktion / («) unterliegt hier gewissen Bedingungen; sie muss vn4«a=0bsu=»
kontinuierlich sein, und für ein verschwindendes « muss sich uf (uw) wie eine. Potenz
von a4 mit positiven Exponenten, für ein unendlich wachsendes « dagegen muss sich
uf(u): uetß+ te wie eine solche Potenz mit negativen Exponenten verhalten. Nimmt
man f (u) = uw! an, so ist links das Integral

—_ 2 9, 1 TO) T«+ß+:- BEE
— yNi—1,2(a+ß+ +Ee)-2:1-1 dy — ---
iz Weg rar+Br +

Man hat also endlich

a ar a ern du (4
| ( Ee a +5) do (s) TÜO)T(e+ß+-- 7] (+4) (+4) 6)

Diese Gleichung gilt nur für positive Werte von a, ß,...e und für Oo <i<«--ß-- +.
Für = 0 tritt die Formel (1) an deren Stelle, und für «= « —+ß-+-:--"--e erhält man
“durch Anwendung der Formel (2):

a1 2-1. @2e-1 _(AMIT)TD...Te) gas Je
Se POS er =) Beer

FT

i l 1 i 3 ie
Setzt manin)ß=y=-.--=e= 'y, und erstens @ = -, , zweitens « = , ,sO erhält

man die zwei Formeln

1 DS EEE Ta IT) nn
(3 ea ee ) u Tor ( er ı) [ (' ZN Ve + Bi u (14 u\
ATRB 2 . 4) ( al B 5)
wo nunmehr die Integrale links sich über das ganze polysphärische Kontinuum erstrecken.
Setzt man @= 1, so ergeben sich die in $ 49 gebrauchten Reduktionen.
Setzt man in (4) A= -, u= = -, so ist ee ee a]
a YA’ vB’ YJ' 4 B J :
und das Integral links erstreckt sich über denjenigen Teil eines quadratischen Konti-
nuums, wo alle Variabeln zugleich positive Werte haben. Nach der üblichen Bezeich-
nung wird dann

m—1 mn 2 a Sie REES (us.
I o.n | AA 14)

« m=— 2

ER I. (A Be T(«)T(})... T(e) 5 % Te TR . (ö)
AIBC...J) ROTE ee

u\a u\B
hr = — ...0.
1) (' A ) (1 us 5)

wo links unter den Axenquadraten A„, Bas: Jm die m — 1 letzten entgegengesetzt zu
nehmen sind, damit alle positiv erscheinen, und wo P = (4,— 4.) (A:— 4A)... (A»— 4,)
x... (du — 4), wo ferner rechts das Produkt IT. (4 — B)**”"' so viele Fak-
toren zählt, als die Grössen A, B. C,...J zu zweien kombiniert werden können. Die
linke Seite zerfällt in ein Aggregat von Produkten von Je » — 1 einfachen und voll-
ständigen Integralen.

tichtet man für n => die Exponenten «, ß, Y, & so ein, dass vollständige cellip-
tische Integrale herauskommen, so scheint trotz aller noch möglichen Mamnigfaltigkeit
immer nur die bekannte Legendre'sche Relation, FU) FI) + FU) EI) — FÜ) Fk)
IB-C
u

nr I = |
= —, aus (6) hervorzugehen. Setzt man z.B a ß=-y=.,,i=l, }

=k,,

/ 2 3 ’ C D [} .. . [ . .
2 = °-h, „ ==cos’9, und bezeichnet das vollständige elliptische Integral dritter Art
4A m Ü A ! = oO

B14

8 l dr ® f fe .. be

| . >. —— durch II (1, k), so verwandelt sich (6) zunächst in
IHnswöryı - K2sin?:e

{8}

— 237 —

T

— tang 0
1 2 2 ; Non. ri BER IE '
= TI (k* tang? 0, k) F(k)— II(— k’sin’ 6, K‘) F (k) ren F(k, 6).

Substituiert man aber hier für die Funktion IT ihre durch elliptische Integrale der zwei
ersten Arten ausgedrückten Werte, so erhält man nur:

FR, O{[FWER)+FÜ) EM — FÜ) Fi) — 5} =0.

Inhaltsübersicht,

Erster Teil. Lehre von den linearen Kontinuen. Kae
. elle

1. Definitionen . ; ä ; 2 : u R a 2% j 6
2. Orthogonale Transformation der Variabeln . i 2 ; : ß : : N j 9
3. Ueber den Winkel zweier Richtungen . ; i ; . i j ; ; 10
4. Anwendung der orthogonalen Transformation zum Bexteise es Satzes, dus der Strahl der
kürzeste Weg sei zwischen zwei auf ihm befindlichen Lösungen PR: : ö ah i 11
ö. Mass des Paralleloschems . : Ä h i ; : f ; ; : : ' 11
6. Ueber schiefe Systeme . : k k i j ; ; Ä i ; 3 \ 15
7. Mass der Pyramide & ; : 2 \ a j ; ; : ' s ; ; i 15
8. Mass der Pyramide, ausgedrückt durch ihre zn (n — 1) Kanten i i 17
9. Anwendung von $ 6 auf die Verwandlung vielfacher Integrale . : : i ; 18
10. Ueber Polyscheme j s ; j ö . ; r + 2 A : ' ; z 19
11. Berechnung des Masses eines Polyschems . ; ; : 21
12. Ueber die Projektionen eines linearen m-fachen un wenn Mm swiselreni 1 ee N — N liegt 29
13. Mass eines m-fachen höhern Kontinuums _. ; i A ; : i j 26
14. Orthogonale Transformation der Projektionen eines Ineien Kontinuums . Ä ; ; 3 27
15. Ueber das Verhalten linearer Kontinua zu einander . r ; ; i . 29
16. Ueber die Zahl der Teile, in welche die »-fache Totalität durch eine beliebige Meiner en — 1)-

facher linearer Kontinua geteilt wird . i & : f ; \ b 4 : : ; 39
17. Reguläre Polyscheme der vierfachen Totalität . ; : : i ; ; e 42
18. Reguläre Polyscheme der fünffachen und aller mehrfachen "Totalitäten : : : h 83

Zweiter Teil. Lehre von den sphärischen Kontinuen.

19. Einleitung. Begriffe der Polysphäre, Mass derselben und ihres Umschlusses . - } j 97
20. Gegenseitige Abhängigkeit der Stücke eines sphärischen Plagioschems e ; . 60
21. Hülfssatz N B ; ; i N 2 ; 5 u 6%
92. Mass eines Shlanchen Pisgioächkens 5 : : : j ; ; 65
33. Plagioschematische Funktionen ; reduzierbare Fälle von Orthogonalität i R k j ; 68
234. Reduktion der perissosphärischen Plagioscheme auf artiosphärische . . ; N ; i 10
25. Zerlegung der Plagioscheme in Orthoscheme i ; - ; j ; ; 4
26. Reduktion der perissosphärischen Orthoscheine auf ieh: ärische . ; j S5
27. Perioden arliosphärischer Orthoscheme ; N ; : ; ; e 58
28. Anwendung des Vorigen auf die Bestimmung arliesphärtscher Örihaseheiien in einigen besonderen

Fällen . ; i ; Ä 2 . i . : A s i ; ; ; ; : 93
29. Ueber das Orthoschem f © 3 eh Er ‚a2, ı; ob ... +) ä s ; e 98
30. Rationale tetrasphärische Orthoscheme, deren Argumente rationale Teile von z sind a : 101

.n—.

Dre ET m — - -
”

Zu m

Te EEE nen nun = N ee

Seite

nt A za ı rR n N in AR
31. Ueber das Orthoschem f (3 U a 3) und einige mit die-
sem und dem in $ 29 betrachteten in Beziehung stehende Sätze ö ; 3 103

32. Ueber sphärische Polyscheme. (Differential eines Polyschems, Zahl seiner Bestiinungseideke,
Reduktion eines perissosphärischen Polyschems auf artiosphärische, neuer Beweis der Formel

%G—-h+ A — 4A -+a,=2, Summe zweier reziproker tetrasphärischer Polyscheme) i ; 106
33. Ueber reguläre sphärische Polyscheme : i h ; . A N ; ; s ; 116
34. Nähere Untersuchung der Hexakosioscheme a . i 120
35. Ueber die Summe der Quadrate der Projektionen eines Strahls aut Siimeliisch ver teilte Rich-

tungen . ; ; . ; ; : ß i A ; : \ : 8 ; 5 A 134

Dritter Teil. Verschiedene Anwendungen der Theorie der vielfachen Kontinuität,
welche das Gebiet des Linearen und Sphärischen übersteigen.

36. Bestimmung des Zentrums eines quadratischen Kontinuums j A A ; ; 140
37. Bestimmung der Hauptaxen . ; s ; 5 i F ; i A A 141
38. ‚Konjugierte Halbmesser : s ä i ; ; ; > i ; j 145
39. Berührende Kontinua ersten Grades ; : ; ' ; ; ; : ; A 151
40. Bestimmung der Hauptaxen eines diametralen Schnills: Definition der konfokalen Kontinua 154
41. Fortsetzung der Theorie der konfokalen Kontinua : ; A z i ; 197
42. Reduzierte Form der Differentialgleichung zweiter Örkniie eines höhern Kartinsuhe ; 164
43. Ueber orthogonale Kontinua überhaupt und über die Hauptkrümmungen eines iadrelischen
Kontinuums . 2 : 2 ; } i : A 171
44. Allgemeine Betriälungen über die ae or ihagonaler Könliiäs Konstruktion eines ganz
beliebigen Systems orthogonaler Flächen im Raume . ; : 176

45. Anwendung der konfokalen Kontinua auf die Bestimmung des Mae: der Hören ein a he
Kontinuumm begrenzten Totalität und des begrenzenden Kontinuums selbst. Relationen zwischen

vollständigen Abelschen Integralen i ; r ö ; i 191
46. Bestimmung des kürzesten Weges sowohl in der Totalität als auch auf einem qu: haltatizchen

Kontinuum oder dem Durchschnitte mehrerer konfokaler Kontinua . h : ; z ; 196
47. Ueber die Verwandlung des Ben en mittelst orthogonaler Funktionen . 207
48. Ueber das Potential f : 3 ; . 5 : ; ; 211
49. Bestimmung des Potentials der von einem ihdraischen Kontinieht erster lung iimachles-

senen homogenen Totalität . ; e ; . ; 214
0. Ueber eine Verteilung von Masse auf einem Huaabatischen Kent Zielen Galane welche

zugleich mit ihrem Potential bekamnt ist . : i ; ; ; 5 . 220
91. Anwendung des Vorigen auf die Bestimmung des Polenkals der von einem ienlachen

Kontinuumn umschlossenen homogenen Totalität . F h : ; j ; ; ö ; 227

9°P |

52. Ueber die algebraischen Lösungen der Gleichung dyE = MP. ; ; ; - 239
93. Darstellung gewisser arbiträrer Funktionen von a — 1 unabhängigen Variablen ; i h 231
54. Reduktion einiger vielfachen Integrale auf einfache . i ; ; A : a ; ; 232

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